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1、第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，会用向量方法求两条直线所成的角、线面角和二面角第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学重点：异面直线所成的角、线面角、二面角与向量夹角的关系难点：如何用直线的方向向量和平面的法向量来表达线面角和二面角第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章
2、 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学1求异面直线所成的角设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为，则a，b与相等或互补，第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学注：由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是0，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的难点这里给出一种简明的判断方法，供参考第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学定义设平面的法向量n在平面的一侧，若向量n的终点到平面的距离
3、小于向量n的起点到平面的距离，则称法向量n指向平面(如图(1)；若向量n的终点到平面的距离大于向量n的起点到平面的距离，则称平面的法向量背离平面(如图(2)第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学如图，设两个平面的法向量n1，n2在二面角l内，n1，n2，若平面的法向量n1指向(背离)平面，同时平面的法向量n2指向(背离)平面，则二面角l的大小为(如图(3)；若平面的法向量n1指向(背离)平面，同时平面的法向量n2背离(指向)平面，则二面角l的大小为(如图(4)第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学*3.空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平
4、面所成的角、二面角等这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的确切地说，是“化归”到一个三角形中，通过解三角形求其大小第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学(3)二面角的平面角：从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角作二面角的平面角的常
5、用方法有：定义法：根据定义，以棱上任一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，则形成二面角的平面角第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P作另一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连结PB，由三垂线定理得PB与棱垂直，于是PBA是二面角的平面角(或其补角)垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别交两个面的交线，构成二面角的平面角第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学1直线与平面的夹角定义：平面外一条直线与它在该平面内的 的
6、，特别当直线与平面平行或在平面内时，直线与平面的夹角为0，当直线与平面垂直时，直线与平面的夹角为 .2.用向量方法求空间中的角投影夹角第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学例1在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC，ABAC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于()第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学A30 B45 C60 D90答案D第三章第三章 空间向量与立体几何
7、空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学点评求异面直线所成的角的常用方法是：(1)作图证明计算；(2)把角的求解转化为向量运算第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，则异面直线AE与CF所成的角为_解析不妨设正方体棱长为2，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1,1,2)第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间
8、向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学解析(1)作SOBC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO平面ABCD.因为SASB，所以AOBO.又ABC45，AOB为等腰直角三角形，AOOB.如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz，第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学点评可以用向量法求之，也可以用纯几何法证明，也可以两者结合下面给出纯几何法供参考(
9、1)作SOBC，垂足为O，侧面SBC底面ABCD，SO底面ABCD.SASB，AOBO.又ABC45，故AOB为等腰直角三角形，AOBO，由三垂线定理得，SABC.第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60，则(1)DP与CC所成角的大小为_；(2)DP与平面AADD所成角的大小为_ 第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学答案(1)45(2)30解析如图，以D为原点
10、，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz.第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学例3如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.(1)PA与BD是否垂直？证明你的结论(2)求二面角PBDC的大小(3)求证：平面PAD平面PAB.第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空
11、间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学DMPA，DMPB.DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学解析以D为原点，DA、DC、DS为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，S(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1，0)，B(1,1,0)可求出平面ASD的一个法向量n1(0,1,0)平面BSC的一个法向量n2(0,1,1)第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三
12、章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学例4正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如图)在图中求平面ABD与平面EFD所成二面角第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学误解CDAD，CDBD，ADBD，取D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学辨析求二面角大小，一要注意准确计算，二要注意观察二面角是锐角还是钝角，以确定求出来的余弦值是正还是负第三章第三章
13、空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学正解方法一：由已知CDAD，CDBD，ADB就是直二面角ACDB的平面角，ADBD.第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学ABEF.AB平面ABD，EF平面ABD，EF平面ABD，EF必平行于平面ABD与平面EDF的交线l(即二面角的棱l)，ABl，分别取AB、EF的中点M、N.第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学
14、一、选择题1直三棱柱A1B1C1ABC中，ACB90，D1，E1分别为A1B1，A1C1的中点，若BCCACC1，则BD1与AE1所成角的余弦值为()第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学答案C解析 如图所示，取直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学2已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()答案C第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学
15、第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学3在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为()答案D第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学答案60第三章第三章 空间向量与立体几何空间
16、向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学解析解法一：(1)证明：三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，ABAA1.由正弦定理得ACB30，BAC90，即ABAC.AB平面ACC1A1，又A1C平面ACC1A1，ABA1C.第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学(2)解：如图，作ADA1C交A1C于D点，连接BD，由三垂线定理知BDA1C，ADB为二面角AA1CB的平面角第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教A版数学