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1、第一章 随机事件的概率 第一节 随机事件第二节 随机事件的概率第三节 条件概率第四节 独立性 主观概率 第一节 随机事件一、随机试验与样本空间二、随机事件三、事件间的关系与运算一、随机试验与样本空间一、随机试验与样本空间1试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果2进行试验之前不能确定哪一个结果会出现 其中，可以在相同的条件下重复进行的随机试验称为可重复的随机试验，否则称为不可重复的随机试验随机试验的所有可能结果组成的集合 样本空间ww=W表示，可记为样本点一般用称为样本点的每个结果，中的元素，即样本空间EWT HTHTHHHTTTHTHHHTT1次0次2次在某一批产品中任选一件
2、，检验其是否合格记录某大超市一天内进入的顾客人数 在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命 观察某地明天的天气是雨天还是非雨天 二、随机事件在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命规定电视机的寿命超过10000小时时为合格品 满足这一条件的样本点组成 的一个子集 称 为随机试验 的一个随机事件 基本事件：随机试验 有两个基本事件 和 随机试验 有三个基本事件 、和样本空间的两个特殊子集 它包含了试验的所有可能的结果，所以在每次试验中它总是发生，称为必然事件.它不包含任何样本点，因此在每次试验中都不发生,称之为不可能事件.由一个样本点组成的单点集 三、事件间的关系与运算研究原因：希望通过对简单事
3、件的了解掌握较复杂的事件 研究规则：事件间的关系和运算应该按照集合之间的关系和运算来规定 随机试验的E样本空间W子事件和事件积事件差事件互斥（互不相容）对立事件（逆事件）运算规律子事件和事件称为个事件称为个积事件km100某输油管长差事件互斥时发生对立事件运算规律4.对偶律 注：这些运算规律可以推广到任意多个事件上去 1.交换律2.结合律3.分配律例1 设 ，是随机事件，则事件 与 发生，不发生可以表示成 ，至少有两个发生可以表示成 ，恰好发生两个可以表示成 ，中有不多于一个事件发生可以表示成例2 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3组成，每个水源都足以供应城市的用水，设事件
4、于是“城市断水”这一事件可表示为“城市能正常供水”这一事件可表示为甲乙12城市3第二节 随机事件的概率一、频率与概率二、概率的性质三、等可能概型（古典概型）四、几何概型一、频率与概率概率定义1的概率.量度称为事件发生的可能性大小的在一次试验中事件AAAnnAnA即发生的频率，记为为事件次，则称比值次重复试验中出现了在这次试验，如果事件了在相同的条件下，进行抛硬币实验试验者德摩根蒲丰K皮尔逊K皮尔逊罗曼诺夫斯基2048404012000240008064010612048601912012396990.51810.50690.50160.50050.4923试验次数出现正面的次数出现正面的频率当
5、当常常会不一样常常会不一样不同时，得到的不同时，得到的)(Afnn这表明频率具有一定的随机波动性对于可重复进行的试验，当试验次数 逐渐增大时，事件 的频率 都逐渐稳定于某个常数 ，呈现出“稳定性”因此，可以用频率来描述概率，定义概率为频率的稳定值我们称这一定义为概率的统计定义这种“稳定性”也就是通常所说的统计规律性频率具有如下性质 1非负性2规范性3有限可加性若是一组两两互不相容的事件则设E是随机试验，W是它的样本空间，对E的每一个事件A，将其对应于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：概率的公理化定义1非负性2规范性3可列可加性二、概率的性质性质1性质2（
6、有限可加性）性质3 性质4 性质5性质6（加法公式）性质5证：证明 性质5证明 性质6性质6（加法公式）证明：因为且故由性质2和性质3得：性质6可以推广到多个事件的情形例如可由归纳法证得一般地，对任意n个事件例1 设 ，为两事件，且设 ，求解而所以于是例2 设证明证练习2:某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率?解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报.由题意 P(A)=P(B)=P(C)=0.3,P(AB)=0.1,P(AC)=P(BC)=0,P(
7、ABC)=0作业作业习题习题1-11-1 3.4.3.4.习题习题1-1-2 21 1（3 3）（）（5 5）4.4.三、等可能概型（古典概型）1试验的样本空间只含有有限个元素，即 2试验中每个基本事件发生的可能性相同，即 具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以也称之为古典概型 中某k个不同的数，是这里则有THTHHHTT例3 将一枚硬币抛二次（2）解（1）古典概型的有关问题在古典概型的概率的计算中困难的是计算一事件包含的基本事件的数目,因此需要排列排列和组合的知识和组合的知识,同时这类问题也经常可以和抽样联系在一起.这里我们做一个简单的回顾.乘法
8、法则乘法法则:如果一件事情可以分为两步做,第一步有n种选择,在第一步中的每一种选择中,第二步有m种选择,则整件事情共有:mn种选择.有放回抽样假设一副牌有52张,将它们编号为1,2,52.每次抽出一张观察后再放回去(这样下一次这张牌仍有机会被抽到),这叫有放回抽样有放回抽样.假设共抽了5次,共有多少种可能的抽法?第一次有52种抽法,在第一次的每一种抽法中,第二次又有52种抽法,因此抽5次共有5252525252=525种抽法.一般地一般地,从从n n个元素中进行个元素中进行mm次放回抽样次放回抽样,则则共有共有n nmm种抽法种抽法不放回抽样(排列)还是52张牌,每次抽出一张,但不放回,则第二
9、次抽时只有51张牌,第三次就只有50张牌.如果这样抽5次,就共有5251504948=52!/47!种抽法一般地,从N个元素中抽取n个(nN),共有不放回抽样(组合)如果从N个元素中不放回抽样n个,但不关心其顺序,比如说(1,2,3)和(3,2,1),(2,3,1)被视作一样,则称为组合,因此,组合的数目要比排列的数目小n!倍,记作先给出一个记号，它是组合数的推广，规定 例5 将 个球随机地放入 个盒子中去，盒子的容量不限，试求（1）每个盒子至多有一只球的概率；（2）个盒子中各有一球的概率 解 将 个球放入 个盒子中去，每种放法是一个基本事件。显然这是古典概型问题。因每一个球都可以放入 个盒子
10、中的任一个盒子，故共有种不同的方法 (2)个盒子可以有 种不同的选法。对选定的 个(3)盒子，每个盒子各有一个球的放法有 种。由乘 法原理，共有 种放法，因此所求概率为 (1)每个盒子中至多只有一只球,共有 种不同的方法，因此所求的概率为1.在应用古典概型时必须注意在应用古典概型时必须注意“等可能性等可能性”的条件的条件.2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏要重复计数，也不要遗漏.3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型.练习：练习：有有n个人，设每个人的生日是任一天的
11、概率个人，设每个人的生日是任一天的概率为为1/365.求这求这n(n 365)个人的生日互不相同的概率个人的生日互不相同的概率，至少有两人生日在同一天的概率。至少有两人生日在同一天的概率。例6 （女士品茶）一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶冲制而成.做了10次测试，结果是她都正确地辨别出来了.问该女士的说法是否可信？10次试验一共有 个等可能的结果 解 假设该女士的说法不可信，即纯粹是靠运气猜对的。在此假设下，每次试验的两个可能结果为：奶茶 或 茶奶且它们是等可能的，因此是一个古典概型问题。若记则 只包含了 个样本点中一个样本点，故由实际推断原理实际推
12、断原理，该女士的说法可信实际推断原理 概率很小的事件在一次试验中实际上几乎不会发生四、几何概型古典概型是关于试验的结果为有限个,且每个结果出现的可能性相同的概率模型.一个直接的推广是：保留等可能性，而允许试验的所有可能结果为直线上的一线段、平面上的一区域或空间中的一立体等具有无限多个结果的情形，称具有这种性质的试验模型为几何概型若在一个面积为 的区域 中等可能地任意投点，这 里“等可能”的含义是：点落入 中任何区域 的可能性的大小与区域 的面积 成正比，而与其位置和形状无关由知 从而几何概率 记事件则有 例例(会面问题会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小
13、时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。解：解：以以 X,YX,Y 分别表示甲分别表示甲、乙二人到达的时刻，乙二人到达的时刻，于是于是 即即 点点 M M 落在图中的阴影部落在图中的阴影部分分.所有的点构成一个正所有的点构成一个正方形，即有方形，即有无穷多个结果无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正都是等可能的，所以落在正方形内各点是方形内各点是等可能的等可能的.M(X,Y)y543210 1 2 3 4 5 x二人会面的条件是：二人会面的条件是：0 1 2 3 4 5yx54321y=x+1y=x-
14、1记记“两人会面两人会面”为事件为事件A练习练习.取一根长为取一根长为3 3米的绳子米的绳子,拉直后在拉直后在任意位置剪断任意位置剪断,那么剪得两段的长都不那么剪得两段的长都不少于少于1 1米的概率有多大米的概率有多大?解：如上图，记解：如上图，记“剪得两段绳子长都剪得两段绳子长都不小于不小于1m”1m”为事件为事件A A，把绳子三等分，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件事件A A发生。由于中间一段的长度等于发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事件绳子长的三分之一，所以事件A A发生的发生的概率概率P P（A A）=1/3=1/3。
15、3m1m1m第三节 条件概率一、条件概率二、乘法公式三、全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？（假定生男生女是等可能的）由题意，样本空间为(1)表示事件“至少有一个是女孩”，表示事件“两个都是女孩”，则有由于事件已经发生，所以这时试验的所有可能结果只有三种，而事件包含的基本事件只占其中的一种，所以有解在这个例子中，若不知道事件已经发生的信息，那么事件发生的概率为 其原因在于事件 的发生改变了样本空间，使它由原来的 缩减为 ，而 是在新的样本空间 中由古典概率的计算公式而得到的 这里 (2)关系式（2）不仅对上述特例成立，
16、对一般的古典概型和几何概型问题，也可以证明它是成立的上例中计算 P(B|A)的方法并不普遍适用如果回到原来的样本空间W 中考虑，显然有从而即(3)可以验证，条件概率P(|A)满足概率公理化定义中的三条公理 定义1事件A发生的条件下事件B发生的条件概率根据具体的情况，可选用下列两种方法之一来计算条件概率P(B|A)（1）在缩减后 WA 的样本空间中计算；（2）在原来的样本空间W中，直接由定义计算1 非负性2 规范性3 可列可加性例2 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球，依次从袋中不放回取两球（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次
17、取出的也是黑球的概率解（1）可以在缩减的样本空间 W WA1上计算。因为A1已发生，即第一次取得的是黑球，第二次取球时，所有可取的球只有9只W WA 中所含的基本事件数为9，其中黑球只剩下2个所以 记（2）由于第二次取球发生在第一次取球之后，故W WA2的结构并不直观因此，直接在W W中用定义计算P(A1|A2)更方便些 因为所以 例3 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的概率根据统计资料可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人，能够活到51岁的概率是多少？解 记 因此要求显然因为从而 可知该城
18、市的人在50岁到51岁之间死亡的概率约为0.00643在平均意义下，该年龄段中每千个人中间约有6.43人死亡二、乘法公式定理1（乘法公式）则由归纳法可得：则由可得例4 已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产品求采购员拒绝购买这批产品的概率解则从而 设由乘法定理于是由题意，有三、全概率公式与贝叶斯公式下面用概率的有限可加性及条件概率的定义和乘法定理建立两个计算概率的公式先引入一个例子 例6 某工厂的两个车间生产同型号的家用电器。据以往经验，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率
19、为0.12两个车间生产的成品混合堆放在一个仓库里且无区分标志，假设第1、2车间生产的成品比例为2:3(1)在仓库中随机地取一件成品,求它是次品的概率;(2)在仓库中随机地取一只成品，若已知取到的是次品,问该此次品分别是由第1,2车间生产的概率为多少？从而于是解(1)记因为（2）问题归结为计算 和 由条件概率的定义及乘法公式，有定义2定理2（全概率公式）则设试验E的样本空间为定理3（贝叶斯（Bayes）公式）与与全概率公式全概率公式刚好相反，刚好相反，贝叶斯公式贝叶斯公式主要用于当观主要用于当观察到一个事件已经发生时，去求导致所观察到的事察到一个事件已经发生时，去求导致所观察到的事件发生的各种原
20、因、情况或途径的可能性大小件发生的各种原因、情况或途径的可能性大小 练习练习1 有三个箱子有三个箱子,分别编号为分别编号为1,2,3.1号箱装有号箱装有1个个红球红球4个白球个白球,2号箱装有号箱装有2红红3白球白球,3号箱装有号箱装有3 红球红球.某人从三箱中任取一箱某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球从中任意摸出一球,求取得红求取得红球的概率球的概率.解解 记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;B=取得红球取得红球B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生，123其中其中 A1、A2、A3两两互斥两两互斥代入数据计算得：代入数据计算得：P(B
21、)=8/15运用运用全概率全概率公式公式即即 A1,A2,A3 构成空间的一个划分构成空间的一个划分,因为P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3,练习练习2 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱号箱装有装有3红球红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，一球，发现是红球发现是红球,求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白?该球取自哪号箱的该球取自哪号箱的可能性最大可能性最大?或者问或者问:解：解：记记 Ai=球
22、取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;B=取得红球取得红球求求P(A1|B)运用运用贝叶斯贝叶斯公式公式1231红红4白白?代入数据计算代入数据计算为为1/8.作业作业习题习题1-1-2 26,86,8习题习题1-31-31,3,7,1,3,7,10,1110,11例7 假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有银行存款利率的变化经分析，该时期内利率下调的概率为60，利率不变的概率为40 根据经验，在利率下调时某支股票上涨的概率为80，在利率不变时，这支股票上涨的概率为40求这支股票上涨的概率解故由全概率公式 例8 由医学统计数据分析可知，人群中患由某种病菌引起的疾病占总人数的0.5%一种血液化
23、验以95%的概率将患有此疾病的人检查出呈阳性，但也以1%的概率误将不患此疾病的人检验出呈阳性现设某人检查出呈阳性反应，问他确患有此疾病的概率是多少？解显然且已知 由贝叶斯公式可得 记B1与B2形成W的一个划分例9 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应地为0.8，0.1和0.1一顾客欲买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回试求：（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率 a；（2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率 b解（1）由全概率公式（2）由贝叶斯公式记第四节 独立性 主观概率一、独立性 二、主观概率一、独立性 1.
24、两个事件的独立性 因此 类似地 例1 袋中有6个白球，2个黑球，从中有放回地抽取两次，每次取一球，记A=第一次取到白球，B=第二次取到白球，则有(1)定义1若例2 甲乙二人独立地对目标各射击一次，设甲射中目标的概率为0.5，乙射中目标的概率为0.6，求目标被击中的概率解定理1证注：事件的独立性与事件的互不相容是两个完全不同的概念定义2 2.多个事件的独立性利用数学归利用数学归纳法，可把纳法，可把定理定理1推广推广至有限多个至有限多个事件的情形事件的情形 定理2则也相互独立定理3证利用独立性的概念简化计算(1)(2)例3（保险赔付）设有 个人向保险公司购买人身意外保险（保险期为1年），假定投保人
25、在一年内发生意外的概率为0.01（1）求保险公司赔付的概率；（2）当 为多大时，使得以上赔付的概率超过 解(1)记(2)例4 设有电路如下图所示，其中1，2，3，4为继电器接点，设各继电器接点闭合与否是相互独立的，且每一继电器接点闭合的概率均为p，求L至R为通路的概率 解设例5 根据以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%(记这一事件为 )，损坏10%(记这一事件为 )，损坏90%(记这一事件为 ).且 ，.设物品件数很多，取出一件后不影响后一件取的是否为好品的概率，现从已被运输的物品中随机地取3件，发现这三件都是好的（记这一事件为 ），试求 解 在被运输的物品中，随
26、机取3件，相当于在物品中抽 取3次，每次取一件，作不放回抽样由于抽取一件 后，不影响取后一件是否为好品的概率，已知当 发 生时，一件产品是好品的概率为 由独立 性可知，随机取3件，它们都是好品的概率为 即同样 又现且此时，全概率公式和贝叶斯公式仍能够应用，由贝叶斯公式可得：对独立事件，许多概率计算可得到简化对独立事件，许多概率计算可得到简化独立性的概念在计算概率中的应用独立性的概念在计算概率中的应用练习练习1：甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一：甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码，设甲译出的概率为个密码，设甲译出的概率为0.8，乙译出的概率为，乙译出的概率为0.7，丙译出的概率为，丙
27、译出的概率为0.6，求密码能译出的概率？，求密码能译出的概率？n解解:A=“甲译出密码甲译出密码”,B=“乙译出密码乙译出密码”,C=“丙译丙译出密码出密码”,D=“密码被译出密码被译出”,显然显然A、B、C相互独立相互独立nD=A+B+C，n=1-0.2*0.3*0.4=0.976n“三个臭皮匠，顶一个诸葛亮三个臭皮匠，顶一个诸葛亮”练习2：一个学生欲到三家图书馆借一本参考书每家图书馆购进这种书的概率是1/2，购进这种书的图书馆中该书被借完了的概率也是1/2各家图书馆是否购进该书相互独立问该学生能够借到书的概率是多少？二、主观概率对于不可重复进行的实验，在符合概率的公理化定义的三个基本条件下所定义的概率 主观概率的确定或是依赖于经验所形成的个人信念，或是依赖于对历史信息的提炼、概括和应用主观概率的确定虽然带有很大的个人成分，但并不是完全的臆测，并且主观概率在一定的条件下，还可使用贝叶斯公式加以修正主观概率至少是频率方法及古典方法的一种补充有了主观概率，至少可以使人们在频率观点不适用时也能谈论概率，且能使用概率统计方法解决相应的实际问题例6 某商店经理要知道一种新品种的牛奶畅销（记为事件A）的概率是多少，以决定是否向生产该牛奶的厂家订货及订多少他了解了该牛奶的质量和顾客对饮料的口味需求信息，再基于他多年成功销售的经验，认为事件A发生的可能性是 发生可能性的三倍，即因此