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1、第五章定积分及其应用 内容提要内容提要第一节定积分的概念第一节定积分的概念 第二节微积分基本公式第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法第三节定积分的换元法第四节定积分的分部积分法第四节定积分的分部积分法第五节无穷区间上的广义积分第五节无穷区间上的广义积分第六节定积分的应用举例第六节定积分的应用举例abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的
2、近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为实例二、求变速直线运动的路程实例二、求变速直线运动的路程思路：把整段时间分割成若干个小段，每思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路程小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。对时间的无限细分过程求得路程的精确值。（1）分割）分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和（3）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为
3、记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理三、存在定理四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义几何意义：几何意义：ab 例例1、用定积分表示下列图中阴影部分的面积、用定积分表示下列图中阴影部分的面积解：根据定积分的几何意义，解题如下：解：根据定积分的几何意义，解题如下：对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小五五 定积分的性质定积分的性质证证性质性质1 1证证性质性质2 2例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）
4、（定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质3 3证证性质性质4 4证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质5 5（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式重点：牛顿重点：牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式难点：难点：积分上限的函数积分上限的函数变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为一、问题的提出一、问题的提出考察定积分考察定积分
5、记记积分上限函数积分上限函数二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数积分上限函数的性质积分上限函数的性质证证由积分中值定理得由积分中值定理得 （2）分母的导数为分母的导数为所以有所以有定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）证证三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式令令令令牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.例计算下列定积分例计算下列定积分（1）(2)(3)(4)(5)第三节第三节 积分的换元法积分的换元法 重点与难点：重点与难点：掌握定积分的换元积分公式掌握定积
6、分的换元积分公式 牛顿莱布尼茨公式把定积分的计算问转牛顿莱布尼茨公式把定积分的计算问转化为求原函数（不定积分）的问题，因而求不化为求原函数（不定积分）的问题，因而求不定积分的各种具体方法经过适当的变化，都可定积分的各种具体方法经过适当的变化，都可用于求定积分，本节我们来学习定积分的换元用于求定积分，本节我们来学习定积分的换元法法.解法解法2要比解法要比解法1简便些，因为它省去了变量回简便些，因为它省去了变量回代这一步。代这一步。一般的，定积分的换元法可表述为：一般的，定积分的换元法可表述为：定积分的换元法有两个特点：定积分的换元法有两个特点：换成新变量换成新变量时，积分限也要换成相应于新变量时
7、，积分限也要换成相应于新变量的积分限的积分限.即所谓的即所谓的“换元必换限换元必换限.”（）求（）求出出的一个原函数后，不必象不定积分那样再把原变量的一个原函数后，不必象不定积分那样再把原变量回代，而直接代入新变量回代，而直接代入新变量的上下限，然后相减就的上下限，然后相减就把原变量把原变量（1）用）用可以了。可以了。第四节第四节 定积分的分部积分法定积分的分部积分法重点与难点：重点与难点：熟练掌握定积分的分部积分公式熟练掌握定积分的分部积分公式把不定积分的分部积分公式把不定积分的分部积分公式添加上积分限，就得到定积添加上积分限，就得到定积 分的分部积分公式：分的分部积分公式：例例 求求 解：
8、由例解：由例4的结果知的结果知当当时时，当当时，时，令令则则当当时，时，当当时时代入到代入到中得：中得：第五节第五节 无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分 重点与难点：重点与难点：广义积分的概念与计算广义积分的概念与计算显然，当显然，当在在内变化时，内变化时，曲边体形的面积曲边体形的面积也随着也随着b的变化而变化的变化而变化 时，这个曲边梯形面积的极限就应该是时，这个曲边梯形面积的极限就应该是“开口曲边梯形开口曲边梯形”的面积，即的面积，即当当二、二、广义积分的定义广义积分的定义为了书写方便起见，我们规定：为了书写方便起见，我们规定：记为记为写为写为第六节第六节 定积分应用举例定积分应用举
9、例重点与难点：重点与难点：正确理解定积分的元素法；正确理解定积分的元素法；熟练掌握用元素法求平面图形的面积和旋熟练掌握用元素法求平面图形的面积和旋转体的体积；转体的体积；会求平面曲线的弧长、变力作功和函数的会求平面曲线的弧长、变力作功和函数的平均值。平均值。回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题一、问题的提出一、问题的提出ab xyo（3）求和求和 得得A的近似值的近似值 面积表示为定积分的步骤是：面积表示为定积分的步骤是：ab xyo（4）求极限求极限 得得A的精确值的精确值提示提示面面积积元元素素微元法的一般步骤：微元法的一般步骤：这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法应
10、用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等曲边梯形的面积曲边梯形的面积平面图形的面积平面图形的面积二、平面图形的面积二、平面图形的面积解解 两曲线的交点为两曲线的交点为面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量 旋转体旋转体就是由一个就是由一个平面图形平面图形饶这平面内饶这平面内一条一条直线直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台三、旋转体的体积三、旋转体的体积xyo旋转体的体积为旋转体的体积为解解直线直线 方程为方程为弧长元素弧长元素
11、弧长弧长 四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长解解所求弧长为所求弧长为如图所示如图所示点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解解建立坐标系如图建立坐标系如图这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为功元素为功元素为(千焦千焦)等份，每个小区间的长度为等份，每个小区间的长度为由于由于连续，所以当连续，所以当足够大时，我们可把足够大时，我们可把在区间在区间上看作常数上看作常数，先把区间先把区间用分点用分点 这就是说，纯电阻电路中正弦交流电的平这就是说，纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流电压峰值乘积的一半均功率等于电流电压峰值乘积的一半.通常交流电器上注明的功率就是平均功率通常交流电器上注明的功率就是平均功率此此课件下件下载可自行可自行编辑修改，修改，仅供参考！供参考！感感谢您的支持，我您的支持，我们努力做得更好！努力做得更好！谢谢!