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1、1 2.22.2 对数函数对数函数 知识导学知识导学 一般地,对于一个数 a(a0 且 a1),如果 a 的 b 次幂等于 N,即 ab=N,那么就称 b 是以 a为底的 N 的对数,记作 logaN=b,其中,a 叫做对数的底数,N 叫做真数.在实际应用中,一定要注意指数式与对数式的等价性,即 logaN=bab=N.对数的运算性质就是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算.一般地,我们称 logaN=为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用
2、换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时,一方面要证明它和它的几个推论;另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底,不要盲目地换底,以简化我们的解题过程.有了对数的概念后,要求 log0.840.5 的值,我们需要引入两个常用的对数:常用对数和自然对数.常用对数是指以 10 为底的对数;自然对数是指以 e(e=2.718 28,是一个无理数)为底的对数.有了常用对数和自然对数,再利用对数的运算性质,我们就可以求 log0.840.5 的值了.对数恒等式:=N 的证明也很简单,只要紧扣对数式的定义即可证明.ab=N,b=logaN.ab=N,即=N.如=5,=6 等.要熟
3、记对数恒等式的形式,会使用这一公式化简对数式.作对数函数的图象一般有两种方法:一是描点法,即通过列表、描点、连线的方法作出对数函数的图象;二是通过观察它和指数函数图象之间的关系,并利用它们之间的关系作图.比较大小是对数函数性质应用的常见题型.当底数相同时,可利用对数函数的性质比较;当底数和指数不同时,要借助于中间量进行比较.比较两个对数式的大小,底相同时,可利用对数性质进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量 0、1 等进行比较.对数函数 y=logax(a0 且 a1)与指数函数 y=ax(a0 且 a1)互为反函数,这两个函数的图象关于直线 y=x 对称.因此,我们只要画出和 y=ax的
4、图象关于直线 y=x 对称的曲线,就可以得到 y=logax 的图象,然后根据图象特征得出对数函数的性质.疑难导析疑难导析 通过将对数函数与指数函数的图象进行对比,可以发现:当 a1 或 0a0,且 a1;对数函数的定义域为(0,+),结合图象看,对数函数在y 轴左侧没有图象,即负数与 0 没有对数,也就是真数必须大于 0.这些知识可以用来求含有对数函数的定义域.aNbbloglogNaalogNaalogNaalog5log336log442 性质靠图象体现,图象靠性质总结.数形结合不仅是我们研究函数的一个重要工具,同时也是我们在解题时的常用方法.借助图形的形象直观,可以迅速准确地得到相关问
5、题的答案,尤其是选择题,能结合图象来思考,会事半功倍.问题导思问题导思 对数换底公式口诀:换底公式真神奇,换成新底可任意,原底加底变分母,真数加底变分子.对数函数的运算性质的助记口诀:积的对数变加法,商的对数变为减,幂的乘方取对数,要把指数提到前.对数函数 y=logax(a0 且 a1)的性质的助记口诀:对数增减有思路,函数图象看底数,底数只能大于 0,等于 1 来也不行,底数若是大于 1,图象从下往上增;底数 0 到 1 之间,图象从上往下减.无论函数增和减,图象都过(1,0)点.比较两个对数型的数的大小是一种常见的题型,好好把握.两个同底数的对数比较大小的一般步骤:确定所要考查的对数函数
6、;根据对数底数判断对数函数增减性;比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对数函数的单调性取决于对数的底数是大于 1 还是小于 1.而已知条件并未指明,因此需要对底数 a 进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握.典题导考典题导考 绿色通道绿色通道 利用数形结合的方法可以快速地比较两个对数的大小,有时也可以画出函数的略图.由此可见,学会一种思考方法比解决一道题目更重要.典题变式典题变式 比较下列各组数中两个值的大小:(1)log23.4,log28.5;(2)log0.31.8,log0.32.7;(3)loga5.1,loga5.9(a0,a1).答案答案:(1)l
7、og23.4log0.32.7;(3)当 a1 时,loga5.1loga5.9;当 0aloga5.9.绿色通道绿色通道 本题的求解中,分解化简和方程思想的运用在处理很多问题中具有一般性.典题变式典题变式 1.已知 3a=2,用 a 表示 log34-log36.答案答案:a-1.2.已知 log32=a,3b=5,用 a、b 表示 log3.303 答案答案:(a+b+1).绿色通道绿色通道 研究函数的性质一定得先考虑定义域,在研究函数单调性时,注意奇偶性对函数单调性的影响,即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性;奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.典题变式典题变式 1.
8、已知函数 f(x)=lg(x2-3x+2)的定义域为 F,函数 g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为 G,那么()A.GF B.G=F C.FG D.FG=答案答案:A 2.求函数 y=(-x2+4x+5)的定义域和值域.答案答案:函数的定义域为x|-1x0 且 a1).(1)求函数的定义域;(2)讨论函数的单调性;(3)求使 f(x)0 的 x 的取值范围.解答解答:(1)定义域为(-1,1).(2)当 a1 时,f(x)为(-1,1)上的增函数;当 0a1 时,f(x)0 的解为(0,1);当 0a0 的解为(-1,0).绿色通道绿色通道 画函数图象是研究函数变化规律的重要手段,画函数图象通常有两种方法:列表法和变换法.变换法有如下几种:平移变换:y=f(x+a),将 y=f(x)的图象向左(a0)或向右(a0)或向下(a0),将 y=f(x)图象上各点的横坐标压缩(a1)或伸长(0a0),将 y=f(x)图象上各点的横坐标不变,纵坐标压缩(0a1)到原来的 a 倍.典题变式典题变式若 loga2logb20,则 a、b 满足的关系是()A.1ab B.1ba C.0ab1 D.0ba;(2)0a.2121