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1、1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 5 小题小题,每小题每小题 3 3 分分,满分满分 1515 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)lim1 x 1 x 2x0 x2=_.(2)设z 1xf(xy)y(x y),f,具有二阶连续导数,则2zxy=_.(3)设l为椭圆x2y21,其周长记为a,则(2xy 3x2 4y243)ds=_.L(4)设A A为n阶矩阵,A A 0,A A*为A A的伴随矩阵,E E为n阶单位矩阵.若A A有特征值,则(A A*)2E E必有特征值_.(5)设平面区域D由曲线y 1x及直
2、线y 0,x 1,x e2所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x 2处的值为_.二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 5 小题小题,每小题每小题 3 3 分分,满分满分 1515 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把把所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)连续,则ddxx0tf(x2t2)dt=(A)xf(x2)(B)xf(x2)(C)2xf(x2)(D)2xf(x2)(2)函数f(x)(x2 x2)x3 x不可导点的个数是(A)3(B)2(
3、C)1(D)0(3)已知函数y y(x)在任意点x处的增量y yx1 x2,且当x 0时,是x的高阶无穷小,y(0),则y(1)等于(A)2(B)(C)e4(D)e 4(4)设矩阵a1b1c1a2b2c2ca3b33是满秩的,则直线x a3y b3z c3xa1y b1z c1ab与直线1 a2b12c1c2a2a3b2b3c2c3(A)相交于一点(B)重合(C)平行但不重合(D)异面(5)设A,B是两个随机事件,且0 P(A)1,P(B)0,P(B|A)P(B|A),则必有(A)P(A|B)P(A|B)(B)P(A|B)P(A|B)(C)P(AB)P(A)P(B)(D)P(AB)P(A)P(
4、B)三、三、(本题满分本题满分 5 5 分分)求直线l:x11y1z 11在平面:x y 2z 1 0上的投影直线l0的方程,并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.四、四、(本题满分本题满分 6 6 分分)确定常数,使在右半平面x 0上的向量A A(x,y)2xy(x4 y2)i i x2(x4 y2)j j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y).五、五、(本题满分本题满分 6 6 分分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器
5、的质量为m,体积为B,海水密度为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k 0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y y(v).六、六、(本题满分本题满分 7 7 分分)1计算axdydz (z a)2dxdy22,其中为下半平面z a2 x2 y2的上侧,a为大于零的常数.(x y z2)1 2七、七、(本题满分本题满分 6 6 分分)2求limsinnsinnL sinxn1n11.2nn八、八、（本题满分（本题满分 5 5 分）分）设正向数列a1n单调减少,且(1)nan发散,试问级数(n1na 1)n是否收敛?并说明理由.1n九、九、（本题满分（本题满分 6 6
6、分）分）设y f(x)是区间0,1上的任一非负连续函数.(1)试证存在x0(0,1),使得在区间0,x0上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间x0,1上以y f(x)为曲边的曲边梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f(x)2f(x)x,证明(1)中的x0是唯一的.十、十、（本题满分（本题满分 6 6 分）分）已知二次曲面方程x2 ay2 z2 2bxy 2xz 2yz 4可以经过正交变换xyP P化为椭圆柱面z方程2 42 4,求a,b的值和正交矩阵P P.十一、十一、（本题满分（本题满分 4 4 分）分）设A A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组A Akx 0 0有
7、解向量,且A Ak1 0 0.证明:向量组,A A,L,A Ak1 是线性无关的.十二、十二、（本题满分（本题满分 5 5 分）分）已知方程组a11x1a12x2L a1,2nx2n 0()a21x1a22x2L a2,2nx2n 0Man1x1an2x2L an,2nx2n 0的一个基础解析为(bTTT11,b12,L,b1,2n),(b21,b22,L,b2,2 n),L,(bn1,bn2,L,bn,2n).试写出线性方程组b11y1b12y2L b1,2ny2n 0()b21y1b22y2L b2,2ny2n 0Mbn1y1bn2y2L bn,2ny2n 0的通解,并说明理由.十三、十三
8、、（本题满分（本题满分 6 6 分）分）设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X Y的方差.十四、十四、（本题满分（本题满分 4 4 分）分）从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大?附:标准正态分布表2(x)z1t2e2dtz1.281.6451.962.33(x)0.9000.9500.9750.990十五、十五、（本题满分（本题满分 4 4 分）分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程.附:t分布表Pt(n)tp(n)p0.950.975351.68962.0301361.68832.028123