考研数学一真题.pdf

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1、2 0 1 3 年全国硕士研究生入学统一考试数学（-）试卷一、选 择 题（1 8题，每题4分）.4.1 7 rm 1%一 arctan x1.已知极限hm-：-=c7 xk,其中k,c为常数，且C H O,则（）,c 1A.k=2,c=2B.,c 1K=2,c=2,、1.k=3,c=3D.,2 1A =3,c=2.曲面x2+cos（9）+yz+x=0在点（0,1,1）处的切平面方程为（）A.x y+z=-2B.x+y+z=0C.x 2,y+z=-3D.x-y-z =03.设/(x)=2/(x)sin/?xi/x(/?=1,2,),令S(x)=E sin 7 x,则S(-；)=()1B.-41C

2、.43D.44.设&：2+夕2=1,4：/+卜2=2,A3:x2+2/=2,4:2 x 2+/=2为四条逆时针方向的平面曲线，记,3、bc+2 x-dy(i=1,2,3,4),则ma x/=A./1 B.IC.1、6.矩 阵a5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C,且B可逆，则（）A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价I）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价a 1、2 0 0、h a与0/)0相似的充分必要条件为（a 1)、0 0 0,)A.a=0,h-2B.a=0,b为任意常数C.a-2,b=0D.a=2

3、,b为任意常数x-,b23A .一477D A7.设%,、2，工 是随机变量，且 X N(0,l),*2 N(0,22),X3N(5,32),月=2一2 P2 PyB P”PP3C.P3 P2 P217老魏机械团队分享免费学习交流使用1 03V：前研机械联盟8.设随机变量x /（），y E（I,），给定a（o ac=。，贝 i j 尸位/=（）A.a B.I-a C.2a D l-2a二、填 空 题（9 T 4 小题，每小题4 分）9 .设函数尸f 切由方程y-x=确定，J i i J l i m /（-）-1 =on 0 1 0 .已知必=*-X/，泞 3%=-X,是某二阶常系数非齐次线性微

4、分方程的3个解，则该方程的通解尸。X =s i n/“公业，,d2v.（方为参数），则2 =_ _ _ _ y =/s m，+c o s，dx 工 f+I n x .1 2 .-dxJi(1+X)21 3 .设 A=（a是 3阶非零矩阵，为 A的行列式,A.为 a.的代数余子式.若 四 网 G j=l,2,3）,则 I A I=.1 4 .设随机变量Y服从参数为1 的指数分布，a为常数且大于零，则 P Y W a+l|Y a 二三.解答题：（1 5）（本题满分1 0 分）计 算 工等d x,其中蚂管力.(1 6)(本 题 1 0 分)设 数 列 a,满足条件：/=3,q=l,an_2-n(n-

5、1)a=0(n2).S (x)是 幕 级 数 的 和 函 数.=0(1)证明：S(x)S(x)=0;（2）求S（x）的表达式.18老魏机械团队分享免费学习交流使用1 0 4V：前研机械联盟(1 7)(本题满分1 0 分)Y3求函数/(x j)=(y +)e ，的极值.(1 8)(本题满分1 0 分)设 奇 函 数 在 1,1 上具有二阶导数，且/U)=l,证明：(I)存在J e(0,1),使得/=1.(I I)存在 e(l,D ,使得/()+/()=L1 9 .(本题满分1 0 分)设直线L过 A (1,0,0),B (0,1,1)两点将L 绕 z 轴旋转一周得到曲面Z,Z与平面z =0,z

6、=2 所围成的立体为Q。(1)求曲面E的方程；(2)求。的形心坐标。2 0.(本题满分11分)A ay 3x3)2，记 a =a2B=b24（1）证明二次型f对 应 的 矩 阵 为+窗；（2）若 a,夕正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2 疗+。2 2.（本题满分11分）,1-X/=9设随机变量X 的概率密度为 10，（1）求丫的分布函数；0 x 3,2,其 他 令随机变量y=x,1,X 1,1 x 2（2）求概率尸 x y .2 3.（本题满分11分）A设总体X 的概率密度为/（苍。）=，3 V 其中。为未知参数且大于零，M，X2,X”为来自总体X 的简单.0,其他随机样本。（

7、1）求 e的矩估计量；（2）求。的最大似然估计量。20老魏机械团队分享免费学习交流使用106V：前研机械联盟2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(-)试卷一、选择题：1 8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.2丫+X(1)曲线 =彳 渐 近 线 的 条 数 为()(A)0(B)1 (C)2(D)3(2)设函数/(x)=C 1)e 2)(*一)，其中为正整数，则/(0)=(A)(-1)B-1(M-1)!(B)(-l)(n-l)!(C)(I)!(D)(-1)!(3)如果函数/(x,y)在(0,0)处连续，那么下

8、列命题正确的是()(A)若极限lim*?存 在,则/(x,y)在(0,0)处可微江 汴1 +3(B)若极限lim半*存 在，则/(x,y)在(0,0)处可微一 口 +7(C)若/(x j)在(0,0)处可微，则极限lim g等?存在PS H+H(D)若/(x,y)在(0,0)处可微，则极限lim 4区)？存在普x+Vrk 2(4)设4 =ex sinxdx(=l,2,3),则有 DJe(A)I,I2 I3.(B)IK I2 I3.(C)/,4 It,(D)Z,/2t)r-p-1,a4=1其中9，。2，。3，1为任意常数，则下列向量组线性相关的是()(A)a,a2,a3(B)a,a2,aA(C)

9、a1,a3,a4(D)a2,a3,aA100、PXAP=ij10(6)设力为3阶矩阵，尸 为3阶可逆矩阵，且002,P=(apa2,6z3),0 =(+a2 2，。3)则0 Z。=)rl 0 0、0 2 0(A)v 0 L.(0 0、0 1 0(B)0 2)21老魏机械团队分享 1 07免费学习交流使用V：前研机械联盟r2 0 0、0 1 0(C)v0 0 2)r2 0 0、0 2 0(D)I。b(7)设随机变量x与 y相互独立，且分别服从参数为1 与参数为4的指数分布，则 p x 0,y 0,z o,则 J/杰=_ _ _ _ _ _ _ _.(13)设 X为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵

10、，则矩阵E-的秩为 o(14)设 4 民 0是随机事件，4 c互不相容，尸(，8)=g,P =(,则 囱 )=_ _ _ _ _ _ _。三、解答题：152 3 小题，共 9 4分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1 5)(本题满分10 分)+X 工2证明：x ln -+c o s x l+,-1 x0,2。若曲线L 的切线与X 轴的交点到切点的距离恒 为 1,求函数/的表达式，并求此曲线L 与 x 轴与y 轴无边界的区域的面积。(1 9)(本题满分10 分)已知A是第一象限中从点(0,0)沿圆周/+/=2%到点(2,0),再沿圆周f+j?=4 到点(0

11、,2)的曲线段，计算曲线积分1=1/泗%+(7 +x-2y)dy(2 0)(本题满分10 分),1 a 00 1 aA.0 0 1设0 00 (1、0 -1a P=0J(I )求|Z|(I D当实数。为何值时，方程组小=小有无穷多解，并求其通解.，1(2 1)(本题满分10 分)三阶矩阵/=0、T0 1、1 1 ，万 为 矩 阵 4 的转置，已知r(4Z)=2,且二次型/=xZZx。0 a)23老魏机械团队分享免费学习交流使用10 9V：前研机械联盟1）求a2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。（2 2）（本题满分10分）已知随机变量X,丫以及XY的分布律如下表

12、所示,0120140141013021120112求：（D P（X=2 Y）；c o v（X y,y）与 0m（2 3）（本题满分11分）设随机变量X与y相互独立且分别服从正态分布N（,c r 2）与N（,2 c r 2）,其 中 是 未 知 参 数 且b0,设z =x 丫，（1）求z的概率密度八Z,4）；2（2）设4*2,z,为来自总体Z的简单随机样本，求。2的最大似然估计量。一；（3）证明占2为M的无偏估计量。2 4老魏机械团队分享免费学习交流使用1 1 0V：前研机械联盟2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1 8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项

13、中，只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在笞题纸指定位置上.(1)曲线y=(x l)(x 2)2(x 3)3(x 4 的拐点是()(A)(1,0).(B)(2,0).(C)(3,0).(D)(4,0).(2)设数列4单调减少，!吧a“=0,S“=%(=1,2,)无界，则某级数1)的收敛域为()A r=lM=I(A)(-1,1.(B)-1,1).(0 0,2).(D)(0,2.(3)设函数/(x)具有二阶连续导数，且/(x)0,/(0)=0,则函数z=/(x)ln/(y)在点(0,0)处取得极小值的一 个 充 分 条 件 是()(A)/(o)i,r(o)o.(B)/(0)1,r(0)0

14、.(0 /(o)o.(D)/(0)1,r(0)0.江 三 代 设L j jln s in x丸，=J；lncotx丸K=Jjln co sx此则/J K的大小关系是()(A)I J K.(B)I K J.(0 J I K.(D)K J I.(5)设/为3阶矩阵，将Z的 第2列 加 到 第1列得矩阵8,再 交 换8的 第2行 与 第3行得单位矩阵，记1 06=1 1、0 0(10,鸟=0J 100 0、0 1，则/=(1)(A)P R.(B)P；P2.(0 P2P.(D)P2P；.(6)设/=是 4 阶矩阵,Z*为/的伴随矩阵，若(1,0,1,0)7是方程组/x =0的一个基础解系，则Z*x=0

15、的 基 础 解 系 可 为()(A)a,a3.(B)ava2.(C)ai,a2,ai.(D)a2,a3,a4.(7)设耳(x),心(幻为两个分布函数，其 相 应 的 概 率 密 度 力(x)是连续函数，则必为概率密度的是()(A)/；(x),/；(x).(B)2 f2(x)Fx).(C)/；(x)g(x).(D)/(x)月(x)+力(x)片(x).(8)设随机变量X与y相互独立，且E(X)与E(y)存在，记。=maxX,y,P=minX,y则E(U P)=()老魏机械团队分享免费学习交流使用251 1 1V：前研机械联盟(A)E(U)-E(V).(B)E(X)-E(Y).(0 E(U)-E(Y

16、).(D)E(X)-E(V).二、填空题：914小题，每小题4 分，共 24分，请将答案写在等邮纲指定位置上.(9)曲线y=J。tan/力(0 x(1)的弧长s=.(1 0)微分方程y+y =e-x cosx满足条件y(0)=0 的解为y=.(i i)设 函 数/(x)=雪 力，则 与 T =_.Jo l +t2 dx1 L=oJ，=2(1 2)设 是柱面方程Y+/=l 与平面z=x+y 的交线，从 Z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分2玄 xzdx+xdy+、dz=(1 3)若二次曲面的方程x 2+3/+z 2 +2axy+2xz+2yz=4,经过正交变换化为弁+4z；=4,则

17、。=.(M)设二维随机变量(x,y)服从正态分布(,；。？,。？；。)，则E(X/2)=.三、解答题：1523小题，共 94分.请将解答写在答题纲指定的位置 上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求 极 限 蚓 干声(16)(本题满分9 分)设函数z=/(盯,yg(x),其中函数/具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=l 处取得极值g(l)=l,求d2zdxdy x=(17)(本题满分10分)求方程左arctanxx=0 不同实根的个数，其中一为参数.老魏机械团队分享免费学习交流使用1 1 226V：前研机械联盟(1 8)(本题满分1 0 分)(I)证明：

18、对任意的正整数，都有一!1 1 1(1+,)=1(x,j )1 0 x 1,0 j/1),计算二重积分/=J Jxyfxyx,y)dxdy.D(2 0)(本题满分1 1 分)设 向 量 组%=(1,0,1y,a2=(0,l,l)r,%=(1，3,5 1，不 能 由 向 量 组 e=(1,1,1)，-=(1 2 3)7,4=(3,4,a1线性表示.(I)求 a 的值；(I I)将自,/?2，自由线性表示。2 7老魏机械团队分享免费学习交流使用1 1 3V：前研机械联盟(2 1)(本题满分1 1 分)1 (-1 1、设/为三阶实对称矩阵，/的秩为2,即尸(4)=2,且 Z 0 0=0 0J U L

19、(I)求/的特征值与特征向量：(I I)求矩阵/.(2 2)(本题满分1 1 分)设随机变量x 与 丫的概率分布分别为X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3且尸x2 =y2=i.(i)求二维随机变量(x,y)的概率分布;(I I)求 2 =%丫的概率分布;(i n)求 x 与 y 的相关系数2Vx.(2 3)(本题满分1 1 分)设乂,天,X”为来自正态总体N(o，/)的简单随机样本，其中为 已知，。2 0未知.样本均值和样本方差.A(I)求 参 数 的 最 大 似 然 估 计 量；(I I)计算(；)和 0(*2).7 和 52分别表示28老魏机械团队分享免费学习交流使用1 1

20、4V：前研机械联盟2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(-)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题4分，共 32 分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)-2 T极限l i m-二()x T8 1(x-Q)(X +b)(A)l (B)e(0 eah(D)ebaa 口设函数z =z(x,y)由方程/(上,与=0 确定,其中F为可微函数,且 H 0,则x 土+y2=(x x dx dy)(A)x(B)z(C)-x(D)-z 设 加，为正整数,则反常积分施尹的收敛性()(A)仅与加取值有(C)与用,取值都有关/八 1 29老魏机械团队分享免费学习交

21、流使用115V：前研机械联盟(7)设随机变量X的分布函数(A)0(B)lF(*)=0,22,1一1,x 00 x 0,(4 Q,b 0)为概率密度,则力应 满 足()/0)=,若(A)2 a+3 b =4(C)a+b=(B)3 a+2 b =4(D)a+6 =2二、填空题(9-14小题,每小题4分，共2 4分,请将答案写在答题纸指定位置上.)设(仙(1+心求泣J(10)y x CO S y xdy=.(1 1)已 知 曲 线L的 方 程 为 l-|x|x e-l,l ,起 点 是(-1,0),终 点 是(1,0),则 曲 线 积 分xydx+xdy.(12)设 Q=(x,y,z)|/+/%1,

22、则 Q 的形心的竖坐标z =.(13)设”=(1,2,-1,0)，,%=(1,0,2)7,0 13 =(2,1,1,(/尸，若由 a,a2,a3 形 成 的 向 量 空 间 的 维 数 是 2,则a -.(14)设随机变量X概率分布为PX=k=(k=0,1,2,),则“(星2)=k!三、解答题(1 5-2 3小题,共9 4分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求微分方程y-3y+2y=2xex的通解.(16)(本题满分10分)求函数/(x)=(X2-Z)e-/2 dt的单调区间与极值.30老魏机械团队分享免费学习交流使用116V

23、：前研机械联盟(17)(本题满分10 分)比 较|l n?|l n(l +5dt与 t|l n t dt(n=1,2,)的大小，说明理由(2)记“=，/114 111(1+初力(=1,2 4-),求极限1而”“.(18)(本题满分10 分)求募级数f丑的收敛域及和函数.2-1(19)(本题满分10 分)设P为椭球面S:/+/+z 2 一产=1上的动点，若 S在点尸的切平面与x O y而垂直,求P点的轨迹C,并计算曲面积分/=(x+)l)-2 z|心，其中是椭球面S 位于曲线C上方的部分.?j 4 +/+z24 产(2 0)(本题满分1 1 分)九1设 庆=0 A-1 1IM知线性方程组_ 的解

24、.求义,。.(2)求方程组A x =6 的通解.31老魏机械团队分享免费学习交流使用1 1 7V：前研机械联盟(2 1)(本题满分1 1 分)设二次型/(XI，X 2，X 3)=AX在正交变换x=Qy下的标准形为y；+代,且Q的第三列为 求A.(2)证明A+E为正定矩阵,其中E为 3 阶单位矩阵.(2 2)(本题满分1 1 分)设二维随机变量(X +Y)的概率密度为f(x,y)=Ae-2x2+2x)，-y2,-oo x o o,-o o 0 时，/(x-s i n o x 与 g(x)=x 2 n(l-b x)等价无穷小，则()(A)a=.b=-(B)a=l,b=(C)a=-l,b =(D)a

25、=-1,Z?=6 6 6 6 如 图，正 方 形 (x,)|x|1,3W1被 其 对 角 线 划 分 为 四 个 区 域 2 (4=1,2,3,4),=cosxdxdy,则y1xLmax(1=()14 1)(A)/,(B)Z2设函数y =f(x)在区间-1/7(x)=j；/a)力 的 图 形 为(A)-老魏机械团队分享免费学习交流使用一1 X(C)Z3(D)Z4f(x)t，/4,-2 y 1 2 3 x,3上 的 图 形 为 贝1函 数U一 /U?3 A x(B)33119 V：前研机械联盟设有两个数列 4,2,若!吧%=0,则()(A)当 收 敛 时，收敛.w=l n=(B)当 发 散 时，

26、也 发散.=1 =1(C)当同收敛时，a，笈 收敛.=1 =100 00(D)当发散时，笈发散.n=n=l 设 叫 必 必 是3维向量空间R 组基，则由基叫,黑，3到基叫+%,a 的过渡矩阵为()0231207A-I71-21-41-60331-21-41-6220-(6)设A,B均为2阶矩阵，A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，若 网=分 网=3,则分块矩阵0的伴随矩阵为/(A、)2 Z*(B)0、3 N*(00、2B*(D)0、3B*3 5 12 6、0073/12/、O)07A0、(7)设随机变量X的分布函数为尸(x)=0.3(x)+0.7(?)其中(x)为标准正态分布函数，则E X=()

27、(A)0 (B)0.3 (C)0.7(D)l(8)设随机变量x与y相互独立,且x服从标准正态分布N(O,I),Y的概率分布为尸 丫=0 =尸 丫=1 =；,记B(z)为随机变量z =xy的分布函数,则函数乃 卜)的间断点个数为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)33 4老魏机械团队分享免费学习交流使用1 2 0V：前研机械联盟二、填空题(9-1 4 小题,每小题4 分，共 2 4 分,请将答案写在答题纸指定位置上.)、d2z(9)设 函 数 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，z =/(x,孙)，则w=.(1 0)若 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程+勿=0的通解为y =

28、(G +C2x)e 则非齐次方程y+ay+h y x满足条件y(O)=2,y (O)=0的解为y =.(1 1)已知曲线 L :y =(0 4 x W 忘)，则 xds=.(1 2)设 Q =(x,y,z)K +/+z?0)内可导，且lim/(x)=4,则 斤(0)存 在，且xf 0+(o)=/(19)(本题满分10分)计算曲面积分I=妤皿七其中Z是曲面2/+z2=4的外侧.Z(x2+j2+Z2)2(20)(本题满分11分)(1 -1-1(-1、设4=-1 1 1 ，目=1 )未知，M，丫2,X,是来自总体X的简单随机样本.(1)求参数4的矩估计量.(2)求参数4的最大似然估计量.36老魏机械

29、团队分享免费学习交流使用1 2 2V：前研机械联盟2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(-)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题4 分，共 3 2 分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)设函数/(x)=l n(2 +/)力 则/(x)的零点个数()J 0(A)0 (B)l (C)2 (D)3x(2)函数/(x,y)=a r c t a n 在点(0,1)处的梯度等于()y(A)/(B)-z(O；(D)-j在下列微分方程中，以y =e +G c o s 2 x +G s i n 2 x(C|,C 2，G 为任意常数)为通解的是()(A)ym

30、+y-4y-4 y =0(C)y -y -4y+4 y =0(B)y+y+4y+4 y =0(D)y-y+4y-4 y =0(4)设函数/(x)在(8,+o o)内单调有界，怎 为数歹i j,下列命题正确的是()(A)若 怎 收敛,贝1 /(居)收敛(B)若%单调,贝i J /(x,)收敛(C)若 /(七)收敛,则 X)收敛 若 /(七)单调，则 X 收敛(5)设A为”阶非零矩阵，E为阶单位矩阵.若4 3=0,则()(A)E A不可逆，E +A不可逆(B)E A不可逆，E +A可逆(C)E A可逆，E +A可逆(D)E A可逆，E +A不可逆(X、(6)设 A为 3阶实对称矩阵,如果二次曲面方

31、程(x),z)A y =1 在正交变换下的标准方程的图形如图，则A的正特(D)3 设 随 机 变 量 独 立 同 分 布 且 X 分布函数为尸)，则2 =0 1 联 万,丫 分布函数为()(A)产(x)(B)F(x)F(y)(C)1-1-F(x)2(D)1-F(x)l-F(y)老魏机械团队分享免费学习交流使用371 2 3V：前研机械联盟(8)设随机变量X N(O,1),y N(L4)且 相 关 系 数 加=1,则()(A)Py=-2Ar-l=l(B)Py=2 X-l)=l(c)p y=-2 x+i =i py=2x+i=i二、填空题(9-14小题,每小题4分，共24分,请将答案写在答题纸指定

32、位置上.)(9)微分方程xy+y O满足条件丁(1)=1的解是y=.(10)曲线sin(D)+ln(y-x)=x在点(0,1)处的切线方程为.co00(11)已知幕级数“(x+2)”在x=0处收敛，在x=T处发散，则基级数3)”的收敛域为.=0w=0(12)设曲面2是2=yjA-x2-y2 的上侧,则 JJ肛 秋/z+xdzt/x+x2tA=.工(13)设A为2阶矩阵，a),2为线性无关的2维列向量，Aa,=0,Aa2=2a,+a,则A的非零特征值为.(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则尸、=七才2=.三、解答题(15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文

33、字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)sin x-sin(sin x)sin x求极限limJ=-1一.。x4(16)(本题满分10分)计算曲线积分J/Sin2xtZr+2(x21)/忆 其中心是曲线y=sinx上从点(0,0)到点(肛0)的一段.(17)(本题满分10分)已知曲线C:卜2Z=,求曲线C距 离y面最远的点和最近的点.x+y+3z=538老魏机械团队分享免费学习交流使用1 2 4V：前研机械联盟(18)(本题满分10分)设/(x)是连续函数，利用定义证明函数尸(x)=J o/。)力可导，且尸(x)=/(x).当/(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=

34、2 力 x j j/曲 也是以2 为周期的周期函数.(19)(本题满分10分)将函数/=1 一一(0 X W灯)，用 余 弦 级 数 展 开,并 求 的 和.=1(20)(本题满分11分)设U 2为 3 维列向量，矩阵/=3 +旃，其中，分 别 是 鬼尸的转置证明:(I)秩N*(I I)若a，/线性相关,则秩N N).2(2)求Z的概率密度力(z).(2 3)(本题满分1 1 分)设 乂,玛,X”是总体为NT，/)的简单随机样本.记 天 之 X,.,S 2 =-Y(Xi-X)2,T =X2-S2广 一1 普 n(1)证明丁是2 的无偏估计量.(2)当 =0,。=1 时，求。7.40老魏机械团队

35、分享免费学习交流使用1 2 6V：前研机械联盟2 0 1 9 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的(1)当x-0时，若x-tanx与 是同阶无穷小，则左二()(A)1(2)设函数/(x)=(B)2xx,x 0(0 3(D)4则x=0是/的()(A)可导点，极值点(B)不可导点，极值点(C)可导点，非极值点)不可导点，非极值点(3)设“是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是()(A)在=i a +i(B)t(-D-=i%(D)(d+1-；)77=1Y(4)设函数0(x,刃=.如果对上半平面

36、(y0)内的任意有向光滑封闭曲线C都有y 尸(/)公+。(工4)力=0,那么函数。()可 取 为()X2 1 X2 1 1 1(A)y-(B)-(C)-(D)x-y y y y v(5)设4是3阶 实 对 称 矩 阵，是3阶 单 位 矩 阵，若 片+/=2瓦 且|4=4,则二次型x Z x的规范为()(A)y+(B)y+y1-yj(C)-y-y3(D)-y f-y -y(6)如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程如x+4/=4。=1,2,3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为4),则()霹嬲刎=3(B)r(A)=7r(A)=2v：前研机械联盟(0 r(A)=l,r(A

37、)=2(D)r(A)=l,r(A)=1(7)设4 8为随机事件，则P(N)=P(8)的充分必要条件是()(A)P(A JB)=P(A)+P(B)(B)P(AB)=P(A)P(B)(C)P(丽=P(B)(D)P(AB)=P(AB)(8)设随机变量X与丫相互独立，且都服从于正态分布N 3 b 2),则p|X-H 0)的上侧，则J J/4-x?-4 z。dxdy=(1 3)设4=(q,%,%)为3阶矩阵，卷“生线性无关，且?3=-q+2%，则线性方程组念=。的通解为.(1 4)设随机变量X的 概 率 密 度 为=0%为 )为X的分布函数，EX为Xo,其他的数学期望，则P X)EX_1=.一三、解答题

38、：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(1 5)(本题满分10分)x2设函数M x)是微分方程/+初=e?满足条件乂0)=0的特解.(1)求 M%)；(2)求曲线y=的凹凸区间及拐点.老魏机械团队分享免费学习交流使用12 8V：前研机械联盟(1 6)(本题满分10分)设a,6 为实数，函数2 =2 +妙 2+勿 2 在点(3,4)处的方向导数中，沿方向/=一 3，一4./的方向导数最大，最大值为10.(1)求；(2)求曲面z=2 +办 2+b y 2(zN 0)的面积.(1 7)(本题满分10分)求曲线y =s i n x(x 0将 x轴之间图形的面积.(1 8)(

39、本题满分10分)设=f xy-x2dx(n=0,1,2,)JO(1)证 明：数列%单 调 减 少，且=曰%2(=2,3,-)+2(2)求 l im 2.a,.,(1 9)(本题满分10分)设。是由锥面在f+3 z)2-(1-2)2(04 2 4 1)与平面2 =0围成的锥体，求 Q 的形心坐标.(2 0)(本题满分11分)设向量组X =(1,2,1尸=(1，3,2),3 31 M 3)7为川 的一个基，4=(U,在 基 下的坐标3,c,1)二(1)求a,6,c；老 输 部 戚 加 生 为*的一个基,并求4,%，陶 ,电，生的过渡矩阵 v：前 研 机 械 联 盟免 费 学 习 交 流 使 用(2

40、 1)(本题满分11分)-2 -2 、2 1 0、已知矩阵4=2 x -211B=0-1 0相似.0 0*2 0月 求 x、y;(2)求可逆矩阵P,使得P 一/。=民(2 2)(本题满分11分)设 随 机 变 量 x 与 丫 相 互 独 立，x 服 从 参 数 为 1 的 指 数 分 布.丫 的 概 率 分 布 为P y =_ 1 =p,pY =-p(0 /.a0,x 0AB.当1 M幺 =0时，/(X)在x =0处可导-1 xC.当f (x)在x =0处 可 导 时,li mK TO/(X)7 R0D.当/(x)在x =0处 可 导 时，li m/孚=03 X、(3)设函数/(x,y)在点(

41、0,0)处可微，/(0,0)=0,n=胃一7(oo),非零向量 与垂直，则()A.l i m(x,y)-(O,O)存在B.l i m(x，yA(oo)存在C.l i m(X,J4(O,O)存在a x(x,y,/(x/)D.l i m -/(工,加(0,0)&2+y2存在(4)设 及 为 嘉 级 数 的 收 敛 半 径，厂是实数，则=1)00A.当 见 尸 发 散 时，n=lC.当同2及时发散M=I(5)若矩阵4经初等列变换化成3,则A.存在矩阵尸，使 得 勿=8C.存在矩阵尸，使得RB=4B.当出 一 发 散 时，卜区及=1D.当H W 7?时,a2“产 收 敛W=I()B.存在矩阵尸，使得8

42、尸=ZD.方程组/x =0与&=0同解/、,土/b,X-%V b)Z-Q|_-fa-/lx f X-&V-b-Z Q _L r-T-一 、r J,口(6)己 知 直 线4：-=与 直 线4：-=-=1相 父 于 一 点，记向量 0),且/(0)=加 J (0)=n,则 f(x)dx=_.J O(1 2)设函如则=_.Jo dxdy(i,i)a 0-1 10 a 1 1(1 3)行列式=-1 1 a 0-1 -1 0 ar r r r(1 4)设X服从区间(-万,5)的 均 匀 分 布，y =sinX/!)CM X,y)=.三、解答题：15 23小题，共 94分.解答应写出文字说明、证明过程或验

43、算步骤.(1 5)(本题满分1 0分)求函数+8 y 3 一孙的极值.老魏机械团队分享免费学习交流使用1 3 2V：前研机械联盟(1 6)(本题满分1 0分)计算曲线积分/=f 4dx+号 J，其 中/是+必=2,方向为逆时针方向.J 4x2+y2 4x2+yz(1 7)(本题满分1 0分)设数列%满足q =1,(+1卜“+1=(+；“，证明：当国1时，幕级数收敛，并求其和函数.(1 8)(本题满分1 0分)设2为曲面z =Jj+Q w i+j?W 4)的 下 侧,/(x)是连续函数，计算/=J J xf(xy)+2x-ydydz+#(x y)+2y+xdzdx+力(盯)+zdxdy.1老魏机

44、械团队分享免费学习交流使用133V：前研机械联盟(19)(本题满分10分)设函数/(x)在区间 0,2上具有连续导数，/(0)=/(2)=0,=甲密|/(刈,证明(I)克 e(0,2),使得(H)若对任意的 x e (0,2),|/(x)区 ，则=0.(20)(本题满分11分)(X (v 设二次型/(否,2)=看!一4中2+4%；经 正 交 变 换1=。化为二次型g(乂，)=砂：+4凹必+刎,其中a 2 b.(I)求a,b的值；(n)求 正 交 矩 阵0.(21)(本题满分11分)设，为2阶 矩 阵，尸=(a,a),其 中a是非零向量且不是N的特征向量.(I )证明尸为可逆矩阵；(H)若/a+

45、a-6 a =0,求尸一 尸,并判断/是否相似于对角矩阵.老魏机械团队分享免费学习交流使用1 3 4V：前研机械联盟（22）（本题满分11分）设随机变量工“入2，工3相互独立，其中M与丫2均服从标准正态分布，X：的概率分布为尸 化=0 =尸丫3=1=!y=X 3X 1+（I xy）x2.（i）求二维随机变量（x”y）的分布函数，结果用标准正态分布函数（X）表示；（n）证明随机变量丫服从标准正态分布.（23）（本题满分11分）设某种元件的使用寿命T的分布函数为-c-r0,其他.其中仇加为参数且大于零.（I ）求概率P7”与尸 7 S +4 7 5 ,其中5 0,/0;（H）任取个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为f 2,%若加已知，求。的最大似然估计值无老魏机械团队分享免费学习交流使用135V：前研机械联盟日期:用时:得分:*为避免双面打印时,因单数页造成不同年份跨页的现象，特别添加了总结页*要点笔记回顾总结：老魏机械团队分享 1 3 6 V：前研机械联盟免费学习交流使用