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1、1 2.2.22.2.2 对数函数及其性质对数函数及其性质 课堂导学课堂导学 三点剖析三点剖析 一、对数函数的概念、性质及其图象【例 1】分别求下列函数的定义域:(1)y=;(2)y=;(3)y=.思路分析:求函数的定义域关键是找出自变量满足的各个约束条件，解不等式组.解:(1)要使函数有意义,必须 loga(1-x)20,即则得到 函数的定义域为x|xR 且 x1,x2,x0.(2)要使函数有意义,则有01-3x03x1x0 或 解得 1x0 且 a1);(3)log34,log43;(4)log32,log50.2;(5)log20.4,log30.4;(6)3log45,2log23.思
2、路分析:观察各组数的特征,看其是否直接可以利用对数单调性比较大小.解:(1)底数相同,且为 a2+a+3=(a+)2+1,根据单调递增性,得 loga2+a+3loga2+a+3.(2)底数相同,但大小不定,所以需对 a 进行讨论.当 a1 时,loga4.7loga5.1;当 0aloga5.1.(3)底数不同,但是 log34log33=1,log43log43.(4)底数不同,但是 log32log31=0,log50.2log50.2.(5)底数不同,但真数相同,此类问题有两种方法.解法一:根据 y=logax 的图象在 a1 时,a 越大,图象越靠近 x 轴,如图所示,知 log30
3、.4log20.4.解法二:换底.log20.4=,log30.4=.由于 log0.43log0.42=log20.4.(6)利用换底公式化同底.3log45=3=log25=log2.2log23 =log290 时的图象,再利用其对称性完成整个函数的图象.f(x)=lg|x|=如上图.f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.2log14.03log14.03log14.02log14.04log5log2223125125.0),lg(,0lgxxxx3 （2）当 lgx0，即 x1 时，y=lgx；当 lgx0，即 0 x1 时，y=-lgx.其图象如下图：由图象可知其
4、单调增区间为1，+），单调减区间为（0，1.三、对数函数的单调性【例 4】求函数 y=(1-x2)的单增区间.思路分析:求复合函数单调区间时,必须首先考虑其定义域,单调区间必是定义域的子区间.解:要使函数有意义,则有 1-x20 x21|x|1-1x0 恒成立,转化为二次函数来说明容易理解,二次函数的最小值大于零即可.解:f(x)的定义域为 R,即 t=x2-2x+a0 恒成立,也即二次函数图象在 x 轴上方.由于 t=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,只要 a-10 即可,a 的取值范围为 a1.温馨提示温馨提示 y=lg(x)的定义域为 R 等价转化为 g(x)0 的解集为 R，本题中
5、 g(x)=x2-2x+a 开口向上，解集为 R.于是等价转化为 g(x)=x2-2x+a 的判别式0.各个击破各个击破 类题演练类题演练 1 1 21log21log21log21log4 求下列函数的定义域:（1）y=log2x-1;（2）y=.解析：（1）解得 x且 x1，函数的定义域为（，1）（1，+）.（2）x2即 解得 x，且 x1.函数的定义域为（，1）（1，+）.变式提升变式提升 1 1（2006 广东，1）函数 f(x)=+lg(3x+1)的定义域是（）A.（-，+）B.(-,1)C.(-,)D.(-,-)解析：解得 -x1.答案：B 类题演练类题演练 2 2 比较下列各组数
6、的大小:(1),16,lg9;(2)(0.3)-0.4,log0.30.4,log0.34;(3)log2(x+1)与 log2(2x+3);(4)logax 与 2log2ax(1a0,得 x3.=2x2-5x-3,y=log0.1 由于对数的底数 0.11,故已知函数 y=log0.1 是减函数，欲求它的递减区间，只要求出 函 数.=2x2-5x-3(x3)的 递 增 区 间，由 于=2(x-)2-6,可 得=2x2-5x-3(x3)的递增区间为（3，+），从而可得 y=log0.1(2x2-5x-3)的递减区间为（3，+）.答案：（3,+）变式提升变式提升 4 4 已知 y=log4(2
7、x+3-x2),(1)求定义域；（2）求 f(x)的单调区间；（3）求 y 的最大值，并求取得最大值时的 x 值.解：（1）由真数 2x+3-x20,解得-1x3,定义域是x|-1x0,y=log4,由于=2x+3-x2=-(x-1)2+4.考虑到定义域，其增区间是（-1，1），减区间是1，3.又 y=log4 在(0,+)上是增函数，故该函数的增区间是（-1，1），减区间是1，3.（3）=2x+3-x2=-(x-1)2+44,y=log4(2x+3-x2)log44=1.当 x=1,取得最大值 4 时，y 就取得最大值 1.类题演练类题演练 5 5 已知函数 f(x)=lg(ax2+2x+1).若 f(x)的定义域是 R，求实数 a 的取值范围.解析：设（x)=ax2+2x+1,若 f(x)的定义域为 R，即对任意 x，都有（x）0 则解之得 a1.答案：（1，+）变式提升变式提升 5 5 设函数 f(x)=|log3x|，若 f(a)f(2),则 a 的取值范围为_.解析：当 log3a0 时：log3alog32,则 a2;2121458121,044,0aa7 当 log3af(2)-log3alog32log3log32 0a.答案：（0，）a1,0,21aa2121