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1、常微分方程与差分方程第1页，共42页，编辑于2022年，星期六10.6.1 差分的概念及性质差分的概念及性质1.差分的定义差分的定义第2页，共42页，编辑于2022年，星期六第3页，共42页，编辑于2022年，星期六解解第4页，共42页，编辑于2022年，星期六解解第5页，共42页，编辑于2022年，星期六解解第6页，共42页，编辑于2022年，星期六解解（公式公式）第7页，共42页，编辑于2022年，星期六2.差分的四则运算法则差分的四则运算法则可参照导数的四则运算法则学习可参照导数的四则运算法则学习第8页，共42页，编辑于2022年，星期六证明（证明（3）第9页，共42页，编辑于2022年
2、，星期六又证明（又证明（3）第10页，共42页，编辑于2022年，星期六分分析析例例5借助公式借助公式和差分的运算法则可求和差分的运算法则可求第11页，共42页，编辑于2022年，星期六解解第12页，共42页，编辑于2022年，星期六解解例例6第13页，共42页，编辑于2022年，星期六10.6.2 差分方程的基本概念差分方程的基本概念1.差分方程与差分方程的阶差分方程与差分方程的阶定义定义第14页，共42页，编辑于2022年，星期六定义：定义：第15页，共42页，编辑于2022年，星期六 注：由差分的定义及性质可知，差分方程的不同注：由差分的定义及性质可知，差分方程的不同定义形式之间可以相互
3、转换。定义形式之间可以相互转换。第16页，共42页，编辑于2022年，星期六解解第17页，共42页，编辑于2022年，星期六解解第18页，共42页，编辑于2022年，星期六2.差分方程的解差分方程的解含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解阶数相同的差分方程的解.差分方程的通解差分方程的通解第19页，共42页，编辑于2022年，星期六为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件所附加的条件.通解中任
4、意常数被初始条件确定后的解通解中任意常数被初始条件确定后的解.初始条件初始条件差分方程的特解差分方程的特解第20页，共42页，编辑于2022年，星期六例例9第21页，共42页，编辑于2022年，星期六证明证明第22页，共42页，编辑于2022年，星期六10.6.3 线性差分方程解的结构线性差分方程解的结构n阶齐次线性差分方程的标准形式阶齐次线性差分方程的标准形式n阶非齐次线性差分方程的标准形式阶非齐次线性差分方程的标准形式第23页，共42页，编辑于2022年，星期六1.n阶齐次线性差分方程解的结构阶齐次线性差分方程解的结构问题问题:第24页，共42页，编辑于2022年，星期六（是任意常数）是任
5、意常数）那么称这些函数在区间内那么称这些函数在区间内线性相关；线性相关；否则称否则称线性无关线性无关.第25页，共42页，编辑于2022年，星期六例如例如线性无关线性无关线性相关线性相关由此可见，要求出由此可见，要求出n阶常系数齐次线性差分方程（阶常系数齐次线性差分方程（1）的）的通解，只需求出其通解，只需求出其n个线性无关的特解个线性无关的特解.第26页，共42页，编辑于2022年，星期六2.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构阶常系数非齐次线性差分方程解的结构由此可见，要求出由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方程阶常系数非齐次线性差分方程（2）的通解，只需求出（）的通解，只需求出（1
6、）的通解和（）的通解和（2）的一个）的一个特解即可特解即可.第27页，共42页，编辑于2022年，星期六第28页，共42页，编辑于2022年，星期六一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式 10.6.4 10.6.4 一阶常系数线性差分方程的解法一阶常系数线性差分方程的解法第29页，共42页，编辑于2022年，星期六一一 、一阶常系数齐次线性差分方程的求解、一阶常系数齐次线性差分方程的求解第30页，共42页，编辑于2022年，星期六解解第31页，共42页，编辑于2022年，星期六第32页
7、，共42页，编辑于2022年，星期六特征方程特征方程特征根特征根解解第33页，共42页，编辑于2022年，星期六解解第34页，共42页，编辑于2022年，星期六二、二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解一阶常系数非齐次线性差分方程的求解第35页，共42页，编辑于2022年，星期六第36页，共42页，编辑于2022年，星期六1.第37页，共42页，编辑于2022年，星期六(1)(2)综上讨论综上讨论第38页，共42页，编辑于2022年，星期六解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程,得得原方程通解为原方程通解为第39页，共42页，编辑于2022年，星期六解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解代入方程代入方程,得得第40页，共42页，编辑于2022年，星期六解解第41页，共42页，编辑于2022年，星期六2.第42页，共42页，编辑于2022年，星期六