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1、 专题十一-因式分解的常用方法-作者:_ -日期:_ 2 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过
2、若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b)=a2-b2-a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(ab)2=a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3-a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3-a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知abc，是ABC的三边
3、，且222abcabbcca，则ABC的形状是（）A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解：222222222222abcabbccaabcabbcca 222()()()0abbccaabc 三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式 例 1、分解因式：bnbmanam 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 3 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=)()(bnbmanam =)()(nmbnma 每组之间还有公因式！=
4、)(banm 例 2、分解因式：bxbyayax5102 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=)5()102(bxbyayax 原式=)510()2(byaybxax =)5()5(2yxbyxa =)2(5)2(baybax =)2)(5(bayx =)5)(2(yxba 练习：分解因式1、bcacaba2 2、1yxxy （二）分组后能直接运用公式 例 3、分解因式：ayaxyx22 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=)()(22ayaxyx =
5、)()(yxayxyx =)(ayxyx 例 4、分解因式：2222cbaba 解：原式=222)2(cbaba =22)(cba =)(cbacba 练习：分解因式3、yyxx3922 4、yzzyx2222 综合练习：（1）3223yxyyxx （2）baaxbxbxax22（3）181696222aayxyx（4）abbaba4912622（5）92234aaa （6）ybxbyaxa222244（7）222yyzxzxyx （8）122222abbbaa 4（9）)1)(1()2(mmyy （10）)2()(abbcaca（11）abcbaccabcba2)()()(222（12）ab
6、ccba3333 四、十字相乘法.（一）二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知 0a5，且a为整数，若223xxa能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三项 式 ax2+bx+c，都要求24bac 0 而且是一个完全平方数。于是9 8a 为完全平方数，1a 例 5、分解因式：652 xx 分析：将 6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(
7、-6)，从中可以发现只有 23的分解适合，即 2+3=5。1 2 解：652 xx=32)32(2xx 1 3 =)3)(2(xx 1 2+13=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式：672 xx 解：原式=)6)(1()6()1(2xx 1 -1 =)6)(1(xx 1 -6 （-1）+（-6）=-7 5 练习 5、分解因式(1)24142xx (2)36152aa (3)542 xx 练习 6、分解因式(1)22 xx (2)1522yy (3)24102xx （二）二次项系数不为 1 的二次三项式cbxax2 条
8、件：（1）21aaa 1a 1c（2）21ccc 2a 2c（3）1221cacab 1221cacab 分解结果：cbxax2=)(2211cxacxa 例 7、分解因式：101132xx 分析：1 -2 3 -5 （-6）+（-5）=-11 解：101132xx=)53)(2(xx 练习 7、分解因式：（1）6752 xx （2）2732 xx （3）317102xx （4）101162yy （三）二次项系数为 1 的齐次多项式 例 8、分解因式：221288baba 分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b 1 -16b 8b+(-16b)=
9、-8b 解：221288baba=)16(8)16(82bbabba =)16)(8(baba 练习 8、分解因式(1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba （四）二次项系数不为 1 的齐次多项式 6 例 9、22672yxyx 例 10、2322 xyyx 1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)=-7y (-1)+(-2)=-3 解：原式=)32)(2(yxyx 解：原式=)2)(1(xyxy 练习 9、分解因式：（1）224715yxyx （2）8622 axxa 综合练习 10、（1）17836 xx （2）22151
10、112yxyx（3）10)(3)(2yxyx （4）344)(2baba（5）222265xyxyx （6）2634422nmnmnm（7）3424422yxyxyx（8）2222)(10)(23)(5bababa（9）10364422yyxxyx（10）2222)(2)(11)(12yxyxyx 思考：分解因式：abcxcbaabcx)(2222 五、换元法。例 13、分解因式（1）2005)12005(200522xx （2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx 解：（1）设 2005=a，则原式=axaax)1(22 =)(1(axax =)2005)(12005(xx（2）型如eabc
11、d 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=222)65)(67(xxxxx 设Axx652，则xAxx2672 原式=2)2(xAxA=222xAxA =2)(xA=22)66(xx 练习 13、分解因式（1）)(4)(22222yxxyyxyx（2）90)384)(23(22xxxx （3）222222)3(4)5()1(aaa 例 14、分解因式（1）262234xxxx 7 观察：此多项式的特点是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=)1162(2
12、22xxxxx=6)1()1(2222xxxxx 设txx1，则21222txx 原式=6)2222ttx（=10222ttx =2522ttx=215222xxxxx =21522xxxxxx=1225222xxxx =)2)(12()1(2xxx（2）144234xxxx 解：原式=22241(41)xxxxx=1141222xxxxx 设yxx1，则21222yxx 原式=22(43)xyy=2(1)(3)xyy =)31)(11(2xxxxx=13122xxxx 练习 14、（1）673676234xxxx（2）)(2122234xxxxx 六、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（
13、1）4323 xx 解法 1拆项。解法 2添项。原式=33123xx 原式=444323xxxx=)1)(1(3)1)(1(2xxxxx =)44()43(2xxxx =)331)(1(2xxxx =)1(4)4)(1(xxxx=)44)(1(2xxx =)44)(1(2xxx=2)2)(1(xx =2)2)(1(xx （2）3369xxx 解：原式=)1()1()1(369xxx 8=)1()1)(1()1)(1(333363xxxxxx=)111)(1(3363xxxx=)32)(1)(1(362xxxxx 练习 15、分解因式（1）893 xx （2）4224)1()1()1(xxx（3
14、）1724 xx （4）22412aaxxx（5）444)(yxyx （6）444222222222cbacbcaba 七、待定系数法。例 16、分解因式613622yxyxyx 分析：原式的前 3 项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx，则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx 解：设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622 613622yxyxyx=mnymnxnmyxyx)23()(622 对比左右两边相同项的系数可得613231mnmnnm，解得32nm 原式=)32)(23(yxyx 例 17、（
15、1）当m为何值时，多项式6522ymxyx能分解因式，并分解此多项式。（2）如果823bxaxx有两个因式为1x和2x，求ba的值。（1）分析：前两项可以分解为)(yxyx，故此多项式分解的形式必为)(byxayx 解：设6522ymxyx=)(byxayx 则6522ymxyx=abyabxbayx)()(22 比较对应的系数可得：65ababmba，解得：132mba或132mba 当1m时，原多项式可以分解；当1m时，原式=)3)(2(yxyx；9 当1m时，原式=)3)(2(yxyx （2）分析：823bxaxx是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如cx 的
16、一次二项式。解：设823bxaxx=)(2)(1(cxxx 则823bxaxx=cxcxcx2)32()3(23 82323ccbca 解得4147cba，ba=21 练习 17、（1）分解因式2910322yxyxyx（2）分解因式6752322yxyxyx（3）已知：pyxyxyx1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。（4）k为何值时，253222yxkyxyx能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：习题大全 经典一：一、填空题 1.把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做把这个多项式分解因式。2 分解因式：m3-4m=.3.分解因式：x2-4y2=_
17、 _.4、分解因式：244xx=_ _。5.将 xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则 n 的值为 .10 6、若5,6xyxy，则22x yxy=_，2222xy=_。二、选择题 7、多项式3222315520m nm nm n的公因式是()A、5mn B、225m n C、25m n D、25mn 8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()A、2339aaa B、22ababab C、24545aaa a D、23232mmm mm 10.下列多项式能分解因式的是（）(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+4 11把（xy）2
18、（yx）分解因式为（）A（xy）（xy1）B（yx）（xy1）C（yx）（yx1）D（yx）（yx1）12下列各个分解因式中正确的是（）A10ab2c6ac22ac2ac（5b23c）B（ab）2（ba）2（ab）2（ab1）Cx（bca）y（abc）abc（bca）（xy1）D（a2b）（3ab）5（2ba）2（a2b）（11b2a）11 13.若 k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么 k 应为（）A.2 B.4 C.2y2 D.4y2 三、把下列各式分解因式：14、nxny 15、2294nm 16、m mnn nm 17、3222aa bab 18、222416xx 19、22)(
19、16)(9nmnm；五、解答题 20、如图，在一块边长a=6.67cm 的正方形纸片中，挖去一个边长b=3.33cm 的正方形。求纸片剩余部分的面积。12 21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径45dcm，外径75Dcm，长3lm。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？(取 3.14，结果保留 2 位有效数字)22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。24284216842(1)111(2)1111(3)11111(4)111111(5)_xxxxxxxxxxxxxxxxxx 经典二：因式分解小结 知识总结归纳 l d D 13 因式
20、分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1.因式分解的对象是多项式；2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7.因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，
21、分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。1.通过基本思路达到分解多项式的目的 例 1.分解因式xxxxx54321 14 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把xxxxx54321和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把xx54，xx32，x 1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式()()xxxxx54321 xxxxxxxxxxxxx32232221111111()()(
22、)()()()()解二：原式=()()()xxxxx54321 xxxxxxxxxxxxxxxxx4244222211111121111()()()()()()()()()()2.通过变形达到分解的目的 例 1.分解因式xx3234 解一：将32x拆成222xx，则有 原式 xxxxxxxxxxxx322222242222212()()()()()()()()解二：将常数4拆成 13，则有 原式 xxxxxxxxxxxx32222133111 3314412()()()()()()()()()15 3.在证明题中的应用 例：求证：多项式()()xxx2241021100的值一定是非负数 分析：
23、现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明：()()xxx2241021100 ()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxx223710027231005145610022 设yxx25，则 原式无论 取何值都有的值一定是非负数()()()()()()yyyyyyyxxx1461008164404102110022222 4.因式分解中的转化思想 例：分解因式：()()()abcabbc2333 分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察 a+b，b+c 与a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。
24、解：设 a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 原式()()()()()ABABAA BABBABA BABAB ABab bc abc333322333223333332 16 说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨 例 1.在ABC中，三边 a,b,c 满足abcabbc222166100 求证：acb 2 证明：abcabbc222166100 aabbcbcbabcbabc abcabcabcabcabcacb2222226910250350820880202即，即于是有即()()()()说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题
25、不能丢分。例 2.已知：xxxx12133，则_ 解：xxxxxx3321111()()()()xxxx11212122 17 说明：利用xxxx222112()等式化繁为易。题型展示 1.若 x 为任意整数，求证：()()()7342xxx的值不大于 100。解：100)4)(3)(7(2xxx ()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxxxxxx723210051456100585165407341002222222 说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于 100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种
26、常用的方法。2.将aaaa222222216742()()分解因式，并用分解结果计算。解：aaaa22221()()aaaaaaaaaaa22222222221211()()()()6742366143184922222()说明：利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟 18 1.分解因式：（）（）131083108233315543222xxxxxaaaa()()（）（）323352476223xxyyxyxx 2.已知：xyxyxy 6133，求：的值。3.矩形的周长是 28cm，两边 x,y 使xx yxyy32230，求矩形的面积。4.求证：nn35是 6 的倍数。（其中 n 为整数）5
27、.已知：a、b、c 是非零实数，且abcabcbcacab22211111113，()()()，求 a+b+c 的值。19 6.已知：a、b、c 为三角形的三边，比较abca b222224和的大小。经典三：因式分解练习题精选 一、填空：（30分）1、若16)3(22xmx是完全平方式，则m的值等于_。2、22)(nxmxx则m=_n=_ 3、232yx与yx612的公因式是 4、若nmyx=)()(4222yxyxyx，则 m=_，n=_。5、在多项式2353515yyy中，可以用平方差公式分解因式的 有_，其结果是 _。6、若16)3(22xmx是完全平方式，则 m=_。20 7、_)(2
28、(2(_)2xxxx 8、已知,01200520042xxxx则._2006x 9、若25)(162Mba是完全平方式 M=_。10、22)3(_6xxx，22)3(9_xx 11、若229ykx是完全平方式，则k=_。12、若442 xx的值为 0，则51232xx的值是_。13、若)15)(1(152xxaxx则a=_。14、若6,422yxyx则xy_。15、方程042 xx，的解是_。二、选择题：（10 分）1、多项式)()(xbxaabbxxaa的公因式是（）A、a、B、)(bxxaa C、)(xaa D、)(axa 2、若22)32(9xkxmx，则 m，k 的值分别是（）A、m=
29、2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、D m=4，k=12、21 3、下列名式：4422222222,)()(,yxyxyxyxyx中能用平方差公 式分解因式的有（）A、1 个，B、2 个，C、3 个，D、4个 4、计算)1011)(911()311)(211(2232的值是（）A、21 B、2011.,101.,201DC 三、分解因式：（30分）1、234352xxx 2、2633xx 3、22)2(4)2(25xyyx 4、22414yxyx 5、xx 5 6、13x 7、2axabaxbxbx2 8、811824xx 9、24369yx 22 10、24)4)(3)(
30、2)(1(xxxx 四、代数式求值（15分）1、已知312 yx，2xy，求 43342yxyx的值。2、若 x、y互为相反数，且4)1()2(22yx，求 x、y的值 3、已知2ba，求)(8)(22222baba的值 五、计算：（15）（1）0.7566.24366.3 （2）200020012121 （3）2244222568562 六、试说明：（8 分）1、对于任意自然数 n，22)5()7(nn都能被动 24 整除。2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。23 七、利用分解因式计算（8 分）1、一种光盘的外 D=11.9 厘米，内
31、径的 d=3.7 厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）2、正方形 1 的周长比正方形 2的周长长 96 厘米，其面积相差 960 平方厘米求这两个正方形的边长。八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：甲：这是一个三次四项式 乙：三次项系数为 1，常数项为 1。丙：这个多项式前三项有公因式 丁：这个多项式分解因式时要用到公式法 若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。（4 分）经典四：24 因式分解 一、选择题 1、代数式 a3b221a2b3,21a3b4a4b3,a4b2a2b4的公因式是（）A、a3b2 B、a2
32、b2 C、a2b3 D、a3b3 2、用提提公因式法分解因式 5a(xy)10b(xy)，提出的公因式应当为（）A、5a10b B、5a10b C、5(xy)D、yx 3、把8m312m24m 分解因式，结果是（）A、4m(2m23m)B、4m(2m23m1)C、4m(2m23m1)D、2m(4m26m2)4、把多项式2x44x2分解因式，其结果是（）A、2(x42x2)B、2(x42x2)C、x2(2x24)D、2x2(x22)5、（2）1998（2）1999等于（）A、21998 B、21998 C、21999 D、21999 6、把 16x4分解因式，其结果是（）A、(2x)4 B、(4
33、x2)(4x2)C、(4x2)(2x)(2x)D、(2x)3(2x)25 7、把 a42a2b2b4分解因式，结果是（）A、a2(a22b2)b4 B、(a2b2)2 C、(ab)4 D、(ab)2(ab)2 8、把多项式 2x22x21分解因式，其结果是（）A、(2x21)2 B、2(x21)2 C、(x21)2 D、21(x1)2 9、若 9a26(k3)a1 是完全平方式，则 k 的值是（）A、4 B、2 C、3 D、4 或 2 10、（2xy）(2xy)是下列哪个多项式分解因式的结果（）A、4x2y2 B、4x2y2 C、4x2y2 D、4x2y2 11、多项式 x23x54 分解因式为（）A、(x6)(x9)B、(x6)(x9)C、(x6)(x9)D、(x6)(x9)二、填空题 1、2x24xy2x=_(x2y1)2、4a3b210a2b3=2a2b2(_)3、(1a)mna1=(_)(mn1)