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1、第五章 定积分及其应用习 题 5-11. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值：（1）, （2）, （3）, （4）.解：若在几何上表示由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积. 若时，在几何上表示由曲线，直线及轴所围平面图形面积的负值.（1）由下图（1）所示，. 2A(2) -1 -1 1 1 1A1A (1) 1 -1 3A4A5A2 (3) 11(4)（2）由上图（2）所示，.（3）由上图（3）所示，.（4）由上图（4）所示，.2. 设物体以速度作直线运动，用定积分表示时间从0到5该物体移动的路程S.解：3. 用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数.解：任取分点,
2、把分成个小区间，小区间长度记为=-,在每个小区间上任取一点作乘积的和式：,记, 则.4. 利用定积分定义计算.解：连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对 等分，分点取相应小区间的右端点，故 = = =当（即），由定积分的定义得： =5. 利用定积分的估值公式，估计定积分的值.解：先求在上的最值，由 , 得或.比较 的大小，知，由定积分的估值公式，得,即 .6. 利用定积分的性质说明与，哪个积分值较大？解：在区间内： 由性质定理知道： 7. 证明：。证明：考虑上的函数，则，令得当时，当时，在处取最大值，且在处取最小值. 故，即。8. 求函数在闭区间-1，1上的平均值.解：平均值9. 设在0
3、，1上连续且单调递减，试证对任何有.证明： = = ，其中 又单调减，则，故原式得证.习 题 5.21. 计算下列定积分（1）; （2）; （3）; (4) .解：（1）（2）=+=4+.（3）=+=2+2=4.(4) =.2. 计算下列各题：（1）， （2）， （3）, （4）,（5）, （6）, （7）,（8）,（9）, （10）, （11） 解：（1）=. （2）=.（3）. （4）=.（5）. （6）.（7）=. (8) =.(10) =.（10）=.3. 求下列极限（1） . （2）.解：（1）此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得=（2） 4. 设，求y的极小值解： 当，得驻点，为
4、极小值点，极小值5. 设，求。解：6. 设，求。解：当时，当时，当时，故7. 设是连续函数，且，求。解：令，则，从而即，8。解：原式9求由所决定的隐函数对的导数。解：将两边对求导得， 习 题 5.31. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：（1）=.（2）=2=2.答：（1）不正确，应该为：=（2）不正确，应该为： =2.2. 计算下列定积分:(1), (2). （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； (10)； (11) ；（12）。 解：（1）令=,则,当= 0 时，= 0；当= 4 时，于是=（2）=.(3)(4) (5)令，时；时，.于是(6)
5、令，则，.当时，当时，.原式.(7) 令，.当时，；当时，.原式(8) 因为=从而=.(9) 原式(10) 原式(11) 原式 （12）设，于是=3. 计算下列定积分：（1）； （2）； （3）； （4）； (5)； (6)； (7)； (8) ； （9）； （10）。解：（1）=.(2) = =1 (3) = =移项合并得.（4）（5）（6）（7）（8）（9）而 , 故 . （10）4. 利用函数的奇偶性计算下列积分：（1）; (2) ； (3); （4）.解：(1) =(2) 原式(3) 为奇函数，（4） 利用定积分的线性性质可得原式，而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为0
6、， 原式5. 如果，且求解：由已知条件得 ，即， 即得。6.若在区间上连续,证明(1)=(2)= ,由此计算 证明：（1）设.且当时，；当故 （2）设， = 利用此公式可得：= = =.7. 设在上连续，证明 。证明 .令，则 故.8. 设是以为周期的连续函数，证明：。证明 .令，则 (以为周期) 故9. 设在上连续，证明：证明 利用分部积分法，= 习 题 5.41. 下列解法是否正确？为什么？.答：不正确.因为在，上存在无穷间断点 ， 不能直接应用公式计算，事实上，+不存在,故发散.2. 下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值.（1） ； （2） ； （3）； （4） （5）； （6）；
7、解：（1）=,发散.（2）=（3）（4）（5）=.（6），发散3.下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值.（1） （2） （3） 解：（1） =+=(2) 令，于是(3) 。4.证明广义积分 当时收敛；当时发散。证明：当，发散；当=。5.已知，求常数解：左端右端 ， 解之或。习 题 5.51、求由下列曲线围成的平面图形的面积：（1）及直线；解：如图，解方程组，得交点，所求面积为.（2）与（两部分均应计算）；解：如图，解方程组，得交点、，所求上半部分面积为.所求下半部分面积为（3）与直线；解：如图，解方程组，得交点，所求面积为.（4）轴与直线.解：选为积分变量，如图，所求面积为2.求二曲线与所
8、围公共部分的面积解： 当等于0和时，两曲线相交，所围公共部分的面积为.3、求由所围成的图形，绕轴及轴旋转所得的两个不同的旋转体的体积.解：如图，绕轴旋转所得的旋转体的体积为绕轴旋转所得的旋转体的体积为.4、有一立体，以长半轴、短半轴的椭圆为底，而垂直于长轴的截面都是等边三角形，求该立体的体积.解：解：取坐标系如图，底面椭圆方程为x垂直于轴的截面为等边三角形，对应于的截面的面积为于是所求立体体积为5、计算曲线相对应于到的一段曲线弧长.解：由弧长的公式得:.6、计算相应于自到的一段弧长.解：由弧长的极坐标公式得:.7、求星形线的全长.解：由弧长的参数方程公式得:.8、设把一金属杆的长度由拉长到时，
9、所需的力等于，其中为常数，试求将该金属杆由长度拉长到所作的功.解：由于金属杆拉长所需的力与拉长的长度成正比，且，其中为常数。选择金属杆拉长的长度为积分变量，其取值范围为，对于任意，在拉长的长度区间上，功元素为，于是。 9.一个底半径为，高为的圆柱形水桶装满了水，要把桶内的水全部吸出，需要做多少功（水的密度为）？解：建立如图坐标系. 取为积分变量, 任取子区间，相应一薄层水被抽到桶外需做的功近似为 ,于是，把桶内的水全部吸出，需做功.10、一矩形闸门垂直立于水中，宽为，高为，问闸门上边界在水面下多少米时？它所受的压力等于上边界与水面相齐时所受压力的两倍.解：设所求高度为，建立如图坐标系，任取小区
10、间，小区间上压力元素为 于是，由题意得： 从而。习题5.6（小时）本章复习题A1、求下列极限： （1）； （2）（3）； （4）1、解：（1） 。（2）原式。（3）。（4）。2、求的导函数。解：。3、求证下列各式： （1）； （2）。证明：（1）设，先求在上的最大、最小值。 由得内驻点， 由知 在上积分得。（2）。4、求下列积分： （1）； 解：。（2）；解：。（3） ；解：。 （4）；解：=。（5）。解：5求连续函数，使它满足.解 当时，令，；，则，两边求导数：两边积分及得：6若，求解：令，则，。当时，；当时，从而7求无穷积分.（1）；解：（2）.解 8设，求.解：9设时，的导数与是等价无穷
11、小，其中具有二阶连续导数.试求.解：依题意有本章复习题B 一、选择题1设上连续，则在上的平均值是（ ）ABCD2设函数，则（ ）A B C D3设是连续函数，且为偶函数，则在对称区间上的定积分（ ）AB C D4利用定积分的有关性质可以得出定积分（ ）A BCD5已知函数，则（ ）AB CD6设，且，则（ ）ABC D7设在上连续，是的一个原函数，则 （ ）ABCD8 若与是两条光滑曲线（其中），则由这两条曲线及直线，所围的平面区域的面积为（ ）A B C D一、选择题答案1D 2D 3B 4C 5B 6C 7B 8C二、填空题1 . 2 .3设是方程所确定的的函数，则 .4设是连续函数，则 .5已知则 .6无穷积分若收敛，则 .二、填空题答案 10 254 3 4 58 6三、计算题1利用定积分的定义或性质求下面的极限：（1）；解： 令，有，利用夹逼准则得（2）.解：令 故。2计算积分.解：I=故I。3计算广义积分