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1、用待定系数法求二次函数解析式第1页，本讲稿共22页回顾：用待定系数法求解析式回顾：用待定系数法求解析式已知一次函数经过点（已知一次函数经过点（1，3）和（）和（-2，-12），求这个一），求这个一次函数的解析式。次函数的解析式。解：设这个一次函数的解析式为解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点因为一次函数经过点（1，3）和（）和（-2，-12），），所以所以k+b=3-2k+b=-12解得解得 k=3，b=-6一次函数的解析式为一次函数的解析式为y=3x-6.第2页，本讲稿共22页解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由已知得：由已知得：a-b+
2、c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：解方程得：因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是：a=2,b=-3,c=5y=2x2-3x+5例例1 已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（1，10）、）、（1，4）、（）、（2，7）三点，求这个函数的解析式）三点，求这个函数的解析式.用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式第3页，本讲稿共22页求二次函数求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求的解析式，关键是求出待定系数出待定系数a，b，c的值。的值。由已知条件（如二次函数图像上三个点的由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于坐标）
3、列出关于a，b，c的方程组，并求出的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。就可以写出二次函数的解析式。用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式第4页，本讲稿共22页解：因为抛物线的顶点为（解：因为抛物线的顶点为（-1，-3），），所以，设所求的二次函数的解析式为所以，设所求的二次函数的解析式为 y=a(x1)2-3例例2 已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1，3），与），与y轴的轴的交点为（交点为（0，5），求抛物线的解析式。），求抛物线的解析式。因为点（因为点（0，-5）在这个抛物线上，）在这个抛物线上，所以所以a-3=-5，解得解得a=-2故所求的
4、抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2-3即：即：y=2x2-4x5用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=a(x-h)2+k第5页，本讲稿共22页练习练习：已知抛物线的顶点是（：已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（）且过点（2，3)，求出对应的二次函数解析式求出对应的二次函数解析式练习：练习：已知二次函数的图象经过点（已知二次函数的图象经过点（4，3），并且当），并且当x=3时有最大值时有最大值4，求出对应的二次函数解析式；，求出对应的二次函数解析式；又过点（又过点（2，3）a(2-1)2+2=3，a=1解：设所求的
5、二次函数为解：设所求的二次函数为y=a(x-h)2+k顶点是（顶点是（1，2）y=a(x-1)2+2，y=(x-1)2+2，即，即y=x2-2x+3已知抛物线的顶点与已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，抛物线上另一点时，通常设为顶点式通常设为顶点式已知条件中的当已知条件中的当x=3x=3时有最大值时有最大值4 4也就是抛物线的顶点坐标为（也就是抛物线的顶点坐标为（3,43,4），），所以设为顶点式较方便所以设为顶点式较方便y=-7(x-3)y=-7(x-3)2 2+4+4也就也就y=-7xy=-7x2 2+42x-59+42x-59第6页，本讲稿共22页顶点式顶点式y=a(x-h)2+k(a、
6、h、k为常数为常数a0).1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k.2.特别地，当抛物线的顶点为原点是，特别地，当抛物线的顶点为原点是，h=0,k=0,可可设函数的解析式为设函数的解析式为y=ax2.3.当抛物线的对称轴为当抛物线的对称轴为y轴时，轴时，h=0,可设函数的可设函数的解析式为解析式为y=ax2+k.4.当抛物线的顶点在当抛物线的顶点在x轴上时，轴上时，k=0，可设函数，可设函数的解析式为的解析式为y=a(x-h)2.第7页，本讲稿共22页所
7、以设所求的二次函数为所以设所求的二次函数为y=a(x1)(x1)例例3 已知抛物线与已知抛物线与X轴交于轴交于A（1，0），），B（1,0）并经过点并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？），求抛物线的解析式？又又 点点M(0,1)在抛物线上在抛物线上 a(0+1)(0-1)=1解得：解得：a=-1故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=-(x1)(x-1)即：即：y=x2+1用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式解：因为抛物线与解：因为抛物线与x轴的交点为轴的交点为A(1，0)，B(1，0)，第8页，本讲稿共22页交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2).（
8、a、x1、x2为常数为常数a0）当抛物线与当抛物线与x轴有两个交点为（轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，时，二二次函数次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与因此当抛物线与x轴有两个交点为（轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为时，可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，在把另，在把另一个点的坐标代入其中，即可解得一个点的坐标代入其中，即可解得a，求出抛物线的解，求出抛物线的解析式。析式。交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2).x1和和x2分别是抛物线分别是抛物线与与x轴的两个交点的
9、横坐标，这两个交点关于抛轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的对称轴对称，则直线物线的对称轴对称，则直线 就是抛物就是抛物线的对称轴线的对称轴.第9页，本讲稿共22页课堂小结课堂小结求二次函数解析式的一般方法：求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值，已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式通常选择一般式y=ax2+bx+c;已知图象的顶点坐标对称轴和最值）已知图象的顶点坐标对称轴和最值）通常选择顶点式通常选择顶点式y=a(x-h)2+k，已知图象与已知图象与x轴的两个交点的横轴的两个交点的横x1、x2，通常选择交点式（两根式）通常选择交点式（两根式）y=a(x-x1
10、)(x-x2)。yxo确定二次函数的解析式时，应该根据条件的确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，特点，恰当地选用一种函数表达式，第10页，本讲稿共22页充分利用条件充分利用条件 合理选用以上三式合理选用以上三式例例4 已知抛物线的顶点为已知抛物线的顶点为A(-1，-4)，又知它与，又知它与x 轴轴的两个交点的两个交点B、C间的距离间的距离为为4，求其解析式。，求其解析式。yxo-321 1 2ABC5-3-4分析：先求出分析：先求出B B、C C两点两点的坐标，然后选用顶点的坐标，然后选用顶点式或交点式求解。式或交点式求解。第11页，本讲稿共22页应应 用用例
11、例5 5有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里(如图所如图所示示)，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 解：设抛物线的解析式为解：设抛物线的解析式为y=ax2bxc，根据题意可知根据题意可知抛物线经过抛物线经过(0，0)，(20，16)和和(40，0)三点三点 可得方程组可得方程组 通过利用给定的条件通过利用给定的条件列出列出a、b、c的三元的三元一次方程组，求出一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定的值，从而确定函数的解析式函数的解析式过程较繁杂，过
12、程较繁杂，第12页，本讲稿共22页设抛物线为设抛物线为y=a(x-20)216解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(0，0)在抛物线上，在抛物线上，通过利用条件中通过利用条件中的顶点和过原点的顶点和过原点选用顶点式求解，选用顶点式求解，方法比较灵活方法比较灵活 评价评价 所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为 例例5 5 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里(如图所如图所示示)，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 应应 用用第13页，本讲稿共22页设抛
13、物线为设抛物线为y=ax(x-40）解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(20，16)在抛物线上，在抛物线上，选用两根式求解，方选用两根式求解，方法灵活巧妙，过程也法灵活巧妙，过程也较简捷较简捷 评价评价例例5 5 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里(如图所示如图所示)，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 应应 用用第14页，本讲稿共22页练习：如图，已知二次函数练习：如图，已知二次函数 的图像经过点的图像经过点A A和点和点B B（1 1）求该二
14、次函数的表达式；）求该二次函数的表达式；（2 2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3 3）点）点P P（m m，m m）与点）与点Q Q均在该函数图像上（其中均在该函数图像上（其中m m0 0），且这两点关于抛物），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求线的对称轴对称，求m m的值及点的值及点Q Q 到到x x轴的距离轴的距离xyO3911AB图13解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入得解得二次函数的表达式为（2）对称轴为直线x2；顶点坐标为（2，-10）（3）将（m，m）代入，得，解得，m0，不合题意，舍去m=6点P与点Q关于对称轴x2对称
15、，点Q到x轴的距离为6第15页，本讲稿共22页课堂练习课堂练习第16页，本讲稿共22页课堂小结课堂小结求二次函数解析式的一般方法：求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值，已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式通常选择一般式已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标 通常选择顶点式通常选择顶点式 已知图象与已知图象与x轴的两个交点的横轴的两个交点的横x1、x2和另一个点的坐标和另一个点的坐标 通常选择交点式通常选择交点式 确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用
16、一种函数表达式，恰当地选用一种函数表达式，第17页，本讲稿共22页一般式：一般式：例例1求经过有三点求经过有三点A（-2，-3），），B（1，0），C（2，5）的）的二次函数的解析式二次函数的解析式.xyo-321 1 2ABC5-3 分析分析 ：已知一般三点，用：已知一般三点，用待定系数法设为一般式求待定系数法设为一般式求其解析式其解析式.第18页，本讲稿共22页顶点式顶点式：例例2 已知抛物线的顶点为已知抛物线的顶点为D(-1，-4)，又经过点，又经过点C(2，5)，求其解析式。，求其解析式。xyo-321 1 2ABC5-3-4分析：设分析：设抛物线的解析式为抛物线的解析式为 ，再根据，
17、再根据C点坐标求出点坐标求出a的值。的值。顶点式：顶点式：第19页，本讲稿共22页交点式交点式：例例3 已知抛物线与已知抛物线与x轴的两个交轴的两个交点为点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过，又经过点点C(2，5)，求其解析式。，求其解析式。xyo-321 1 2BC5-3A分析：设抛物线的解析式为分析：设抛物线的解析式为 ，再根据，再根据C点坐标求出点坐标求出a的值。的值。交点式：交点式：第20页，本讲稿共22页充分利用条件充分利用条件 合理选用以上三式合理选用以上三式例例4 已知抛物线的顶点为已知抛物线的顶点为A(-1，-4)，又知它与，又知它与x 轴轴的两个交点的两个交点B、C间的距离间的距离为为4，求其解析式。，求其解析式。yxo-321 1 2ABC5-3-4分析：先求出分析：先求出B B、C C两点两点的坐标，然后选用顶点的坐标，然后选用顶点式或交点式求解。式或交点式求解。第21页，本讲稿共22页（南通市）已知抛物线（南通市）已知抛物线y=ax2+bx+c经过经过A，B，C三点，当时，其图象如图所示。求抛物线的三点，当时，其图象如图所示。求抛物线的解析式，写出顶点坐标。解析式，写出顶点坐标。245-3ABCxy第22页，本讲稿共22页