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1、,5.1 定积分的概念与性质5.2 微积分学基本定理5.3 定积分的积分法5.4 广义积分,第5章 定积分,结束,5.1.1 引入定积分概念的实例,引例1 曲边梯形的面积:如图,由连续曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形.,下面我们求曲边梯形的面积,(1)分割,在(a,b)内插入n1个分点,把区间a,b分成n个小区间,记每一个小区间 的长度为,a,b,x,5.1 定积分的概念与性质,(2)近似,表示第i个小曲边梯形的面积,在小区间 内任取一点 ,过点 作x轴的垂线与曲线交于点 ,以 为底, 为高做矩形,以此矩形做为小曲边梯形面积的近似值,则,a,(3)求和,将所有矩
2、形面积求和,过每个分点xi(i=1,2,n)作y轴的平行线，将曲边梯形,分割成n个小曲边梯形.,(4)取极限,记 为所有小区间中长度的最大者,即 ,当 时,总和的极限就是曲边梯形面积A,即,解 (1) 分割,引例2 变力做功,在 插入n个分点,则 即是曲边梯形面积的近似值.,将闭区间a,b分成n个小区间:,小区间的长度,(2)近似,在每一个小区间 上任取一点 ,把 做为质点在小区间上受力的近似值,于是,力F在小区间 上对质点所做的功的近似值为,(3)求和,把各小区间上力F所做的功的近似值加起来,即得到在区间 上所做功的近似值,即,(4)取极限,把所有小区间的最大长度记为 ,即 ,则当 时,和式
3、的极限即为变力在区间 上对质点所做的功,即,5.1.2 定积分的概念,定义,定积分(简称积分),其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间.,根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述：,曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间a,b上的定积分，即,如果函数f(x)在区间a,b上的定积分存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积.,质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在a,b上的定积分，即,可以证明:若
4、函数f (x)在在区间a,b上连续,或只有有 限个第一类间断点,则f (x)在在区间a,b上可积.,关于定积分的概念，还应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间a,b有关，而与积分变量的记法无关.即有,(2)在定积分 的定义中，总假设 ，为了 今后的使用方便，对于 时作如下规定：,如果在a,b上 ，此时由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分 在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.,5.1.3 定积分的几何意义：,如果在a,b上 ，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴
5、所围成的曲边梯形的面积.,如果在a,b上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.,性质1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数 和，即,5.1.4 定积分的基本性质,设下面函数f (x)， fi (x)， g(x)在a,b上可积.,推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即,如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b, 则,性质3,性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分.,当c在区间a,b 之外时，上面表达式也成立.,性质2 被积函数的常数因子可
6、以提到积分号外.,利用定积分的几何意义，可分别求出,例1,解,性质4,性质5,推论1,推论2,性质6 (估值定理),证明,例2,解,性质7(定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点 ，使下式成立,证明 因为函数f(x)在闭区间a,b上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在a,b上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质6，有,即数值 介于f(x)在a,b上的最大值M和最小值m之间.根据闭区间上连续函数的介值定理,至少存在一点 ,使得,即,性质7的几何意义：,在 上至少存在一点 ,使得曲边梯形的面积等于同一底边而高为 的矩形的
7、面积.,如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，我们称 为函数f(x)在a,b上的平均值.,如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为f(t), t为时间，则 表示该地、该日的平均气温.,如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x), (a为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流 在该截面处的平均水深为 .,5.2.1 变上限积分与对积分上限变量求导数,设函数f(x)在区间a,b上连续，则对于任意的x( )，积分 存在，且对于给定的x( ) 就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分 是上限x的函数.,注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中
8、)上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间,5.2 微分学基本定理,变化的，因此常记为,定理1,证明,由积分中值定理有,结论：变上限积分所确定的函数 对积分上限x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).,由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分.,可以证明 原函数存在定理,定理2 微积分学基本定理,5.2.2 微积分学基本定理,证明,上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理.,牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出
9、被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.,例1 求,解,例2 求,解,例3 求,解,例4 求,解,例5计算,，其中,解,例计算由曲线 、直线 x=2 与x轴围成的图形的面积,解由定积分的几何意义，得,定理 设函数f(x)在区间a,b上连续，若满足下列三个条件：,5.3.1 定积分的换元积分法,上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.,(2)当t在与之间变化时， 单调变化且 连续，则,5.3 定积分的积分方法,注意：,(1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即“换元必换限
10、”.,(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量.,(3)新变元的积分限可能，也可能，但一定要求满足 ，即 对应于 ， 对应于 .,例1 求,解,方法二,注: 用第一类换元法即凑微分法计算一些定积分时，可以不引入中间变量,例2 计算,解,=,注 用第二类换元法计算定积分时，由于引入了新的积分变量，因此，必须根据引入的变量代换，相应地变换积分限,例3 求,解,例4,证明,例4表明了连续的奇、偶函数在对称区间a,a上的积分性质，即偶函数在a,a上的积分等于区间0,a上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.,例5 求,解,例6 证明,证明,5.3.2 分部积分法,例7 求,解,例8 求,解,例 计算,解,例9 求,解,5.4 无穷区间的广义积分,前面所讨论的定积分，其积分区间都是有限区间然而，在实际问题中，常常会遇到积分区间为无穷区间的积分,函数f(x)在无穷区间 上的广义积分， 记作 ， 即,定义,这时也称广义积分 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分 发散，,无穷区间 上的广义积分定义为,类似地，无穷区间 上的广义积分定义为,上述三种方法统称为无穷区间上的广义积分.,例1 求,解,例2 求,解,所以，广义积分 收敛，且,例3,证明,