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1、xyo图象性质：图象性质：1、对称轴是、对称轴是y轴轴 2、顶点坐标是原点、顶点坐标是原点设函数解析式为：设函数解析式为：y=ax2xyo图象性质：图象性质：图象性质：图象性质：1 1、对称轴是、对称轴是、对称轴是、对称轴是y y轴轴轴轴 2 2、顶点在、顶点在、顶点在、顶点在y y轴上（除原点外）轴上（除原点外）轴上（除原点外）轴上（除原点外）设函数解析式为：设函数解析式为：y=ax2+kxyoX=hX=h图象性质图象性质:1、对称轴是、对称轴是x=h 2、顶点在、顶点在x轴上轴上设函数解析式为：设函数解析式为：y=a(x-h)2xyo(h,kh,k)图象性质：图象性质：1、顶点坐标、顶点坐
2、标：（：（h,k）2、对称轴：、对称轴：x=h设函数解析式设函数解析式(顶点式顶点式)为：为：y=a(x-h)2+kX=hX=hxyo图象性质：图象性质：抛物线经过原点抛物线经过原点设函数解析式为：设函数解析式为：y=ax2+bxxyox1x2图象性质：抛物线与图象性质：抛物线与x轴交轴交于两点（于两点（x1,0）（）（x2,o）设函数解析式（设函数解析式（交点式交点式）为：）为：y=a(x-x1)(x-x2)例：已知二次函数的图象经过点例：已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2)；求它的关系式；求它的关系式分析分析分析分析:根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函
3、根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为数关系式为数关系式为数关系式为y yaxax2 2bxbxc c的形式的形式的形式的形式(三点解析式三点解析式三点解析式三点解析式)例：已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2)；求它的关系式解解:设二次函数关系式yax2bxc，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c=-1又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到解这个方程组，得 a=2，b=-1所以，所求二次函数的关系式是y2x2x1例：已知抛物线的顶点为例：已知抛
4、物线的顶点为(1，-3)，且与，且与y轴轴交于点交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式，求这个二次函数的解析式分析分析:根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为关系式为ya(x1)23，再根据抛物线与，再根据抛物线与y轴的交点可求出轴的交点可求出a的值；的值；例：已知抛物线的顶点为例：已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与，且与y轴交轴交于点于点(0，1)，求这个二次函数的解析式，求这个二次函数的解析式解解:抛物线的顶点为抛物线的顶点为(1，-3)设设二此函数的关系式为二此函数的关系式为ya(x1)23，抛抛物线与物线与y轴交于点轴交于点(0，1)1a(01
5、)23 解解得得 a4 二二次函数的关系式是次函数的关系式是y4(x1)23 即即 y4x28x1例：已知抛物线的顶点为例：已知抛物线的顶点为(3(3，-2)-2)，且与，且与x x轴轴两交点间的距离为两交点间的距离为4 4，求它的解析式，求它的解析式分析:根据已知抛物线的顶点坐标(3，-2)，可设函数关系式为ya(x3)22，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入 ya(x3)22，即可求出a的值 例：已知抛物线与例：已知抛物线与x轴交于点轴交于点M(-3，0)、(5，0)，且与且与y轴交于点轴交于点(0
6、，-3)求它的解析式求它的解析式方法方法1 1，因为已知抛物线上三个点，所以可设函数，因为已知抛物线上三个点，所以可设函数关系式为一般式关系式为一般式y yaxax2 2bxbxc c，把三个点的坐标，把三个点的坐标代入后求出代入后求出a a、b b、c c，就可得抛物线的解析式。，就可得抛物线的解析式。方法方法2 2，根据抛物线与，根据抛物线与x x轴的两个交点的坐标，可设轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为函数关系式为 y ya(a(x3)(3)(x5)5)，再根据抛物线，再根据抛物线与与y y轴的交点可求出轴的交点可求出a a的值；的值；分析:方法三：例：已知抛物线经过点例：已知抛物线经
7、过点A（-1，3）；）；B（5，3）和点和点C（2，1），求此抛物线的解析式），求此抛物线的解析式分析：分析：方法方法方法方法1 1：已知此抛物线经过三个点，故可以设此抛物线：已知此抛物线经过三个点，故可以设此抛物线：已知此抛物线经过三个点，故可以设此抛物线：已知此抛物线经过三个点，故可以设此抛物线的解析式为一般式：的解析式为一般式：的解析式为一般式：的解析式为一般式：y=axy=ax2+bx+c,从而求之。从而求之。方法方法方法方法2 2：已知此抛物线经过点：已知此抛物线经过点：已知此抛物线经过点：已知此抛物线经过点A A（-1-1，3 3）；）；）；）；B B（5 5，3 3），），），）
8、，通过分析点通过分析点通过分析点通过分析点A A与点与点与点与点B B是抛物线上关于对称轴对称的两点，是抛物线上关于对称轴对称的两点，是抛物线上关于对称轴对称的两点，是抛物线上关于对称轴对称的两点，故可以先求出此抛物线的对称轴故可以先求出此抛物线的对称轴故可以先求出此抛物线的对称轴故可以先求出此抛物线的对称轴 所以可以所以可以所以可以所以可以设设设设y=a(x-2)y=a(x-2)2 2+k,+k,再将再将再将再将A A（-1-1，3 3）（或）（或）（或）（或B B（5 5，3 3）与）与）与）与C C（2 2，1 1）代入求解即可。）代入求解即可。）代入求解即可。）代入求解即可。方法三1、
9、已知：二次函数过、已知：二次函数过A（-1，6），），B（1，4），），C（0，2）；求函数的解）；求函数的解析式析式.2、已知抛物线的顶点为、已知抛物线的顶点为(-1，-3)与与y轴轴交于点交于点(0，-5).求抛物线的解析式。求抛物线的解析式。3、已知抛物线与、已知抛物线与x轴交于轴交于A(-1，0)、B(1，0)，且过点，且过点M(0，1)；求抛物；求抛物线的解析式线的解析式.4、已知抛物线的顶点坐标为、已知抛物线的顶点坐标为(0,3),与与x轴的一个交点是轴的一个交点是(-3，0)；求抛物线的；求抛物线的解析式解析式.复习复习y=a(x-x1)(x-x2)y=ax2+bx+cy=a(x
10、-h)2+k判断下列问题适合设哪种函数表达式判断下列问题适合设哪种函数表达式?y=ax2+C5、已知抛物线经过已知抛物线经过(0,0)和和(2,1)两两点点,且关于且关于y轴对称轴对称,求抛物线的解析式求抛物线的解析式.y=ax21根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式 (1)已知二次函数的图象经过点已知二次函数的图象经过点(0，2)、(1，1)、(3，5)；(2)已知抛物线的顶点为已知抛物线的顶点为(-1，2)，且过点，且过点(2，1)；(3)已知抛物线与已知抛物线与x轴交于点轴交于点M(-1，0)、(2，0)，且经过点，且经过点(1，2)2
11、二次函数图象的对称轴是二次函数图象的对称轴是x=-1，与，与y轴交点的轴交点的纵坐标是纵坐标是 6，且经过点，且经过点(2，10)，求此二次函数的，求此二次函数的关系式关系式课堂练习课堂练习某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽面宽AB为为1.6m，涵洞顶点，涵洞顶点O到水面的距离为到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？关系式是什么？分析分析 如图，以如图，以ABAB的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴，轴，以过点以过点O的的y y轴的垂线为轴的垂线为x
12、x轴，建立了直角轴，建立了直角坐标系这时，涵洞所在的抛物线的顶坐标系这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是点在原点，对称轴是y y轴，开口向下，所轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是以可设它的函数关系式是y=ax2(a0)此时只需抛物线上的一个点就能求出抛此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式物线的函数关系式xyOAB 解解:以以ABAB的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴，以过顶点轴，以过顶点O O的的y y轴的垂线为轴的垂线为x x轴，建立如图所示直角坐轴，建立如图所示直角坐标系这时，涵洞所在的抛物线的顶点在标系这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是原点，对称轴是
13、y y轴，开口向下，所以设它轴，开口向下，所以设它的函数关系式是的函数关系式是y=axy=ax2 2(a0)(a0)由题意，得由题意，得点点B B的坐标为（的坐标为（0.80.8，-2.4-2.4），又因为点），又因为点B B在在抛物线上，所以抛物线上，所以解得:因此，函数关系式是 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽面宽AB为为1.6m，涵洞顶点，涵洞顶点O到水面的距离为到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？关系式是什么？xyOAB二次函数的三种常用形式一般式一般式y=ax2+bx+c顶点式顶点式ya(xh)2k交点式交点式ya(x-x1)(x-x2)xyoxyoxyoxyoxyoy=axy=ax2 2y=axy=ax2 2+k+ky=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+ky=axy=ax2 2+bx+bxy=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)xyoX=hX=h