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1、2017-2018 学年高中数学人教A版必修 1 学案2.2 对数函数互动课堂疏导引导2.2.1 对数与对数运算1.对数的定义一般地,如果 ax=N(a0,a1),那么数 x 叫做以 a 为底 N的对数,记作 x=loga N,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数.通常我们将以10 为底的对数叫做常用对数,并把 log10N记为 lg N,以 e(e=2.718 28,)为底的对数称为自然对数,并且把 logeN记为 lnN.疑难疏引(1)因为 a0,所以不论b 是什么数,都有 ab0,即不论 b 是什么数,N=ab永远是正数,这说明在相应的对数式b=logaN中真数 N永远是正数,换句话说
2、负数和零没有对数.(2)指数与对数的关系:ax=N(a0,a1)x=loga N.(3)负数和零没有对数.2.对数的运算(1)换底公式:logab=alogblogcc,即有 logcalogab=logcb;logba=blog1a,即有 logablogba=1;logambn=mnlogab;(2)对数恒等式:alogaN=N.疑难疏引换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质.3.对数式与指数式的关系【探究思路】由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可用下图表示.案例 1 下
3、列四个命题中,真命题是()A.lg2lg3=lg5 B.lg23=lg9 C.若 logaM+N=b,则 M+N=a bD.若 log2M+log3N=log2N+log3M,则 M=N【探究】解答本题的关键是熟练掌握对数概念及对数运算的有关性质.将选项中提供的答案一一与相关的对数运算性质相对照,不难得出应选D.【溯源】初学对数运算性质,容易犯下面错误:loga(MN)=logaM logaN,loga(MN)=logaMlogaN,logaNM=NlogMlogaa,logaN n=(logaN)n.要注意:积的对数变为加,商的对数变为减,幂的乘方取对数,要把指数提到前.案例 2 求值:(1
4、)7log-133;(2)lg5lg20+lg22;(3)已知 log23=a,3 b=7,求 log1256 的值.【探究】(1)(2)严格按照指数、对数的运算法则计算,(3)先将 3b=7 转化为 log37=b,然后设法将 log1256 化成关于 log23 和 log37 的表达式即可求值.(1)7log-133=733log3=73.(2)lg5lg20+lg22=lg5(lg4+lg5)+lg22=2lg2 lg5+lg25+lg22=(lg2+lg5)2=1.(3)解法一:log23=a,2 a=3.又 3 b=7,7=(2 a)b=2 ab.故 56=2 3+ab.又 12=
5、34=2 a4=2 a+2,从而 56=(2 a+2)aab23=1223aab.故 log1256=log121223aab=23aab.解法二:log23=a,log32=a1.又 3 b=7,log 37=b.从而 log1256=12log56log33=4log3log8log7log3333=2log212log37log333=aab12113=23aab.解法三:log23=2lg3lg=a,lg3=alg2.又 3 b=7,lg7=blg3.lg7=ablg2.从而 log1256=12lg56lg=3lg2lg27lg2lg3=2lg2lg22lg2lg3aab=aab23
6、.【溯源】(1)lg2+lg5=1在对数计算中经常用到.(2)第三小题中解法一借助指数变形来解;解法二与解法三是利用换底公式来解,显得较简明.应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数,从而把已知对数和所求对数都换成新的对数,再代入求值即可.2.2.2 对数函数及其性质1.概念一般地,我们把函数y=logax(a0且 a1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+).2.对数函数的性质a1 0a1 时,图象由左向右逐渐上升,即当 a1 时,y=logax 在(0,+)上是增函数;当 0a1 时,图象由左向右逐渐下降,即当 0a1 时,在直线 x=1 的右侧,图象位于x 轴
7、上方;在直线 x=1 与 y 轴之间,图象位于x 轴下方,即当 a1 时,x1,则 y=logax0;0 x1,则 y=logax0;当 0a1 时,在直线 x=1 的右侧,图象位于 x 轴下方;在直线 x=1 与 y 轴之间,图象位于 x 轴上方,即当 0a1,则 y=logax0;0 x0.对数函数y=logax(a0且 a1)的性质的助记口诀:对数增减有思路,函数图象看底数,底数只能大于0,等于 1 来也不行,底数若是大于1,图象从下往上增;底数 0 到 1 之间,图象从上往下减.无论函数增和减,图象都过(1,0)点.案例 1 比较大小:(1)log0.27 和 log0.29;(2)l
8、og35 和 log65;(3)(lgm)1.9和(lgm)2.1(m1);(4)log85 和 lg4.【探究】(1)log0.27 和 log0.29 可看作是函数y=log0.2x,当 x=7 和 x=9 时对应的两函数值,由y=log0.2x 在(0,+)上单调递减,得 log0.27log0.29.(2)考查函数 y=logax 底数 a1 的底数变化规律,函数 y=log3x(x1)的图象在函数y=log6x(x1)的上方,故 log 35log 65.(3)把 lgm看作指数函数的底数,要比较两数的大小,关键是比较底数lgm与 1 的关系.若lgm1 即 m10,则(lgm)x在
9、 R上单调递增,故(lgm)1.9(lgm)2.1.若 0lgm1 即 1m(lgm)2.1.若 lgm=1 即 m=10,则(lgm)1.9=(lgm)2.1.(4)因为底数8、10 均大于 1,且 108,所以 log85lg5lg4,即 log 85lg4.【溯源】两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数,把要比较的两数作为此函数的函数值,然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有:(1)直接法:由函数的单调性直接作答;(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;(3)作商法:若两数同号,把两数作商变形,判断其大于、等于、小于1 来确定;(4)转化法:
10、把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较;(5)媒介法:选取适当的“媒介”数,分别与要比较的两数比较大小,从而间接地求得两数的大小.案例 2 已知函数y=lg(x2+1-x),求其定义域,并判断其奇偶性、单调性.【探究】注意到12x+x=xx112,即有lg(12x-x)=-lg(12x+x),从而f(-x)=lg(12x+x)=-lg(12x-x)=-f(x),可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,所以我们只需研究(0,+)上的单调性.由题意12x-x0,解得 xR,即定义域为R.又 f(-x)=lg1)(2x-(-x)=lg(12x+x)=lgxx)1(12=l
11、g(12x-x)-1=-lg(12x-x)=-f(x).y=lg(12x-x)是奇函数.任取 x 1、x 2(0,+)且 x 1x 2,则121x122x121x+x 122211xx,即有121x-x 1121x-x20,lg(121x-x 1)lg(122x-x 2),即 f(x 1)f(x 2)成立.f(x)在(0,+)上为减函数.又 f(x)是定义在R上的奇函数,故 f(x)在(-,0)上也为减函数.【溯源】研究函数的性质一定得先考虑定义域,在研究函数单调性时,注意奇偶性对函数单调性的影响,即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性;奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.案
12、例 3 作出下列函数的图象:(1)y=|log4x|-1;(2)y=log31|x+1|.【探究】(1)y=|log4x|-1 的图象可以看成由y=log4x 的图象经过变换而得到:将函数 y=log4x的图象在 x 轴下方部分以x 轴为对称轴翻折上去,得到 y=|log4x|的图象,再将 y=|log4x|的图象向下平移1 个单位,横坐标不变,就得到了 y=|log4x|-1的图象.(2)y=log31|x+1|的图象可以看成由y=log31x 的图象经过变换而得到:将函数 y=log31x 的图象作出,然后关于y 轴对称,即得到函数y=log31|x|的图象,再将所得图象向左平移一个单位,
13、就得到所求的函数y=log31|x+1|的图象.函数(1)的图象作法如图所示.函数(2)的图象作法如图所示.【溯源】画函数图象是研究函数变化规律的重要手段,画函数图象通常有两种方法:列表法和变换法.变换法有如下几种:平移变换:y=f(x+a),将y=f(x)的图象向左(a0)或向右(a0)或向下(a0),将 y=f(x)图象上各点的横坐标压缩(a1)或伸长(0a0),将 y=f(x)图象上各点的横坐标不变,纵坐标压缩(0a1)到原来的a 倍而得到.案例 4 已知 f(x)=2+log3x,x 1,9,求 y=f(x)2+f(x2)的最大值,及 y 取最大值时,x的值.【探究】要求函数y=f(x
14、)2+f(x2)的最大值,一是要求其表达式;二是要求出它的定义域,然后求值域.【解】f(x)=2+log3x,y=f(x)2+f(x 2)=(2+log3x)2+2+log3x 2=(2+log3x)2+2+2log3x=log32x+6log3x+6=(log3x+3)2-3.函数 f(x)的定义域为1,9,要使函数y=f(x)2+f(x 2)有意义,就需 1x29,1x9.1x3.0log3x 1.6y=(log3x+3)2-313.当 x=3 时,函数 y=f(x)2+f(x 2)取最大值13.【溯源】在处理有关对数的复合函数的问题时,定义域的求解往往是解题的关键所在,同时要注意对数单调
15、性的应用.案例 5 某工厂 2006 年生产一种产品2 万件,计划从 2007 年开始每年的产量比上一年增长20%.则这家工厂生产这种产品的年产量超过12 万件时是年.(已知 lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)()A.2015 B.2016 C.2017 D.2018【探究】此题是平均增长率问题的变式考题,哪一年的年产量超过12 万件,其实就是求在2006 年的基础上再过多少年的年产量大于12 万件,即求经过多少年.设再过 n 年这家工厂生产这种产品的年产量超过12 万件,根据题意,得 2(1+20%)n12,即 1.2n6,两边取对数,得 nlg1.2lg6,n2.1lg6lg
16、=3lg2lg23lg2lg=14471.03010.024771.03010.0.n=10,即 2 006+10=2 016.因此,选 B.【溯源】对数函数在求解指数方程时有着无比神奇的效果,经常是根据题意列出指数函数,再根据题意将指数函数转化为指数方程或不等式,然后两边取对数,即求解指数方程的解或指数不等式的解集.3.反函数的图象和性质对数函数y=log ax(a0且 a1)与指数函数y=a x(a0且 a1)互为反函数,这两个函数的图象关于 y=x 对称.疑难疏引(1)f(a)=bf-1(b)=a;(2)若原函数过点(a,b),则其反函数必过点(b,a);(3)原函数的定义域、值域为其反
17、函数的值域、定义域;(4)原函数与其反函数的图象关于直线y=x 对称.在遇到反函数问题时,不要盲目将反函数求出,如果合理利用互为反函数的函数图象间的关系和性质,往往可收到事半功倍的效果.案例 6 如何求函数y=5 x2-1(-1 x0)的反函数？【探究】先求原函数的值域.由-1 x0,-1x2-10.515x2-11,即51y1,y=5x2-1log5y=log55x2-1log5y=x2-1x2=1+log5y.-1x0,x=-y5log1,即 y=-x5log1(510 且 a1,N0,b R)容易记错.(2)解决对数函数y=logax(a0且 a1)的单调性问题时,忽视对底数a 的讨论.
18、(3)关于对数式logaN的符号问题,既受 a 的制约又受N的制约,两种因素交织在一起,应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法,供学习时参考.以 1 为分界点,当 a、N 在同侧时,logaN0;当 a、N 在异侧时,logaN0.活学巧用1.3log9log28的值是()A.32B.1C.23D.2【思路解析】考查有关对数的运算性质,logambn=mnlogab.【答案】A 2.若 log2 log21(log2x)=log3log31(log3y)=log5log51(log5z)=0,则 x、y、z 的大小关系是()A.zxyB.xyzC.yzxD.zyloga2 D.logayx=
19、logax-logay【思路解析】用对数的运算法则解决问题.A、D 的错误在于不能保证真数为正,C 的错误在于a 值不定.选 B.【答案】B 4.求下列各式中的x:(1)log54x=-21;(2)logx5=23;(3)log(x-1)(x 2-8x+7)=1.【思路解析】根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.【解】(1)原式转化为(54)-21=x,所以 x=25.(2)原式转化为x23=5,所以 x=325.(3)由对数性质得07811,0117822xxxxxxx解得 x=8.5.已知 loga2=m,loga3=n,则 a 2m-n=_.【思路解析】首先把
20、对数式化为指数式,再进行指数运算.loga2=m,loga3=n,a m=2,a n=3.a 2m-n=nmaa2=nmaa2)(=322=34.【答案】346.(1)已知 3a=2,用 a 表示 log34-log36;(2)已知 log32=a,3b=5,用 a、b 表示 log330.【解】(1)3a=2,a=log32.log34-log36=log332=log32-1=a-1.(2)3b=5,b=log35.又 log32=a,log330=21log3(2 35)=21(log32+log33+log35)=21(a+b+1).7.(1)将下列指数式写成对数式:2 10=1 02
21、4;10-3=10001;0.3 3=0.027;e0=1.(2)将下列对数式写成指数式:log0.46.25=-2;lg2=0.301 0;log 310=2.095 9;ln23.14=x.【思路解析】应用指数式与对数式的等价关系求解.【答案】(1)log21 024=10;lg10001=-3;log0.30.027=3;ln1=0.(2)0.4-2=6.25;10 0.301 0=2;3 2.095 9=10;e x=23.14.8.已知 loga3logb30,则 a、b、1 的大小关系是.【思路解析】由对数函数的性质可知a1,b1,关键是判断a 与 b 的大小,这可以利用对数函数的
22、单调性来解决.【解法一】由 loga3logb30a3log1b3log1 0 log3blog3a0 log3blog3alog31.y=log3x 是增函数,故 ba1.【解法二】分别作出y=logax 与 y=logbx 的图象,然后根据图象特征进行推断.loga3logb30,a1,b1.故 y=logax 与 y=logbx 均为增函数.又loga3logb30,当 x1 时,y=logax 的图象应在y=logbx 图象的上方,如图所示.根据对数函数的图象分布规律,可知 ba1.【答案】ba1 9.比较下列各组数中两个值的大小:(1)log23.4,log28.5;(2)log0.
23、31.8,log0.32.7;(3)loga5.1,loga5.9(a0,a1).【解】(1)考查对数函数y=log2x,因为它的底数21,所以它在(0,+)上是增函数,于是log23.4log28.5.(2)考查对数函数y=log0.3x,因为它的底数00.3log0.32.7.(3)当 a1 时,y=logax 在(0,+)上是增函数,于是 loga5.1loga5.9;当 0aloga5.9.10.求函数 y=log31(-x2+4x+5)的定义域和值域.【解】函数有意义,必须-x2+4x+50 x2-4x-50-1x5,函数的定义域为x|-1x5.由-1x1且 b0).(1)求 f(x
24、)的定义域;(2)判断函数的奇偶性.【思路解析】本题考查定义域、单调性的求法及判断方法,注意要利用定义求解.【解】(1)由00bxbxbx,解得 xb.函数 f(x)的定义域为(-,-b)(b,+).(2)由于 f(-x)=loga(bxbx)=loga(bxbx)=loga(bxbx)-1=-loga(bxbx)=-f(x),所以 f(x)为奇函数.12.求函数 y=log21(-x2+2x+3)的值域和单调区间.【思路解析】通过换元,令 t=-x2+2x+3,是复合函数的问题.【解】设 t=-x2+2x+3,则 t=-(x-1)2+4.y=log21t 为减函数,且 00,即-1x0 的解
25、集为R,这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R 要求 u=ax 2+2x+1 取遍一切正数,使 u 能取遍一切正数的条件是a0,0.【解】(1)f(x)的定义域为R,即关于 x 的不等式ax 2+2x+10 的解集为R,当 a=0 时,此不等式变为2x+10,其解集不是R;当 a0 时,有0440aa a1.a 的取值范围为a1.(2)f(x)的值域为R,即 u=ax 2+2x+1 能取遍一切正数a=0 或0440aa00 且 a 1,然后根据复合函数的单调性即可解决.【解】先求函数定义域:由 2-ax0,得 ax0 且 a 1.x1,a1,1a2.18.某县计划十年内产值翻两番,则产值平
26、均每年增长的百分率为.(lg2=0.301 0,lg11.49=1.060 2)【思路解析】设产值平均年增长率为x,则(1+x)10=4.两边同取以10 为底的对数得10lg(1+x)=2lg2.lg(1+x)=103010.02=0.0602 1+x=10 0.060 2.又 lg11.49=1.060 2,11.49=10 1.060 2=1010 0.060 2.10 0.060 2=1.149.因此 1+x=1.149,x=0.149=14.9%.【答案】14.9%19.已知函数 f(x)=2 x+1,则 f-1(4)=_.【思路解析】由反函数定义域和值域间的对应关系知,f-1(4)的值即为f(x)=2x+1=4 时,自变量 x 对应的值.【答案】1 20.已知函数 f(x)=a x+k 的图象过点(1,3),其反函数f-1(x)的图象过点(2,0),求 f(x).【思路解析】根据函数f(x)=ax+k 的图象过点(1,3),可列出一个关于a 和 k 的方程,再根据其反函数f-1(x)的图象过点(2,0),可知函数f(x)=a x+k 的图象过点(0,2),这样就又可以列出一个关于a 和 k 的方程.【解】依题意得a1+k=3,a0+k=2,解得 a=2,k=1.f(x)=2x+1.