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1、因式分解的常用方法因式分解的常用方法第一部分第一部分:方法介绍方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要
2、介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法和十字相乘法 本讲及下一讲在中学数学教材基础上，本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法。一、提公因式法。：ma+mb+mc=mma+mb+mc=m（a+b+c)a+b+c)二、运用公式法。二、运用公式法。在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如式分解中常用的公式，例如:2 22
3、 22 22 2(1)(a+b)(1)(a+b)（a a-b)=ab)=a b b-a a-b b=（a+ba+b）（）（a ab)b)；2 22 22 22 22 22 2(2)(2)（a ab)b)=a=a 2ab+b2ab+b-a a 2ab+b2ab+b=（a ab)b)；2 22 23 33 33 33 32 22 2（3 3）（）（a+ba+b）(a(a-ab+bab+b)=a)=a+b+b-a a+b+b=(a+b)(a=(a+b)(a-ab+bab+b）；）；2 22 23 33 33 33 32 22 2(4)(a(4)(a-b b）（）（a a+ab+b+ab+b）=a=a
4、-b b-a-a b b=（a ab)(ab)(a+ab+b+ab+b）下面再补充两个常用的公式：下面再补充两个常用的公式：2 22 22 22 2(5(5）a a+b+b+c+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c）；3 33 33 32 22 22 2（6)a6)a+b+b+c+c-3abc=3abc=（a+b+c)(aa+b+c)(a+b+b+c+c-ababbcbc-ca)ca)；，c是是ABC的三边的三边,且且a b c abbcca，例例.已知已知a，b则则ABC的形状是（的形状是（）A A。直角三角形。直角三角形B B 等腰三角形等腰三角形
5、C C 等边三角形等边三角形D D 等腰直角三角形等腰直角三角形解：解：a b c abbcca 2a 2b 2c 2ab2bc2ca222222222(ab)2(bc)2(ca)2 0 a b c三、分组分解法。三、分组分解法。（一）分组后能直接提公因式（一）分组后能直接提公因式例例 1 1、分解因式：、分解因式：am anbmbn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解公式分解,但从“局部但从“局部 看，这个多项式前两项都含有看，这个多项式前两项都含有 a a,后两项都含有后两项都含有 b b,
6、因因此可以考虑将前两项分为一组此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之然后再考虑两组之1间的联系。间的联系。解：原式解：原式=(am an)(bm bn)=a(m n)b(m n)每组之间还有公因式！每组之间还有公因式！=(m n)(a b)例例 2 2、分解因式：、分解因式：2ax 10ay 5by bx解法一解法一:第一、二项为一组；第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组解法二：第一、四项为一组;第三、四项为一组。第三、四项为一组。第二、三项为一组。第二、三项为一组。解：解：原式原式=(2ax 10ay)(5by bx)原式原式=(2ax
7、bx)(10ay 5by)=2a(x 5y)b(x 5y)=x(2a b)5y(2a b)=(x 5y)(2a b)=(2a b)(x 5y)2练习：分解因式练习：分解因式 1 1、a ab ac bc2 2、xy x y 1(二二)分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式例例 3 3、分解因式：、分解因式：x y ax ay分析分析:若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组,虽然可以提公因式，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式解：原式=(x y)(ax ay)=(x y)(x
8、y)a(x y)=(x y)(x y a)222例例 4 4、分解因式：、分解因式：a 2ab b c解解:原式原式=(a 2ab b)c=(a b)c=(a b c)(a b c)22222练习：分解因式练习：分解因式 3 3、x x 9y 3y4 4、x y z 2yz322322综合练习综合练习:（1 1）x x y xy y（2 2）ax bx bx ax a b22（3 3）x 6xy 9y 16a 8a 1(4(4）a 6ab 12b 9b 4a432（5 5）a 2a a 9（6 6）4a x 4a y b x b y22(7(7）x 2xy xz yz y(8)(8)a 2a
9、b 2b 2ab 1222222222222222222（9 9）y(y 2)(m 1)(m 1)(10(10）(a c)(a c)b(b 2a)333（11)11)a(b c)b(a c)c(a b)2abc（1212）a b c 3abc2222四、十字相乘法。四、十字相乘法。（一）二次项系数为（一）二次项系数为 1 1 的二次三项式的二次三项式直接利用公式直接利用公式-x (p q)x pq (x p)(x q)进行分解。进行分解。特点：特点：（1 1）二次项系数是）二次项系数是 1 1；(2(2）常数项是两个数的乘积；）常数项是两个数的乘积；(3(3）一次项系数是常数项的两因数的和。）
10、一次项系数是常数项的两因数的和。2思考：十字相乘有什么基本规律？思考：十字相乘有什么基本规律？例。已知例。已知 0 05 5，且为整数，若，且为整数，若2x 3xa能用十字相乘法分解因式，能用十字相乘法分解因式，求符合条件的。求符合条件的。2解解析析：凡凡是是能能十十字字相相乘乘的的二二次次三三项项式式 axax2 2+bx+c+bx+c，都都要要求求 b24ac0 0 而且是一个完全平方数而且是一个完全平方数.于是于是 98a为完全平方数为完全平方数,a 12例例 5 5、分解因式：、分解因式：x 5x 6分析：将分析：将 6 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于分成两个数相乘，且这两个
11、数的和要等于 5.5.由于由于 6=26=23=(-2)3=(-2)(3 3）=1=16=6=（-1)-1)(-6)(-6)，从中可以发现只有，从中可以发现只有 2 23 3 的分解适合的分解适合,即即 2+3=5.2+3=5.1 12 22解：解：x 5x 6=x (2 3)x 231 13 32=(x 2)(x 3)1 12+12+13=53=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。的代数和要等于一次项的系数。2例例 6 6、分解因式：、分解因式：x 7x 6解：原式解：原
12、式=x(1)(6)x (1)(6)1 11 1=(x 1)(x 6)1 1-6-6(-1(-1）+(+(6 6）=-7=-7x214x 24(2(2）a215a 36(3(3）x2 4x 5练习练习 5 5、分解因式分解因式（1 1）222练习练习 6 6、分解因式分解因式(1)(1)x x 2(2)(2)y 2y 15（3 3）x 10 x 2432(二）二次项系数不为二）二次项系数不为 1 1 的二次三项式的二次三项式ax bx c条件：条件：(1(1）a a1a2（2)2)c c1c2（3 3）b a1c2 a2c1b a1c2 a2c1分解结果分解结果:ax bx c=(a1x c1)
13、(a2x c2)2例例 7 7、分解因式：、分解因式：3x 11x 10分析：分析：1 1-2-23 3-5-5（-6)+(-5-6)+(-5）=-11=-11解：解：3x 11x 10=(x 2)(3x 5)练习练习 7 7、分解因式：、分解因式：（1)1)5x 7x 6（2 2）3x 7x 222(3)(3)10 x 17x 3（4)4)6y 11y 10(三）二次项系数为三）二次项系数为 1 1 的齐次多项式的齐次多项式22例例 8 8、分解因式、分解因式:a 8ab 128b分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式
14、，利用十字相乘法进行分解。进行分解。1 18b8b1 116b16b8b+(8b+(16b)=16b)=8b8b22解解:a 8ab 128b=a 8b (16b)a 8b(16b)222222=(a 8b)(a 16b)222222练习练习 8 8、分解因式、分解因式(1)(1)x 3xy 2y(2)(2)m 6mn 8n(3)(3)a ab 6b(四）二次项系数不为四）二次项系数不为 1 1 的齐次多项式的齐次多项式例例 9 9、2x 7xy 6y例例 1010、x y 3xy 21 1-2y-2y把看作一个整体把看作一个整体1 1-1-12 23y3y1-21-2（-3y)+(-3y)+
15、(4y)=-7y4y)=-7y(-1)+(-1)+（2 2）=-3=-3解：解：原式原式=(x 2y)(2x 3y)解：解：原式原式=(xy 1)(xy 2)22练习练习 9 9、分解因式、分解因式:(1:(1）15x 7xy 4y（2)2)a x 6ax 822222242263综合练习综合练习 1010、（1 1）8x 7x 1（2 2）12x 11xy 15y（3 3）(x y)3(x y)10(4)(4)(a b)4a 4b 322（5 5）x y 5x y 6x(6(6）m 4mn 4n 3m 6n 2222222（7 7）x 4xy 4y 2x 4y 3(8)(8)5(a b)23
16、(a b)10(a b)22222212(x y)11(x y)2(x y)（9 9）4x 4xy 6x 3y y 10（1010）222222思考：分解因式思考：分解因式:abcx2(a2b2 c2)x abc五、换元法五、换元法.例例 1313、分解因式（、分解因式（1 1）2005x2(200521)x 2005（2 2）(x 1)(x 2)(x 3)(x 6)x2解：解：（1 1）设）设 2005=,2005=,则原式则原式=ax2(a21)x a=(ax 1)(x a)=(2005x 1)(x 2005)（2 2）型如型如abcd e的多项式，的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分
17、组相乘。分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式原式=(x2 7x 6)(x25x 6)x2设设x2 5x 6 A，则，则x2 7x 6 A 2x原式原式=(A 2x)A x2=A2 2Ax x2=(A x)2=(x2 6x 6)2练习练习 1313、分解因式（、分解因式（1 1）(x2 xy y2)2 4xy(x2 y2)（2 2）(x23x 2)(4x28x 3)90（3 3）(a21)2(a25)2 4(a23)2例例 1414、分解因式（、分解因式（1 1）2x4 x3 6x2 x 2观察：此多项式的特点观察：此多项式的特点-是关于的降幂排列，每一项的次数依次少是关于的降幂排列，每一
18、项的次数依次少1 1，并，并且系数成“轴对称”且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式解：原式=x2(2x2 x 61x1x(x2112)=x22x2)(x x)6设设x 1x t,则则x21x2 t2 252 t 2)t 6=x2t t 10原式原式=x（2222215x 2xx21=x 2x 5 x x 2=2x25x 2 x2 2x 1xx2=(x 1)(2x 1)(x 2)2=x2t 5t 2=x 2x 2（2 2）x4
19、 4x3 x2 4x 1解：原式解：原式=x2(x24x1设设x 411 12)=x2x224x 1xxxx11 y，则，则x22 y2 2xx222原式原式=x(y 4y 3)=x(y 1)(y 3)1122=x2(x 1)(x 3)=x x 1x 3x 1xx432练习练习 1414、(1(1）6x 7x 36x 7x 64322（2 2）x 2x x 1 2(x x)六、添项、拆项、配方法。六、添项、拆项、配方法。例例 1515、分解因式（、分解因式（1 1）x33x2 4解法解法 1-1-拆项拆项.解法解法 2-2-添项。添项。原式原式=x313x23原式原式=x33x2 4x 4x
20、4=(x 1)(x x 1)3(x 1)(x 1)=x(x 3x 4)(4x 4)=22(x 1)(x2 x 13x 3)22=2x(x 1)(x 4)4(x 1)=(x 1)(x 4x 4)=(x 1)(x 4x 4)=(x 1)(x 2)=(x 1)(x 2)963(2(2）x x x 3解：原式解：原式=(x 1)(x 1)(x 1)=(x 1)(x x 1)(x 1)(x 1)(x 1)=(x 1)(x x 1 x 11)=(x 1)(x x 1)(x 2x 3)练习练习 1515、分解因式、分解因式3(1(1）x 9x 8(2)(2)(x 1)(x 1)(x 1)42422（3 3）
21、x 7x 1（4 4）x x 2ax 1 a2963363333363326342246（5 5）x y (x y)（6 6）2a2b2 2a2c2 2b2c2 a4b4 c4七、待定系数法。七、待定系数法。22例例 1616、分解因式、分解因式x xy 6y x 13y 6分析：分析：原式的前原式的前 3 3 项项x xy 6y可以分为可以分为(x 3y)(x 2y)，则原多项式则原多项式必定可分为必定可分为(x 3y m)(x 2y n)解：设解：设x xy 6y x 13y 6=(x 3y m)(x 2y n)(x 3y m)(x 2y n)=x xy 6y (m n)x (3n 2m)
22、y mn222244422x2 xy 6y2 x 13y 6=x2 xy 6y2(m n)x (3n 2m)y mnm n 1m 2对比左右两边相同项的系数可得对比左右两边相同项的系数可得3n 2m 13,解得解得n 3mn 6原式原式=(x 3y 2)(x 2y 3)22例例 1717、（1 1）当为何值时，多项式）当为何值时，多项式x y mx 5y 6能分解因式，并分解能分解因式，并分解此多项式。此多项式。（2)2)如果如果x3ax2bx 8有两个因式为有两个因式为x1和和x2，求，求ab的值。的值。（1 1）分析：分析：前两项可以分解为前两项可以分解为(x y)(x y)，故此多项式分
23、解的形式必故此多项式分解的形式必为为(x y a)(x y b)解解:设设x y mx 5y 6=(x y a)(x y b)则则x y mx 5y 6=x y (a b)x (b a)y ab222222a b ma 2a 2比较对应的系数可得：比较对应的系数可得：ba 5，解得：，解得：b 3或或b 3ab 6m 1m 1当当m 1时，原多项式可以分解；时，原多项式可以分解；当当m 1时，原式时，原式=(x y 2)(x y 3)；当当m 1时，原式时，原式=(x y 2)(x y 3)32（2 2）分析：分析：x ax bx 8是一个三次式，是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，所
24、以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如因此第三个因式必为形如xc的一次二项式。的一次二项式。32解：设解：设x ax bx 8=(x 1)(x 2)(x c)32则则x ax bx 8=x(3 c)x (23c)x 2c327a 3ca 7b 23c解得解得b 14，2c 8c 4ab=2122练习练习 1717、（1 1）分解因式）分解因式x 3xy 10y x 9y 2（2 2）分解因式）分解因式x 3xy 2y 5x 7y 6(3(3）已知）已知:x 2xy 3y 6x 14y p能分解成两个一次因式之能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式积，求常数并且分解因式.（4
25、4）为何值时，）为何值时，x 2xy ky 3x 5y 2能分解成两个一次因能分解成两个一次因式的乘积式的乘积,并分解此多项式。并分解此多项式。第二部分：习题大全第二部分：习题大全经典一：经典一：一、填空题1。把一个多项式化成几个整式的_的形式,叫做把这个多项式分解因式。2 分解因式：m-4m=。3。分解因式：x 4y=_.4、分解因式：x 4x4=_。5。将 x-yn分解因式的结果为(x+y)（x+y）(xy)，则 n 的值为.6、若x y 5,xy 6，则x y xy=_,2x 2y=_。二、选择题3222315m n 5m n20m n的公因式是()7、多项式22222232222222
26、n22A、5mn B、5m n C、5m n D、5mn8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（)2222a3a3 a29a2b2ababA、B、83 2m 2m3 m m2a24a5 aa45mC、D、10.下列多项式能分解因式的是（）22222（A)x-y (B)x+1（C)x+y+y (D)x-4x+411把（xy）（yx）分解因式为（）A（xy）（xy1）B（yx）（xy1）C（yx）（yx1)D（yx)（yx1）12下列各个分解因式中正确的是（）222A10ab c6ac 2ac2ac(5b 3c）222B（ab)（ba）（ab）（ab1)Cx（bca)y(abc）abc(bc
27、a）（xy1）2D（a2b）（3ab）5（2ba）（a2b)（11b2a）213.若 k12xy+9x 是一个完全平方式，那么k 应为（）22A.2 B。4 C。2y D.4y三、把下列各式分解因式:22 14、nxny 15、4m 9n216、mmnnnm 17、a 2a bab322x18、2416x22229(m n)16(m n)19、；9五、解答题20、如图，在一块边长=6.67cm 的正方形纸片中，挖去一个边长=3。33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d 45cm，外径D 75cm，长l 3m。利用分解因式计算浇制一节
28、这样的管道需要多少立方米的混凝土？（取3。14，结果保留 2 位有效数字）22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5）个等式。(1)x21x1x1(2)x41x21x1x1(3)x81x41x21x1x1(4)x161x81x41x21x1x1(5)_经典二：10d dD D因式分解小结因式分解小结知识总结归纳知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时,应注意以下几点。1。因式分解的对象是多项式；2。因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3.分解因式，必须进行到每一个因式都
29、不能再分解为止；4。公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相同因式，应写成幂的形式;6。题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7。因式分解的一般步骤是：(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变的步骤.即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;（2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。1 1。通过基本思路达到分解多项式的目的通过基本思路达到分解多项式的目的例例 1
30、1.分解因式x5 x4 x3 x2 x 1分 析：这 是 一 个 六 项 式，很 显 然 要 先 进 行 分 组,此 题 可 把x5 x4 x3和 x2 x 1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取11公因式后，再进一步分解;也可把x5 x4，x3 x2,x 1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式(x5 x4 x3)(x2 x 1)x3(x2 x 1)(x2 x 1)(x31)(x2 x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1)解二：原式=(x5 x4)(x3 x2)(x 1)x4(x 1)x2(x 1)(x 1)(x 1)(x4 x1)(x 1)(
31、x 2x1)x (x 1)(x2 x 1)(x2 x 1)422 2.2.通过变形达到分解的目的通过变形达到分解的目的例例 1 1。分解因式x3 3x2 4解一：将拆成2x2 x2,则有原式 x3 2x2(x2 4)x2(x 2)(x 2)(x 2)(x 2)(x x 2)(x 1)(x 2)22解二：将常数拆成1 3，则有原式 x31(3x2 3)(x 1)(x2 x 1)(x 1)(3x 3)(x 1)(x 4x 4)(x 1)(x 2)22 3.3.在证明题中的应用在证明题中的应用例例：求证：多项式(x2 4)(x210 x 21)100的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，
32、它们是完全平方数、绝对值。本题12要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明：(x2 4)(x210 x 21)100(x 2)(x 2)(x 3)(x 7)100(x 2)(x 7)(x 2)(x 3)100(x2 5x 14)(x2 5x 6)100设y x2 5x，则原式 (y 14)(y 6)100 y2 8y 16 (y 4)2无论y取何值都有(y 4)2 0(x2 4)(x210 x 21)100的值一定是非负数 4 4。因式分解中的转化思想因式分解中的转化思想例例：分解因式:(a 2b c)3(a b)3(b c)3分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察 a+b
33、，b+c 与 a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B原式 (A B)3 A3 B3 A3 3A2B 3AB2 B3 A3 B3 3A2B 3AB2 3AB(A B)3(a b)(b c)(a 2b c)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨中考点拨例例 1 1。在ABC中，三边 a,b,c 满足a216b2 c2 6ab 10bc 013求证:a c 2b证明:a216b2 c2 6ab 10bc 0a2 6ab 9b2 c210bc 25b2 0即(a 3b)2(c 5b)2 0(a 8b c)(a
34、2b c)0a b ca 8b c，即a 8b c 0于是有a 2b c 0即a c 2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分.11 2，则x33_xx111解：x33(x)(x21)xxx11(x)(x)2 2 1xx 2 1例例 2.2.已知：x 2说明：利用x212(x)2等式化繁为易.xx21题型展示题型展示 1.若 x 为任意整数,求证:(7 x)(3 x)(4 x2)的值不大于 100。解:(7 x)(3 x)(4 x)100214(x 7)(x 2)(x 3)(x 2)100(x2 5x 14)(x2 5x 6)100(x2 5x)8(x2 5x)1
35、6(x2 5x 4)2 0(7 x)(3 x)(4 x2)100说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100,即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。2.a2(a 1)2(a2 a)2分解因式，并用分解结果计算62 72 422。将解：a2(a 1)2(a2 a)2 a2 a2 2a 1(a2 a)2 2(a2 a)1(a2 a)2(a2 a 1)262 72 422(36 6 1)2 4321849说明：利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟实战模拟1.分解因式：（1）3x510 x48x3 3x210 x 8（2）(a 3
36、a 3)(a 3a 1)522（3）x2 2xy 3y2 3x 5y 2（4）x 7x 63152。已知：x y 6，xy 1，求：x3 y3的值。3.矩形的周长是 28cm，两边 x,y 使x3 x2y xy2 y3 0，求矩形的面积。4。求证：n3 5n是 6 的倍数。(其中 n 为整数）5。已知：a、b、c是非零实数，且111111a2b2c21，a()b()c()3,求 a+b+c 的值。bccaab 6。已知：a、b、c 为三角形的三边，比较a2 b2 c2和4a2b2的大小.16经典三：因式分解练习题精选因式分解练习题精选一、填空：一、填空：（3030 分）分）1、若x 2(m 3
37、)x 16是完全平方式，则的值等于_。2、x x m (x n)则=_=_3、2x y与12x y的公因式是4、若x y=(x y)(x y)(x y)，则 m=_,n=_。5、在多项式3y 5y 15y中，可以用平方差公式分解因式的有_，其结果是 _。6、若x 2(m 3)x 16是完全平方式，则 m=_。7、x (_)x 2 (x 2)(x _)8、已知1 x x x22200422235222326mn2224 x2005 0,则x2006 _.9、若16(a b)M 25是完全平方式 M=_.10、x 6x _(x 3),x _9 (x 3)222211、若9x k y是完全平方式，则
38、 k=_。222212、若x 4x 4的值为 0，则3x 12x 5的值是_.13、若x ax 15 (x 1)(x 15)则=_.21714、若x y 4,x y 6则xy _。22215、方程x 4x 0，的解是_.二、选择题：二、选择题：（1010 分）分）1、多项式 a(a x)(x b)ab(a x)(b x)的公因式是（）A、a、B、a(a x)(x b)C、a(a x)D、a(x a)222、若mx kx 9 (2x 3)，则 m，k 的值分别是（）A、m=2，k=6，B、m=2，k=12,C、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、下列名式:x y,x y,x y,(x)(
39、y),x y中能用平方差公式分解因式的有(）A、1 个，B、2 个，C、3 个，D、4 个4、计算(122222222441111)(1)(1)(1)的值是()232223910A、11111B、,C.,D.2201020三、分解因式三、分解因式:(30:(30 分）分）1、x 2x 35x2、3x 3x3、25(x 2y)4(2y x)2243262184、x2 4xy 1 4y25、x5 x6、x317、ax2bx2bx ax b a8、x418x2819、9x436y210、(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)24四、代数式求值（四、代数式求值（1515 分分)1、已知2x y 14
40、3，xy 2，求2x y3 x3y4的值.2、若 x、y 互为相反数，且(x 2)2(y 1)2 4，求 x、y 的值3、已知a b 2,求(a2b2)28(a2b2)的值五、计算：五、计算：（15)15)（1)0。753.66342.66191(2）22001122000（3）256 85622 244六、试说明：六、试说明：（8 8 分）分）1、对于任意自然数 n，(n 7)(n 5)都能被动 24 整除。2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积.七、利用分解因式计算（七、利用分解因式计算（8 8 分分)1、一种光盘的外D=11。9 厘米
41、，内径的d=3.7 厘米,求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）2、正方形 1 的周长比正方形 2 的周长长 96 厘米，其面积相差 960 平方厘米求这两个正方形的边长。八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述行了描述:甲：这是一个三次四项式乙：三次项系数为 1，常数项为 1。丙:这个多项式前三项有公因式丁:这个多项式分解因式时要用到公式法若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。(4 分）222220经典四：因式分解因式分解一、选择题111、代数式 a3b2a2
42、b3，a3b4a4b3，a4b2a2b4的公因式是（)223 22 2A、a bB、a bC、a2b3D、a3b32、用提提公因式法分解因式 5a（xy)10b（xy），提出的公因式应当为（）A、5a10bB、5a10bC、5(xy）D、yx3、把8m312m24m 分解因式,结果是（）A、4m(2m23m)B、4m(2m23m1)C、4m(2m23m1)D、2m（4m26m2)4、把多项式2x44x2分解因式,其结果是（）A、2（x42x2）B、2（x42x2）C、x2(2x24）D、2x2(x22)5、(2)1998(2)1999等于(）A、21998B、21998C、21999D、219
43、996、把 16x4分解因式，其结果是（）A、(2x）4 B、(4x2）（4x2)C、（4x2)(2x)(2x）D、（2x）3（2x）42247、把 a 2a b b 分解因式，结果是(）A、a2(a22b2)b4 B、(a2b2)2 C、（ab）4 D、（a22b）(ab）18、把多项式 2x22x分解因式，其结果是()21111A、（2x）2B、2(x)2C、（x)2D、2222(x1)2219、若 9a26（k3）a1 是完全平方式，则 k 的值是（）A、4B、2C、3D、4 或 210、（2xy（)2xy）是下列哪个多项式分解因式的结果（）22222222A、4x y B、4x y C
44、、4x y D、4x y11、多项式 x23x54 分解因式为（）A、(x6）(x9）B、(x6)（x9)C、(x6）(x9）D、(x6)(x9）二、填空题1、2x24xy2x=_(x2y1)2、4a3b210a2b3=2a2b2(_)3、(1a）mna1=(_)(mn1)4、m（mn）2（nm)2=(_)（_)5、x2(_)16y2=()26、x2（_）2=（x5y)（x5y)227、a 4(ab)=（_)(_)8、a（xyz)b（xyz）c(xyz)=（xyz)（_）9、16（xy）29（xy)2=（_)（_)10、(ab)3(ab）=(ab)(_)(_）11、x23x2=（_)(_)12
45、、已知 x2px12=(x2)(x6),则 p=_。三、解答题1、把下列各式因式分解。（1)x22x3 (2）3y36y23y（3）a2(x2a)2a(x2a）2（4)（x2)2x222（5）25m210mnn2（6）12a2b（xy）4ab(yx)(7）（x1）2（3x2)（23x)(8)a25a6(9)x211x24 (10）y212y28（11）x24x5（12)y43y328y22、用简便方法计算。(1）9992999（2)202254225635223（3）199719972199619983、已知：xy=12，xy=1。求 x3y2x2y2xy3的值。四、探究创新乐园1、若 ab=
46、2,ac=12,求（bc）23(bc）94的值。2、求证:11111110119=11910924经典五：因式分解练习题因式分解练习题一、填空题：一、填空题：2（a3）（32a）=_(3a)（32a）；12若 m23m2=(ma)(mb)，则 a=_，b=_；2515当 m=_时，x22（m3）x25 是完全平方式二、选择题：1下列各式的因式分解结果中，正确的是 Aa2b7abbb(a27a)B3x2y3xy6y=3y(x2）（x1)C8xyz6x2y22xyz(43xy）D2a24ab6ac2a(a2b3c）2多项式 m（n2)m2（2n）分解因式等于 A(n2)(mm2）B（n2)（mm2
47、）Cm（n2）(m1）Dm（n2)（m1)3在下列等式中,属于因式分解的是 Aa(xy)b(mn）axbmaybnBa22abb21=(ab)21C4a29b2（2a3b)（2a3b)Dx27x8=x（x7)84下列各式中，能用平方差公式分解因式的是26 Aa2b2Ba2b2Ca2b2D（a2)b25若 9x2mxy16y2是一个完全平方式，那么 m 的值是 A12B24C12D126把多项式 an+4an+1分解得 Aan（a4a)Ban-1（a31）Can+1（a1）(a2a1)Dan+1(a1)(a2a1)7若 a2a1，则 a42a33a24a3 的值为 A8 B7C10 D128已知
48、 x2y22x6y10=0，那么 x,y 的值分别为 27Ax=1，y=3Bx=1,y=3C x=1，y=3 D x=1，y=39把(m23m)48(m23m)216 分解因式得 A(m1）4(m2)2B（m1）2(m2）2(m23m2)C(m4）2(m1)2D(m1）2（m2)2（m23m2)210把 x27x60 分解因式，得 A（x10）(x6）B(x5)(x12）C（x3）(x20）D(x5）（x12）11把 3x22xy8y2分解因式，得 A(3x4)(x2）B(3x4)（x2)C（3x4y)（x2y）D(3x4y）（x2y)12把 a28ab33b2分解因式,得 28A（a11）（
49、a3)B(a11b)(a3b)C（a11b)(a3b)D(a11b）(a3b）13把 x43x22 分解因式，得 A（x22)（x21）B（x22）(x1）(x1)C(x22）（x21)D（x22）（x1）（x1）14多项式 x2axbxab 可分解因式为 A(xa)（xb)B(xa)（xb）C(xa）（xb)D（xa)(xb）15一个关于 x 的二次三项式，其 x2项的系数是 1，常数项是12，且能分解因式,这样的二次三项式是 Ax211x12 或 x211x12Bx2x12 或 x2x12Cx24x12 或 x24x12D以上都可以2916 下列各式 x3x2x1，x2yxyx，x22xy
50、21，(x23x)2（2x1)2中，不含有（x1)因式的有 A1 个B2 个C3 个D4 个17把 9x212xy36y2分解因式为 A（x6y3）(x6x3)B(x6y3）（x6y3）C(x6y3)(x6y3）D（x6y3）（x6y3)18下列因式分解错误的是 Aa2bcacab=(ab)（ac）Bab5a3b15=(b5）（a3）Cx23xy2x6y=(x3y)(x2）Dx26xy19y2=（x3y1)（x3y1）19 已知 a2x22xb2是完全平方式,且 a，b 都不为零,则 a与 b 的关系为 30A互为倒数或互为负倒数 B互为相反数C 相等的数 D 任意有理数20对 x44 进行因