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1、第四章第四章 数列数列专题专题 数列的求和专题数列的求和专题数数列列求求和和方方法法2.裂项相消法裂项相消法5.倒序相加法倒序相加法3.错位相减法错位相减法4.分组求和法分组求和法1.通项分析法和公式法通项分析法和公式法本专题重点本专题重点6.并项求和法并项求和法求数列前求数列前n项和的常见方法如下：项和的常见方法如下：(1)通项分析法通项分析法：先分析通项公式的结构再求和。：先分析通项公式的结构再求和。公式法：公式法：对于等差、等比或特殊数列，直接利用前对于等差、等比或特殊数列，直接利用前 n项和公式项和公式.(2)错位相减法错位相减法:即如果一个数列的各项是即如果一个数列的各项是由一个等差
2、数列和一个等比数列的对应项由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积之积构成的，那么这个数列的前构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求项和即可用此法来求.(3)裂项相消法裂项相消法:(5)倒序相加法倒序相加法:如果一个数列如果一个数列an，首末两端等，首末两端等“距距离离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数项和即可用倒序相加法，如等差数列的前列的前n项和即是用此法推导的项和即是用此法推导的(4)分组求和法分组求和法:(6)并项求和法并项求和法:注意项数注意项数 数列数列数列数列求和求和求和求和常用
3、方法常用方法常用方法常用方法1.1.通项分析和公式法通项分析和公式法通项分析和公式法通项分析和公式法课本课本P39-例例12.某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，.（1）写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；（2）将（1）中的递推公式表示成cn+1一k=r(cn一k)的形式，其中k，r为常数；（3）求S10=c1c2c3c10的值（精确到1）.例例1.解：解：数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法1.1.通项分析和公式法通项分析和公式法通项分
4、析和公式法通项分析和公式法变式变式1.解：解：数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法1.1.通项分析和公式法通项分析和公式法通项分析和公式法通项分析和公式法例例2.解：解：注注:在通项中在通项中进行裂项，对进行裂项，对称剩项。称剩项。数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法2.2.裂项相消法裂项相消法裂项相消法裂项相消法变式变式1.解：解：数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法2.2.裂项相消法裂项相消法裂项相消法裂项相消法变式变式2.解：解：数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法2.2.裂项
5、相消法裂项相消法裂项相消法裂项相消法变式变式3.解：解：数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法2.2.裂项相消法裂项相消法裂项相消法裂项相消法变式变式4.解：解：数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法2.2.裂项相消法裂项相消法裂项相消法裂项相消法变式变式5.解：解：数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法2.2.裂项相消法裂项相消法裂项相消法裂项相消法 数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法2.2.裂项相消法裂项相消法裂项相消法裂项相消法变式变式6.解：解：数列数列数列数列求和求和求和求和常
6、用方法常用方法常用方法常用方法2.2.裂项相消法裂项相消法裂项相消法裂项相消法变式变式6.(法法2)(法法1)解：解：(2)由由(1)知，知，变式变式7.数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法2.2.裂项相消法裂项相消法裂项相消法裂项相消法常见裂项公式：常见裂项公式：数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法2.2.裂项相消法裂项相消法裂项相消法裂项相消法例例3.解：解：-得得 数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法3.3.错位相减法错位相减法错位相减法错位相减法小结小结变式变式1.数列数列数列数列求和求和求和求和常用方
7、法常用方法常用方法常用方法3.3.错位相减法错位相减法错位相减法错位相减法解：解：变式变式2.解：解：数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法3.3.错位相减法错位相减法错位相减法错位相减法解：解：由由-得，得，变式变式2.数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法3.3.错位相减法错位相减法错位相减法错位相减法5对折对折n次共可得次共可得n+1种规格的图形种规格的图形例例4.数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法4.4.分组求和分组求和分组求和分组求和法法法法解：解：解：解：例例4.数列数列数列数列求和求和求和求和常用方
8、法常用方法常用方法常用方法4.4.分组求和分组求和分组求和分组求和法法法法【方法归纳方法归纳】奇、偶数项分别成等差或等比数列，则奇、偶数项分别成等差或等比数列，则Sn=S奇奇+S偶偶 数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法4.4.分组求和分组求和分组求和分组求和法法法法变式变式1.解：解：变式变式2.解：解：当当 n 为奇数时，为奇数时，当当 n 为偶数时，为偶数时，数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法4.4.分组求和分组求和分组求和分组求和法法法法变式变式3.解：解：例例5.解：解：数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法
9、常用方法5.5.倒序相加法倒序相加法倒序相加法倒序相加法小结：小结：将一个数列将一个数列倒过来排列倒过来排列，当它与原数列，当它与原数列相加相加时，若时，若有规律可循，并且容易求和有规律可循，并且容易求和，则，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前列前n项和公式的推导所用方法项和公式的推导所用方法）.变式变式1.解：解：数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法5.5.倒序相加法倒序相加法倒序相加法倒序相加法（2）数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法5.5.倒序相加法倒序相加法倒序相加法倒序相加法变式
10、变式1.解：解：数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法5.5.倒序相加法倒序相加法倒序相加法倒序相加法变式变式1.对称中心对称中心小结：小结：看到很多坐标相加考虑两点：看到很多坐标相加考虑两点：2解：解：数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法5.5.倒序相加法倒序相加法倒序相加法倒序相加法解法解法2：数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法5.5.倒序相加法倒序相加法倒序相加法倒序相加法解：解：-8050-8062解：解：(并项求和并项求和)(分组求和分组求和)数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常
11、用方法6.6.并项求和法并项求和法并项求和法并项求和法例例6.解法解法1：解法解法2：注：对于奇偶分段的数列：注：对于奇偶分段的数列：数列的奇数项和偶数项拆开，分为奇数项数列和偶数数列的奇数项和偶数项拆开，分为奇数项数列和偶数项数列，然后分别求和，最后将其合并项数列，然后分别求和，最后将其合并(注：分类讨论注：分类讨论n为奇数、偶数的情况，两两并项求和为奇数、偶数的情况，两两并项求和)数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法6.6.并项求和法并项求和法并项求和法并项求和法变式变式1.解：解：解法解法1：数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法6.
12、6.并项求和法并项求和法并项求和法并项求和法变式变式1.解法解法2：变式变式2.解解2：当当 n 为奇数时，为奇数时，当当 n 为偶数时，为偶数时，变式变式3.解：解：数列数列数列数列求和求和求和求和常用方法常用方法常用方法常用方法6.6.并项求和法并项求和法并项求和法并项求和法解：解：(1)由题设可得由题设可得变式变式4.解：解：变式变式4.第四章第四章 数列数列专题专题 数列结合不等式数列结合不等式1.观察法：观察法：2.单调性法单调性法:例例1.解：解：解：解：例例1.观察法观察法例例2.解：解：例例2.解：解：直接判断单调性直接判断单调性判断单调性判断单调性观察法观察法例例3.解：解：例例3.解：解：单调性无法直接单调性无法直接判断，需作差判断，需作差4例例4.解：解：-得得,(2)解：解：-得得,单调性无法直接单调性无法直接判断，需作差判断，需作差课本课本P41-11.例例5.解：解：用对勾函数的用对勾函数的性质性质作业作业总结总结数数列列求求和和方方法法裂项相消法裂项相消法倒序相加法倒序相加法错位相减法错位相减法分组求和法分组求和法通项分析法和公式法通项分析法和公式法