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1、常微分方程与差分方程第一页，讲稿共十四页哦1、常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程、常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程.一、考试内容一、考试内容4、二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线、二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线 性微分方程性微分方程.3、线性微分方程解的性质及解的结构定理、线性微分方程解的性质及解的结构定理.5、差分与差分方程的概念，差分方程的通解与特解、差分与差分方程的概念，差分方程的通解与特解.2、齐次微分方程，一阶线性微分方程、齐次微分方程，一阶线性微分方程.7、微分方程的简单应用、微分方程的简单应用.6、一阶常系数线性差分方程、一阶常系数线性差分方
2、程.第二页，讲稿共十四页哦1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解 等概念等概念.2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶 线性微分方程的求解方法线性微分方程的求解方法.二、考试要求二、考试要求4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解 某些简单的非齐次线性微分方程某些简单的非齐次线性微分方程.3、会解二阶常系数齐次线性微分方程、会解二阶常系数齐次线性微分方程.5、了解差分与差分方程的概念及其通解与特解等概念、了解差分与差分方程的概念及
3、其通解与特解等概念.7、会用微分方程求解简单的经济应用问题、会用微分方程求解简单的经济应用问题.6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.第三页，讲稿共十四页哦三、真题选讲三、真题选讲例例1：已知：已知 是微分方程是微分方程 的解，则的解，则 的表达式为（的表达式为（）.(A)(B)(C)(D)例例2：设函数：设函数 在在 上可导，上可导，且其反函，且其反函数为数为 .若若 求求 第四页，讲稿共十四页哦例例3:设位于第一象限的曲线设位于第一象限的曲线 过点过点 ,其其上任一点上任一点 处的法线与处的法线与 轴的交点为轴的交点为 ，且线段，且线段 被被 轴平
4、分轴平分.（1）求曲线）求曲线 的方程；的方程；（2）已知曲线已知曲线 在在 上的弧长为上的弧长为 ，试用，试用 表示曲线表示曲线 的弧长的弧长.第五页，讲稿共十四页哦例例4：在：在 坐标平面上，连续曲线坐标平面上，连续曲线 过点过点 ，其，其上任意点上任意点 处的切线斜率与直线处的切线斜率与直线 的斜率之的斜率之差等于差等于 （常数（常数 ）.（1）求）求 的方程的方程;（2）当）当 与直线与直线 所围成平面图形的面积为所围成平面图形的面积为 时，时，确定确定 的值的值.第六页，讲稿共十四页哦例例5：设函数：设函数 在在 上连续上连续.若由曲线若由曲线 ，直线直线 与与 轴所围成的平面图形绕
5、轴所围成的平面图形绕 轴轴旋转一周所成的旋转体体积为旋转一周所成的旋转体体积为 ，试求试求 所满足的微分方程，并求该微分方程满足所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件条件 的解的解.第七页，讲稿共十四页哦例例6：设：设 是一条平面曲线，其上任意一点是一条平面曲线，其上任意一点 到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 轴上的截轴上的截距，且距，且 经过点经过点 ，（1）试求曲线）试求曲线 的方程的方程;（2）求）求 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与位于第一象限部分的一条切线，使该切线与以及两坐标轴所围图形的面积最小以及两坐标轴所围图形的面积最小.第八
6、页，讲稿共十四页哦例例7：设：设 具有连续偏导数，且满足具有连续偏导数，且满足求求 所满足的一阶微分方程，并求其通解所满足的一阶微分方程，并求其通解.例例8：设函数：设函数 在在 上连续，且满足方程上连续，且满足方程求求 .第九页，讲稿共十四页哦例例9：设：设 （是任意常数）为某是任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为.例例10：设：设 是二阶常系数微分方程是二阶常系数微分方程满足初始条件满足初始条件 的特解，则当的特解，则当 时，函数时，函数 的极限（的极限（）.（A）不存在）不存在 （B）等于）等于1 （C）等于）等于2 （D
7、）等于）等于3第十页，讲稿共十四页哦例例11：设函数：设函数 具有二阶连续导数，而具有二阶连续导数，而满足方程满足方程 ，求，求例例12（1）验证函数）验证函数 满足微分方程满足微分方程 ；（2）利用（）利用（1）的结果求幂级数）的结果求幂级数 的和函数的和函数.第十一页，讲稿共十四页哦例例13：差分方程：差分方程 的通解为的通解为.例例14：已知某商品的需求量：已知某商品的需求量 和供给量和供给量 都是价格都是价格 的的函数：函数：其中其中 和和 为常为常数；价格数；价格 是时间是时间 的函数且满足方程的函数且满足方程 （为正的常数）为正的常数）假设当假设当 时价格为时价格为1，试求，试求（
8、1）需求量等于供给量时的均衡价格）需求量等于供给量时的均衡价格 ；（2）价格函数）价格函数 ；（；（3）极限）极限第十二页，讲稿共十四页哦四、课外习题四、课外习题习习1：差分方程：差分方程 的通解为的通解为.习习2：已知某商品的需求量：已知某商品的需求量 对价格对价格 的弹性的弹性 ,而市场对该商品的最大需求量为而市场对该商品的最大需求量为1（万件）（万件）.求需求函数求需求函数.习习3：设函数：设函数 具有连续的一阶导数，且满足具有连续的一阶导数，且满足 ，求，求 的表达式的表达式.习习4：设函数：设函数 满足条件满足条件 求广义求广义积分积分 .第十三页，讲稿共十四页哦习习6：设：设 是第一象限内连接点是第一象限内连接点 的一的一段连续曲线，段连续曲线，为该曲线上任意一点，点为该曲线上任意一点，点 为为 在在 轴上的投影，轴上的投影，为坐标原点为坐标原点.若梯形若梯形 的面积与的面积与曲边三角形曲边三角形 的面积之和为的面积之和为 求求 的表达式的表达式.习习5：设：设 ，其中函数，其中函数 在在 内内满足以下条件：满足以下条件：，且，且 （1）求）求 所满足的一阶微分方程；所满足的一阶微分方程；（2）求出）求出 的表达式的表达式.第十四页，讲稿共十四页哦