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1、1 1一一.概率统计的研究对象概率统计的研究对象A.太阳从东方升起；太阳从东方升起；B.上抛物体一定下落；上抛物体一定下落；C.明天的最高温度；明天的最高温度；D.新生婴儿的体重新生婴儿的体重.随机现象随机现象确定性现象确定性现象2 2 在我们所生活的世界上，充满了随机性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的出生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠出生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化落，到大自然的千变万化，我们无时，我们无时无刻不面临着随机性无刻不面临着随机性.概率统计的研究对
2、象概率统计的研究对象3 3二二.概率统计的研究内容概率统计的研究内容 随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性随机现象是不是没有规律可言随机现象是不是没有规律可言?否！否！在一定条件下对随机现象进行大量在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性观测会发现某种规律性.4 4 从表面上看，随机现象的每一次观察从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中存在象，便可以发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律着必然的规律.这种随机现象所呈现出的这种随机现象所呈现出的固有规律性，称为随机现象的固有规律性，称
3、为随机现象的统计规律性统计规律性.概率统计的研究内容概率统计的研究内容5 5三三.概率统计的应用概率统计的应用 经济管理保险金融生物医药天气预报6 6 下面我们就来开始一门下面我们就来开始一门“将不定将不定性数量化性数量化”的的课程的学习，这就是课程的学习，这就是7 7第一章第一章 随机事件及其概率81.1 随机事件及其运算随机事件及其运算 对某事物特征进行观察,统称试验试验.若它有如下特点,则称为随机试验随机试验,用E表示q 试验前不能预知出现哪种结果 1.随机试验与样本空间随机试验与样本空间 q 可在相同的条件下重复进行q 试验结果不止一个,但能明确所有的结果9样本空间样本空间 随机试验E
4、 所有可能的结果样本空间的元素,即E 的直接结果,称为随机事件随机事件 的子集,记为 A,B,它是满足某些条件的样本点所组成的集合.组成的集合称为样本空间样本空间 记为样本点样本点(或或基本事件基本事件)常记为，=10其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度观察某地区每天的最高温度与最低温度观察总机每天9:0010:00接到的电话次数有限样本空间无限样本空间投一枚硬币3次，观察正面出现的次数例例1 1 给出一组随机试验及相应的样本空间11基本事件基本事件 仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件.必然事件必然事件全体样本点组成的事件,记为,每次
5、试验必定发生的事件.复合事件复合事件 由若干个基本事件组成的随机事件.不可能事件不可能事件不包含任何样本点的事件,记为,每次试验必定不发生的事件.12A 随机事件的关系和运算类同集合的关系和运算 2.事件的关系和运算事件的关系和运算文氏图文氏图(Venn diagram)13 A 包含于B 事件 A 发生必导致事件 B 发生 A B 且1.事件的包含2.事件的相等14或 事件 A与事件B 至 少有一个发生发生的和事件 的和事件 A 与B 的和事件3.事件的并(和)15 或事件 A与事件B 同时 发生发生的积事件 的积事件 A 与B 的积事件 4.事件的交(积)16发生 事件 A 发生，但 事件
6、 B 不发生 A 与B 的差事件5.事件的差17 A 与B 互斥A、B不可能同时发生AB两两互斥两两互斥6.事件的互斥(互不相容)18 A 与B 互相对立每次试验 A、B中有且只有一个发生A称B 为A的对立事件(或逆事件)，记为注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互斥”是不同的概念7.事件的对立19q 吸收律q 幂等律q 差化积q 重余律运算律运算律对应事件运算集合运算20q 交换律q 结合律q 分配律q 反演律运算顺序：逆交并差，括号优先逆交并差，括号优先 21例例1 1 在图书馆中随意抽取一本书，表示数学书，表示中文书，表示平装书.抽取的是精装中文版数学书 精装书都是中文书 非数学书
7、都是中文版的，且中文版的书都是非数学书则事件22例例2 2 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系A,B,C 都不发生 A,B,C 不都发生23习题一24251.2 随机事件的概率随机事件的概率历史上概率的三次定义历史上概率的三次定义 公理化定义 统计定义 古典定义概率的最初定义基于频率的定义于1933年由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出26设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次，1.频率与概率频率与概率则称 为事件 A 发生的 频率频率27频率的性质频率的性质q q q 事件 A,B互斥，则可推广到有限个两两互斥事件的和事件非负性非负性规范性规范性可加性可加性稳定性稳定性某一定数某一定数q
8、28投一枚硬币观察正面向上的次数 n=4040,nH=2048,f n(H)=0.5069 n=12000,nH=6019,f n(H)=0.5016n=24000,nH=12012,f n(H)=0.5005频率稳定性的实例频率稳定性的实例 蒲丰投币蒲丰投币 皮尔逊投币皮尔逊投币29 概率的统计定义概率的统计定义在相同条件下重复进行的 n 次试验中,事件 A 发生的频率稳定地在某一常数p 附近摆动,且随 n 越大摆动幅度越小,则称 p 为事件 A 的概率,记作 P(A).对本定义的评价对本定义的评价优点：直观 易懂缺点：粗糙 模糊不便使用30设 随机试验E 具有下列特点：q 基本事件的个数有
9、限q 每个基本事件等可能性发生则称 E 为 古典(等可能)概型古典概型中概率的计算：记 则2.古典概型古典概型 概率的古典定义概率的古典定义31例例 一颗骰子掷两次，求出现点数之和是一颗骰子掷两次，求出现点数之和是8的概率的概率答案：答案：P(A)=5/36 掷一颗骰子，有掷一颗骰子，有6个等可能的结果，掷两次个等可能的结果，掷两次有有66=36个等可能结果，设个等可能结果，设A 为为点数之和是点数之和是8，有（有（2，6），（），（3，5），（），（4，4），（），（5，3），），（6，2）共）共5种情形。种情形。32例例 把把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别七个字母分别写在七张同样的
10、卡片上，并且将卡片放入同写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，有多大出，并将其按取到的顺序排成一列，有多大可能排列结果恰好拼成一个英文单词：可能排列结果恰好拼成一个英文单词：C ISN C EE拼成英文单词拼成英文单词SCIENCE 的情况数为的情况数为故该结果出现的概率为：故该结果出现的概率为：解：七个字母的排列总数为解：七个字母的排列总数为7！33例例 设有设有N件产品件产品,其中有其中有M件次品件次品,现从这现从这N件中任取件中任取n件件,求其求其中恰有中恰有k件次品的概率件次品的
11、概率.解：令解：令A=恰有恰有k件次品件次品超几何公式34 设有 k 个不同的球,每个球等可能地落入 N 个盒子中（）,设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率:（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；（3）恰有 k 个盒子中各有一球.（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球()例例（分房模型）（分房模型）解解35例例 “分房模型分房模型”的应用的应用解解 n 个人的生日均不相同,相当于本问题中的人可被视为“球”，365天为365只“盒子”每个盒子至多有一个球或恰有n个盒子中各有一球.某班级有 n(n 365)个人，求n 个人的生日均不相同（设为事件A)的概率.363.几何概型几何概型 (古典概型的推
12、广)把等可能推广到无限个样本点场合把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了人们引入了几何概型几何概型.由此形成了确定由此形成了确定概率的另一方法概率的另一方法几何几何概率概率.早在概率论发展初期，人们就认识到，早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的够的.37几何方法的思路是：几何方法的思路是：1、设样本空间、设样本空间S是平面上某个区域，它是平面上某个区域，它的面积记为的面积记为(S);S38该点落入该点落入S内任何部分内任何部分区域内的可能性只与这区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，部分区域的面积成比例，而与
13、这部分区域的位置而与这部分区域的位置和形状无关和形状无关.S2、向区域、向区域S上随机投掷一点，上随机投掷一点，“随机投掷一点随机投掷一点”的含义是的含义是:393、设事件、设事件A是是S的某个区域，它的面积为的某个区域，它的面积为(A)，则向区域则向区域S上随机投掷一点，该点落上随机投掷一点，该点落在区域在区域A的概率为的概率为SA404、假如样本空间、假如样本空间S可用一线段，或空间中某可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向个区域表示，并且向S上上随机投掷一点随机投掷一点的含义的含义如前述，则事件如前述，则事件A的概率仍可用的概率仍可用确定，只不过把确定，只不过把 理解为长度或体积即可理
14、解为长度或体积即可.41几何概率几何概率 设样本空间为有限区域,若样本点落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比,则样本点落入G内的概率为42例例 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时 间短于十分钟的概率9点10点10分钟43例例 两船欲停靠同一个码头，设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小 时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等待空出码头的概率.解解 设船1 到达码头的时刻为 x，0 x 24 船2 到达码头的时刻为 y，0 y 24设事件 A 表
15、示任一船到达码头时需要等待 空出码头44xy2424y=xy=x+1y=x-245概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年建立.4.概率的公理化定义概率的公理化定义 即通过规定概率应具备的基本即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率性质来定义概率.46 设 是随机试验E 的样本空间，若对于E 的每一事件 A，都有一个实数P(A)与之对应,则称之为事件 A 的概率，只要满足下面的三条公理：q 非负性：q 规范性：q 可列可加性：其中 为两两互斥事件，47 由概率的三条公理，我们可以推导由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质及公式出概率的若干性质及公式.下节课我们下节课我们会详细介绍概率的一些简单性质会详细介绍概率的一些简单性质.48思考练习49与第二问互为逆事件505123.口袋中a只黑球，b只白球 随机地一只一只摸，摸后不放回 求第k次摸得黑球的概率 解法1：把球编号，按摸的次序把球排成一列，样本点总数就是a+b个球的全排列数(a+b)!所考察的事件相当于在第k 位放黑球，共有a种放法，每种放法又对应其它a+b1个球的(a+b1)!种放法,故该事件包含的样本点数为a(a+b1)!。解法2：只考虑前k个位置：52