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1、常微分方程的差分方法第一页，讲稿共三十四页哦第三章第三章 常微分方程的差分方法常微分方程的差分方法1 1教学内容：教学内容：Euler方法：Euler公式，单步显式公式极其局部截断误差；后退Euler公式，单步隐式公式极其局部截断误差；梯形公式，预测校正公式与改进Euler公式。2 2重点难点：重点难点：Euler公式，预测校正公式与改进Euler公式3 3教学目标：教学目标：了解欧拉方法的几何意义、对给出的初值问题，能利用Euler公式，改进Euler公式进行数值求解第二页，讲稿共三十四页哦 科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题的最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初
2、值问题：00,yfxyyxy（1）（2）本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值问题解的存在唯一。虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求解从实际问题中归结出来的微分方程要靠数值解法。初值问题（1）、（2）局部解的唯一存在条件：若 连续且满足Lipschitz条件，即存在常数L，对一切 有),(yxf,baxyyLyxfyxf),(),(第三页，讲稿共三十四页哦 差分法是一类重要的数值方法，这类方法是要寻求 离散节点上的近似解 ，相邻节点间距 称为步长步长。初值问题的各种差分方法都采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。描述这类算法，只要给出从已知信息 计算 的递推公
3、式，这类计算格式统称为差分格差分格 式式。nxxx2112,ny yy 1nnhxx12,nnnyyy1ny 微分方程初值问题（1）、（2）的数值解法，就是求它的解y(x)在一系列节点nxxx21上的近似值 ，用 。iy),2,1()(nixyyiinnxxh1称为步长，一般总取h为常数。第四页，讲稿共三十四页哦3 3、1 1 欧拉方法欧拉方法1 1、欧拉格式欧拉格式 微分方程的本质特征是方程中含有导数项，这也是它难于求解的症结所在。数值解法的第一步就是设法消除其导数项，这项手续称为离散化离散化。实现离散化的基本途径就用差商代替导数。譬如，若在点 处列出方程nx)(,()(nnnxyxfxy并
4、用差商 代替 ，结果有1nny xy xhnyx1,nnnnyxyxhfxyx)(,()(),(xyxfxyyxfy )(,()()()(,()()(11nnnnnnnnxyxhfxyxyxyxfhxyxy 第五页，讲稿共三十四页哦 设用 的近似值 代入上式右端，记所求结果为 ，这样导出的计算公式ny xny1ny1,0,1,2,nnnnyyhfxyn（3）已先期算出已知节点步长 这就是众所周知的欧拉（欧拉（EulerEuler）格式）格式，若初值 是已知的，则依据上式即可逐步算出数值解0y12,yy第六页，讲稿共三十四页哦yx00 x1nx1x2x2y1ny0y的近似值。作为则取交于它与直线
5、的切线作曲线先过（)()(,()(,()(),110100011000000 xyyxxyxfyyxxxxyxfyyxyyyx的近似值。作为则取交于它与直线的切线作曲线再过（)()(,()(,()(),221211122111111xyyxxyxfyyxxxxyxfyyxyyyxnxny仿此不断地作下去的近似值。作为则取交于它与直线的切线作曲线再过（)()(,()(,()(),11111nnnnnnnnnnnnnnnxyyxxyxfyyxxxxyxfyyxyyyx欧欧拉拉方方法法的的几几何何解解释释Y1第七页，讲稿共三十四页哦例例1求解初值问题1)0()10(2yxyxyy（其解析解为）12
6、xy解：解：设步长 h=0.1，由欧拉公式（3）有：)2(1011nnnnnyxyyy所以，1000.11011)2(10100001yxyyy1918.1)1.12.01.1(1011.1)2(10111112yxyyy第八页，讲稿共三十四页哦计算结果表xnyny(xn)xnyny(xn)0.11.10001.09450.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43511.41421.01.78481.7321第九页，
7、讲稿共三十四页哦00.20.40.60.8111.11.21.31.41.51.61.71.8解析解数值解第十页，讲稿共三十四页哦 为简化分析，人们常假设在第n步求得的 为准确即 的前提下估计误差 这种误差称为局部截断误差局部截断误差。误差估计为：y(xn+1)-y(xn)+hf（xn,y(xn)）nynnyy x11nny xy 如果不作这一假定，累积了n 步的误差，称为整体截断误差。其表达式为y(xn+1)-yn+1=y(xn+1)-yn+hf(xn,yn)第十一页，讲稿共三十四页哦如果一种数值方法的局部截断误差为 则称它的的精度是 p 阶的，或称之为 p 阶方法。1pO h对于欧拉格式（
8、3），假定)(nnxyy 则有：)()()(,()(1nnnnnnxhyxyxyxhfxyy第十二页，讲稿共三十四页哦由此我们可知欧拉格式仅为一阶方法。将)(1nxy在nx点泰勒展开：121)(2)()()()(nnnnnnxxyhxhyxyhxyxy因此有：)(0)(2)(2211hyhyxynn 虽然欧拉公式（3）的精确度很差，但却体现了数值方法的基本思想。第十三页，讲稿共三十四页哦2 2、隐式隐式欧拉格式欧拉格式设改用向后差商)()(11nnxyxyh替代方程)(,()(111nnnxyxfxy中的导数项1nyx再离散化，即可导出下列格式111,nnnnyyhf xy（5）该格式右端含有
9、未知的1ny它实际上是个关于1ny的函数方程。故称该格式为隐式欧拉格式隐式欧拉格式。由于向前差商和向后差商具有同等精度，故隐式欧拉格式也是一阶方法，精度与欧拉格式相当。但计算远比显式格式困难得多。1,0,1,2,nnnnyyhfxyn第十四页，讲稿共三十四页哦3 3、两步两步欧拉格式欧拉格式设改用中心差商1112nny xy xh替代方程,nnnyxfxy x中的导数项，再离散化，即可导出下列格式112,nnnnyyhf xy)(,()()(2111nnnnxyxfxyxyh 设用 的近似值 ，的近似值 代入上式右端，记所求结果为 ，这样导出的计算公式ny xny1ny)(1nxy1ny（6）
10、)(,(2)()(11nnnnxyxhfxyxy第十五页，讲稿共三十四页哦 无论是显式欧拉格式还是隐式欧拉格式，它们都是单步法，其特点是计算时只用到前一步的信息 ，而该格式却调用了前面两步的信息 ，两步欧拉格式两步欧拉格式因此而得名。ny1,nnyy 两步欧拉格式具有更高的精度，可以验证它是二阶方法。事实上，由泰勒展开式知)(6)(2)()()()(321nnnnnnxyhxyhxhyxyhxyxy)(6)(2)()()()(321nnnnnnxyhxyhxhyxyhxyxy所以：)(3)(2)()(311nnnnxyhxhyxyxy第十六页，讲稿共三十四页哦故有：nnnnnnnnxxyhxh
11、yxyxyhxhyxyxy131311)(3)(2)()(3)(2)()(假设),(),(11nnnnxyyxyy则：)(0)(3),(2)(3)(2)()(3313111hyhyxhfyyhxhyxyyxynnnnnnn故两步欧拉格式是二阶方法。第十七页，讲稿共三十四页哦3 3、2 2 改进的欧拉方法改进的欧拉方法 为了改进欧拉方法的精度，我们将微分方程（1）两边从 x0 到x对x积分，于是得到与初值问题（1）、（2）等价的积分方程xxdttytfyxy0)(,()(0因此，求解y(x)就转化为计算上式右端的积分。得令,xx110)(,()(01xxdttytfyxy得又令,xx221211
12、020)(,()()(,()(,()(,()(1002xxxxxxxxdttytfxydttytfdttytfydttytfyxy1 1、梯形梯形格式格式第十八页，讲稿共三十四页哦一般地有：1)(,()()(1nnxxnndttytfxyxy（7）为了求得)(1nxy的近似值，只要用数值积分方法求出积分1)(,(nnxxdxxyxf的近似值就可以了，而选用不同的积分方法，便导出不同的差分格式。例如用矩形公式计算，得1),()(,(nnxxnnyxhfdxxyxf代入（7）式得),()()(1nnnnyxhfxyxy第十九页，讲稿共三十四页哦),(),(2)(,(111nnxxnnyxfyxfh
13、dxxyxfnn若用nnyy,1分别近似代替)(),(1nnxyxy则得计算公式),(1nnnnyxhfyy此式正是欧拉格式欧拉格式为了提高精度，改用梯形公式计算积分，即代入（7）式得),(),(2)()(111nnnnnnyxfyxfhxyxy第二十页，讲稿共三十四页哦用nnyy,1分别近似代替)(),(1nnxyxy则得计算公式),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy（8）与梯形求积公式相呼应的这一差分格式称为梯形梯形格式格式。它实际上是显式欧拉格式显式欧拉格式与与隐式欧拉格式隐式欧拉格式的算的算术平均。术平均。第二十一页，讲稿共三十四页哦例：例：用梯形法求解 1)0(1yxyy
14、解析解xexy解：解：设步长 h=0.1，由梯形格式（梯形格式（8）有：),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy)11(21.0111nnnnnnxyxyyy得：整理得：)2(211211911nnnnxxyy所以：0143.110952.090476.0)2(21121191001xxyy03675.111905.09177.0)2(21121192112xxyy第二十二页，讲稿共三十四页哦00.10.20.30.40.511.051.1第二十三页，讲稿共三十四页哦2 2、改进的欧拉格式改进的欧拉格式 欧拉方法（3）是一种显式算法，计算量小，但精度低；梯形方法（8）虽然提高了精度，
15、但它是一种隐式算法，必须通过解方程或者迭代过程求解，计算量大。我们综合这两种方法，先用欧拉法求得一个初步的近似值，记为 ，称之为预报值，然后用它替代梯形法右端的 再直接计算，得到校正值 。1ny1ny1ny这样建立的预报校正系统称为改进的欧拉格式改进的欧拉格式：预报校正11,nnnnyyhf xy111,2nnnnnnhyyf xyf xy（9）第二十四页，讲稿共三十四页哦把预报代入校正中，便可表为),(,(),(211nnnnnnnnyxhfyxfyxfhyy或表为下列平均化形式：11,/2pnnncnnpnpcyyh fxyyyh fxyyxy 可以验证改进的欧拉格式改进的欧拉格式与与梯形
16、格式梯形格式具有同等的具有同等的精度，但精度，但梯形格式梯形格式是隐式的，而是隐式的，而改进的欧拉格式改进的欧拉格式却是却是显式的，便于计算。显式的，便于计算。（10）第二十五页，讲稿共三十四页哦例例2用改进的欧拉格式改进的欧拉格式求解初值问题1)0()10(2yxyxyy（其解析解为）12 xy解：解：设步长 h=0.1，由改进的欧拉格式改进的欧拉格式（10）有：)(21)2()2(11cpnpnpncnnnnpyyyyxyhyyyxyhyy第二十六页，讲稿共三十四页哦n=0时1.1)101(1.01)2(0000yxyhyyp0918.1)1.12.01.1(1.01)2(10ppcyxy
17、hyy0959.121918.11.1)(211cpyyyn=1时18724.1)0959.12.00959.1(1.00959.1)2(1111yxyhyyp1809.1)18724.14.018724.1(1.00959.1)2(21ppcyxyhyy1841.121809.118724.1)(212cpyyy第二十七页，讲稿共三十四页哦计算结果表xnyny(xn)xnyny(xn)0.11.09591.09450.61.48601.48320.21.18411.18320.71.55251.54920.31.26621.26490.81.61651.61250.41.34341.3416
18、0.91.67821.67330.51.41641.41421.01.73791.7321改进的欧拉格式改进的欧拉格式明显地改善了精度明显地改善了精度第二十八页，讲稿共三十四页哦00.20.40.60.8111.11.21.31.41.51.61.71.8解析解欧拉格式改进的欧拉格式第二十九页，讲稿共三十四页哦开始输入x0，y0，h，N1=n110000102/)(),(),(yyyyyxhfyyyxhfyxhxcpcpp输出 11,yxn=N结束yN0101,1yyxxnn改进欧拉格式程序流程图第三十页，讲稿共三十四页哦第三十一页，讲稿共三十四页哦第三十二页，讲稿共三十四页哦第三十三页，讲稿共三十四页哦第三十四页，讲稿共三十四页哦