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1、精选优质文档-倾情为你奉上第五章 定积分及其应用【内容提要1定积分的概念和性质（1）定积分的定义设 是定义在 上的函数，在区间 内任意插入 个分点将其分成 个小区间。 记，在每个小区间上任取一点 ，下列和式的极限存在，且与小区间的划分及 的选取无关，则称函数 在 上可积，并称该极限值为 在 上的定积分 ，记作，即，其中 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量， 称为积分下限， 称为积分上限， 称为积分区间。（2）定积分的性质1）常数因子可以提到积分号外 （ 为常数）。2）函数代数和的积分等于它们积分的代数和。3）对任意单个实数 恒有。4）若在区间 上，被积函数 ，那么 特别地，当 时，
2、5）如果在区间 上， ，则 ()。6）记函数 在闭区间 上的最大值和最小值分别为 和 ，则 7）设函数 在闭区间 上连续，则在区间 上至少存在一点 ，使得 2.定积分的计算（1）牛顿-莱布尼兹公式 如果函数在区间上连续，且是的任意一个原函数，那么 。（2）定积分的换元法设函数在区间上连续，并且满足下列条件：（1），且，；（2）在区间上单调且有连续的导数；（3）当从变到时，从单调地变到。则有（3）定积分的分部积分法设函数和在区间上有连续的导数，则有3.定积分的应用实际应用时，通常按以下简化步骤来进行： （1）根据实际情况选取积分变量，并确定相应的积分区间。由于分割的任意性，为简便起见，对省略下标
3、，得，用表示内的任一小区间，并取小区间的左端点为，则的近似值就是以为底，为高的小矩形的面积，即。用微分表示，则有微元（2）将所有部分量累加起来，便得到所求量的积分表达式，然后计算它的值。利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法。1） 定积分在几何上的应用，求平面图形的面积和旋转体的体积。2） 定积分在物理上的应用，求液体的压力和变力做功。4.广义积分和函数（1）广义积分1）无穷积分 设函数连续，若极限 存在，则称此极限值为函数在无限区间上的无穷积分，记作 ，此时称无穷积分存在或收敛；若极限不存在，就称无穷积分不存在或发散。类似地，可以定义在无限区间上的广义积分也可定义在无限区间
4、上的广义积分2）瑕积分 设函数在内连续，是 的瑕点，有。若极限 存在，则称此极限值为函数在上的瑕积分或无界函数的广义积分，记作，并称瑕积分收敛，即若极限不存在，则称瑕积分发散。（2） 函数将含参变量的广义积分 称为函数。【习题解答】5-1 用定积分表示下列问题中的量纲。（1）圆的面积； （2）抛物线，直线及轴所围成的图形面积；（3）质量关于时间的减少率为的葡萄糖代谢在到这段时间内减少的质量。解（1）（2）（3）5-2 根据定积分的性质比较下列积分的大小。（1）与 （2）与（3）与 （4）与解（1）当时，所以，从而（2）当时，所以，从而（3）因为，所以（4）当时，从而5-3 求下列导数。 （1）
5、； （2）；（3）由参数方程所确定的函数的导数；（4）由方程确定的函数的导数。解 （1）（2）（3）（4）方程两边关于求导得 ，即 5-4 计算下列定积分。（1）； （2）；（3）； （4）；（5） ； （6）；（7）； （8） ；（9）设，求。解 （1）=（2）=（3）=（4）=（5）令，则=（6）令，则=（7）令，则=（8）=（9）令=5-5 利用函数的奇偶性计算下列定积分。（1）； （2）；（3）； （4）。解（1）因为 为奇函数，所以（2） （3）因为为奇函数，所以（4）利用定积分的线性性质可得,而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为0，则 5-6 计算下列定积分。（1）
6、； （2）；（3）； （4）；（5） ； （6）；（7）。解 （1）（2）（3）（4）=（5）=（6）（7），因为故 。5-7 求由下列曲线所围的图形的面积。（1）及直线所围图形的面积；（2）分割成两部分图形的各自面积；（3）与直线所围图形的面积；（4）轴与直线所围图形的面积。解 （1）如图4-1所示，解方程组，得交点，所求面积为图4-1（2）如图4-2所示，解方程组，得交点、，所求上半部分面积为.所求下半部分面积为.图4-2（3）如图4-3所示，解方程组，得交点，所求面积为图4-3（4）选为积分变量，如图4-4所示，所求面积为图4-45-8 求由下列曲线所围的图形的面积。（1）求圆所围图形的
7、面积； （2）求三叶线围成的图形面积。解（1） （2）5-9 求下列旋转体的体积。（1）由曲线和所围成的图形绕轴旋转后所得旋转体体积；（2）由所围成的图形，绕轴及轴旋转所得的两个不同的旋转体的体积。解（1）（2）如图4-5所示，绕轴旋转所得的旋转体的体积为绕轴旋转所得的旋转体的体积为. 图4-55-10 在轴上作直线运动的质点，在任意点处所受的力为，试求质点从运动到处所做的功。解 ，积分得5-11 设把一金属杆的长度由拉长到时，所需的力等于，其中为常数，试求将该金属杆由长度拉长到所作的功。解 由于金属杆拉长所需的力与拉长的长度成正比，且，其中为常数。选择金属杆拉长的长度为积分变量，其取值范围为
8、，对于任意，在拉长的长度区间上，功元素为，于是5-12 有一等腰梯形闸门，上下底边各长10m和6m，高为8m，上底边与水面相距2m，求闸门一侧受的压力。解 5-13 一金属棒长3m，离棒左端m处的线密度为，问 为何值时，一段的质量是全棒质量的一半？解 由 得，。 5-14 计算下列广义积分。（1） ； （2） ； （3）； （4）； （5）；（6）。 解 （1）=（2）（3）（4） =+.=（5）（6） 【课外练习】一、单选题1. 若，则（ ）。A. B. C. D. 2. 下列等于1的积分是（ ）。A B C D3. 曲线与坐标周围成的面积（ ）。A4 B2 C D34. 若，则与的大小关系
9、是（ ）。ABCD无法确定5. 积分中值定理，其中（ ）。 A.是内任一点； B.是内必定存在的某一点； C.是内唯一的某一点；D.是的中点。6. 设连续，则（ ）。A B. C. D. 二、填空题1广义积分 ；2函数的递减区间为 ；3设为常数，则 ；4极限= ；5设连续，则曲线在处的切线方程是 ； 6 。三、计算及证明题1求定积分。2. 求由曲线和所围成图形的面积。3. 设，求。4设，求5已知，求6设抛物线通过点，且当时，试确定的值，使得抛物线与直线所围图形的面积为，且使该图形绕轴旋转而成的旋转体的体积最小。7. 设在区间上连续，且，。证明：（1）；（2）方程在区间内有且仅有一个根。【课外练
10、习 参考答案】第五章 定积分及其应用一、单选题1A 2. C 3. D 4. A 5. B 6. C 二、填空题1. 2. 3. 4、 5. 6. 1三、计算题1. 解 令，则 时，；时，于是原式=2. 解 求交点，解方程组 得 所围面积 3. 解 设，则 时，；时，于是 4解 因为，所以 又因为，所以，解得，于是5解 6解 由已知条件：抛物线通过点，可得，抛物线与直线所围图形的面积为从而得到，即，该图形绕轴旋转而成的旋转体体积为因此当时体积为最小，此时，抛物线为在区间上，此抛物线满足，故所求解符合题目要求。7.证 （1） （2） 由闭区间上连续函数性质可知在区间内必有零点，根据（1）可知函数在区间上单调增加，从而零点惟一，即方程=0在区间内有且仅有一个根。专心-专注-专业