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1、第 1 页（共 19 页）2016-2017 学年重庆市南开中学高三（上）7 月月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分 1已知 A=x|2x1，B=x|y=，则 A B=（）A 2，0）B 2，0 C（0，+）D 2，+）2命题“若 x0，则 x20”的否命题是（）A若 x0，则 x20 B若 x20，则 x0 C若 x0，则 x20 D若 x20，则 x0 3抛物线 y2=4x 的准线方程为（）Ax=1 Bx=1 Cy=1 Dy=1 4已知正数 x，y 满足：x+2y=1，则+的最小值为（）A6 B7 C8 D9 5已知 f（1+）=x+1，则 f（2）=（）A1
2、B2 C3 D4 6以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）Af（x）=+g（x）=Bf（x）=g（x）=（）3 Cf（x）=g（x）=Df（x）=g（x）=x0 7已知变量 x，y 满足，则的取值范围为（）A 0，B 0，+）C（，D，0 8在区间 0，2 内任取两个实数 a，b，则方程 x2ax+b=0 有两根 x1，x2，且 x11x2的概率为（）A B C D 9已知正实数 x，y 满足 xy=x+2y+6，则+的最小值为（）A B C D 10已知关于 x 的方程 ax2+x+3a+1=0，在（0，3 上有根，则实数 a 的取值范围为（）A（，B，C 3，2 D（3，2 11对于实
3、数 a、b，定义运算“”：ab=，设 f（x）=（2x3）（x3），且关于 x 的方程 f（x）=k（kR）恰有三个互不相同的实根 x1、x2、x3，则 x1 x2 x3取值范围为（）第 2 页（共 19 页）A（0，3）B（1，0）C（，0）D（3，0）12已知函数 f（x）=x33x2+（33a2）x+b（a1，bR）当 x 0，2 时，记|f（x）|的最大值为|f（x）|max，对任意的 a1，bR，|f（x）|maxk 恒成立则实数 k 的最大值为（）A1 B2 C3 D4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 13已知函数 f（x）定义域为 0，8，则函数 g（x）=的定义域
4、为 0，3）（3，4 14已知函数 f（x）=2x+1，若 f1（x）=f（x），fn+1（x）=f fn（x），nN*则 f5（x）的表达式为 32x+31 15变量 x，y 满足，若目标函数 z=axy 仅在（4，1）点处取得最大值，则实数 a 的取值范围是（1，+）16已知函数 f（x）=x2+k任取实数 a，b，c 1，1，以 f（a），f（b），f（c）为三边长可以构成三角形，则实数 k 的取值范围为（42，2）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知函数 f（x）=（1）解关于 x 的不等式：f（x）1；（2）若 x（1，3），求函数 f（x）的值域 18已知函
5、数 f（x）=lg（ex+a）（1）若函数 f（x）定义域为 R，求实数 a 的取值范围；（2）若函数 f（x）值域为 R，求实数 a 的取值范围 19如图，四棱锥 MABCD 中，底面 ABCD 为矩形，MD平面 ABCD，且 MD=DA=1，E 为 MA 中点（1）求证：DEMB；（2）若 DC=2，求二面角 BDEC 的余弦值 20已知椭圆 C：+=1（ab0）的长轴长为 4，离心率为，右焦点为 F 第 3 页（共 19 页）（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 l 与椭圆 C 相切于点 P（不为椭圆 C 的左、右顶点），直线 l 与直线 x=2 交于点 A，直线 l 与直线 x=2 交
6、于点 B，请问AFB 是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明 21已知函数 f（x）=+b 的图象在点 P（0，f（0）处的切线为 y=x（1）求函数 f（x）的解析式；（2）若关于 x 的方程 f（x）=k 有两个不等实根 x1，x2，求实数 k 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若 x0=，求证：f（x0）0 请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22如图，圆 C 与圆 D 半径分别为 r1，r2，相交于 A，B 两点，直线 l1过点 A，分别交圆 C、圆 D 于点 M、N（M、N 在 A 的异侧），直线 l2过点 B，分别交圆 C、圆 D
7、 于点 P，Q（P、Q 在 B 的异侧），且 l1平行于 l2，点 C，D 在 l1与 l2之间（1）求证：四边形 MNQP 为平行四边形；（2）若四边形 MABP 面积与四边形 NABQ 面积相等，求证：线段 AB 与线段 IJ 互相平分 23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（为参数），以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为：sin（+）=1直线l 与曲线 C 相交于点 A，B（1）求直线 l 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与 y 轴交于点 P，求|PB|PA|24已知函数 f（x）=|xa|+|x+1|（1）若 a=2，解不等式：
8、f（x）5；（2）若 f（x）4|a1|对任意的实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 4 页（共 19 页）2016-2017 学年重庆市南开中学高三（上）7 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分 1已知 A=x|2x1，B=x|y=，则 A B=（）A 2，0）B 2，0 C（0，+）D 2，+）【考点】交集及其运算【分析】求出集合 A，B，根据集合的基本运算，即可得到结论【解答】解：A=x|2x1=x|x0=（，0），B=x|y=2，+）A B=2，0），故选：A 2命题“若 x0，则 x20”的否命题是（）A若 x0，则 x20
9、 B若 x20，则 x0 C若 x0，则 x20 D若 x20，则 x0【考点】四种命题【分析】命题的否命题是否定题设又否定结论，从而得到答案【解答】解：命题“若 x0，则 x20”的否命题是：若 x0，则 x20，故选：C 3抛物线 y2=4x 的准线方程为（）Ax=1 Bx=1 Cy=1 Dy=1【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的基本性质，能求出抛物线 y2=4x 的准线方程【解答】解：y2=4x，2p=4，p=2，抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=1 故选 A 4已知正数 x，y 满足：x+2y=1，则+的最小值为（）A6 B7 C8 D9【考点】基本不等式【分析】利用“乘
10、 1 法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：2x+y=1，x0，y0，+=（+）（2x+y）=当且仅当 x=y=时取等号+的最小值是 9 第 5 页（共 19 页）故选：D 5已知 f（1+）=x+1，则 f（2）=（）A1 B2 C3 D4【考点】函数的值【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可【解答】解：f（1+）=x+1，则 f（2）=f（1+）=1+1=2 故选：B 6以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）Af（x）=+g（x）=Bf（x）=g（x）=（）3 Cf（x）=g（x）=Df（x）=g（x）=x0【考点】判断两个函数是否为同一函数【分析】判断两个函数是否为同一函数
11、，应判定它们的定义域、值域以及对应关系是否相同，三方面都相同时是同一函数【解答】解：A 中 f（x）的定义域是 x|x=1，g（x）的定义域是 x|x=1，且对应关系相同，是同一函数；B 中 f（x），h（x）的定义域是 R，且对应关系相同，是同一函数；C 中 f（x）的定义域是 x|x1，g（x）的定义域是 x|x1，或 x3，不是同一函数；D 中 f（x）与 g（x）的定义域都是 x|x0，值域都是 1，对应关系相同，是同一函数；故选：C 7已知变量 x，y 满足，则的取值范围为（）A 0，B 0，+）C（，D，0 【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，利用所求表达式的几何意义
12、求解即可【解答】解：不等式表示的平面区域为如图所示ABC，设 Q（3，0）平面区域内动点 P（x，y），则=kPQ，当 P 为点 A 时斜率最大，A（0，0），C（0，2）当 P 为点 C 时斜率最小，所以，0 故选：D 第 6 页（共 19 页）8在区间 0，2 内任取两个实数 a，b，则方程 x2ax+b=0 有两根 x1，x2，且 x11x2的概率为（）A B C D【考点】几何概型【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（a，b）对应图形的面积，及满足条件“方程 x2ax+b=0 有两根 x1，x2，且 x11x2”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求
13、解【解答】解：设 f（x）=x2ax+b，方程 x2ax+b=0 有两根 x1，x2，且 x11x2，f（1）=1a+b0，在区间 0，2 内任取两个实数 a，b，0a2，0b2，作出区域，如图所示 正方形的面积为 4，阴影部分的面积为=，所求的概率为=，故选：C 第 7 页（共 19 页）9已知正实数 x，y 满足 xy=x+2y+6，则+的最小值为（）A B C D【考点】基本不等式【分析】首先左边是 xy 的形式右边是 2x+y 和常数的和的形式，考虑把右边也转化成 xy 的形式，使形式统一可以猜想到应用基本不等式，转化后变成关于 xy 的方程，可把 xy 看成整体换元后求最小值，再根据
14、基本不等式即可求出+的最小值【解答】解：由条件利用基本不等式可得 xy=2x+y+62+6，令 xy=t2，即 t=0，可得 t22t60 即得到（t3）（t+）0，可解得 t或 t3 又注意到 t0，故解为 t3，3，+2=2=，故选：C 10已知关于 x 的方程 ax2+x+3a+1=0，在（0，3 上有根，则实数 a 的取值范围为（）A（，B，C 3，2 D（3，2 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】讨论方程类型和方程在（0，3 上的根的个数，利用二次函数的性质列出不等式解出【解答】解：当 a=0 时，方程 x+1=0 的零点为1，不符合题意，a0（1）若方程在（0，3 有一个根，
15、若 3 为方程的根，则 12a+4=0，解得 a=，若 3 不是方程的根，则或 第 8 页（共 19 页）解得 a=或无解（2）若方程在（0，3 上有两个根，则，解得：x，综上，a 的范围是，故选 B 11对于实数 a、b，定义运算“”：ab=，设 f（x）=（2x3）（x3），且关于 x 的方程 f（x）=k（kR）恰有三个互不相同的实根 x1、x2、x3，则 x1 x2 x3取值范围为（）A（0，3）B（1，0）C（，0）D（3，0）【考点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系【分析】根据定义求出 f（x）解析式，画出图象，判断即可【解答】解：ab=，f（x）=（2x3）（x3）=，其图象
16、如下图所示：由图可得：x1=k，x2 x3=k，第 9 页（共 19 页）故 x1 x2 x3=k2，k（0，3），x1 x2 x3（3，0），故选：D 12已知函数 f（x）=x33x2+（33a2）x+b（a1，bR）当 x 0，2 时，记|f（x）|的最大值为|f（x）|max，对任意的 a1，bR，|f（x）|maxk 恒成立则实数 k 的最大值为（）A1 B2 C3 D4【考点】函数恒成立问题【分析】求出 f（x）的导数，分解因式，可得区间 0，2 为减区间，可得 f（x）的最值，由绝对值不等式的性质，结合二次函数的最值求法，可得 k 的范围，进而得到 k 的最大值 【解答】解：函数
17、 f（x）=x33x2+（33a2）x+b 的导数为 f（x）=3x26x+33a2=3（x1+a）（x1a），由 a1，可得 1+a2，1a0，则区间 0，2 为减区间，可得 f（x）的最小值为 f（0）=b，最大值为 f（2）=b+26a2，对任意的 a1，bR，|f（x）|maxk 恒成立，可得 k|b|，k|b+26a2|，即为 2k|b|+|b+26a2|，由|b|+|b+26a2|bb2+6a2|=|6a22|4，可得 2k4，即 k2，则 k 的最大值为 2 故选：B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 13已知函数 f（x）定义域为 0，8，则函数 g（x）=的定义域
18、为 0，3）（3，4 【考点】函数的定义域及其求法【分析】题目给出了函数 y=f（x）的定义域，只要让 2x 在函数 f（x）的定义域内，且 x3，求解 x 的范围即可【解答】解：f（x）定义域为 0，8，02x8，即 0 x4，f（2x）的定义域为 0，4，g（x）=，3x0，解得 x3，故函数 g（x）=的定义域为 0，3）（3，4，故答案为：0，3）（3，4 第 10 页（共 19 页）14已知函数 f（x）=2x+1，若 f1（x）=f（x），fn+1（x）=f fn（x），nN*则 f5（x）的表达式为 32x+31 【考点】数列与函数的综合【分析】由条件利用用代入法求得函数的解析式
19、【解答】解：由题意可得 f1（x）=f（x）=2x+1，f2（x）=f f1（x）=2（2x+1）+1=4x+3，f3（x）=f f2（x）=2（4x+3）+1=8x+7，f4（x）=f f3（x）=2（8x+7）+1=16x+15，f5（x）=f f4（x）=2（16x+15）+1=32x+31，故答案为：32x+31 15变量 x，y 满足，若目标函数 z=axy 仅在（4，1）点处取得最大值，则实数 a 的取值范围是（1，+）【考点】简单线性规划【分析】画出满足条件的平面区域，平移关于目标函数的直线，结合图象求出 a 的范围即可 【解答】解：画出满足线性约束条件的平面区域，如图示：，由目
20、标函数 z=axy 得：y=axz，而直线 xy3=0 的斜率是 1，2x+y9=0 的斜率是2，若直线仅在（4，1）处取得最大值，只需 a1，则实数 a 的取值范围是（1，+），故答案为：（1，+）16已知函数 f（x）=x2+k任取实数 a，b，c 1，1，以 f（a），f（b），f（c）为三边长可以构成三角形，则实数 k 的取值范围为（42，2）第 11 页（共 19 页）【考点】函数与方程的综合运用；函数的值【分析】利用换元法求出 f（x）的最值，令 2fmin（x）fmax（x）解出 a 的范围【解答】解：设 f（x）的最小值为 m，f（x）的最大值为 M，取实数 a，b，c 1，1
21、，以 f（a），f（b），f（c）为三边长可以构成三角形，2mM 令=t，则 0t1，x2=1t2 x2+k=t2+kt+1，令 g（t）=t2+kt+1=（t）2+1，（1）若0 即 k0，则 g（t）在 0，1 上单调递减，m=g（1）=k，M=g（0）=1，2k1，解得 k，舍去（2）若即 k2，则 g（t）在 0，1 上单调递增，m=g（0）=1，M=g（1）=k，2k，即 k2，舍去（3）若 0，即 0k1，则 g（t）在 0，上单调递增，在，1 上单调递减，m=g（1）=k，M=g（）=，2k，解得 42k4+2 42k1（4）若1 即 1k2，则 g（t）在 0，上单调递增，在，
22、1 上单调递减，m=g（0）=1，M=g（）=2，解得2k2，1k2 综上，k 的取值范围是（42，2）故答案为（42，2）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知函数 f（x）=（1）解关于 x 的不等式：f（x）1；（2）若 x（1，3），求函数 f（x）的值域【考点】绝对值不等式的解法 第 12 页（共 19 页）【分析】（1）问题转化为（x23x+2）（x+1）0，解出即可；（2）设 x+1=t（2，4），换元得到=t+4，求出其范围即可【解答】解：（1）1，0，即（x23x+2）（x+1）0，解得：1x1 或 x2；（2）x（1，3），设 x+1=t（2，4），则
23、 x=t1，=t+4 24，）18已知函数 f（x）=lg（ex+a）（1）若函数 f（x）定义域为 R，求实数 a 的取值范围；（2）若函数 f（x）值域为 R，求实数 a 的取值范围【考点】对数函数的图象与性质【分析】（1）由 ex+a0，可得 aex+，求出右边的最小值，即可求实数 a 的取值范围；（2）函数 f（x）值域为 R，则 ex+a 能取遍一切正实数，可求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）由 ex+a0，可得 aex+，xR，ex+2，a2；（2）函数 f（x）值域为 R，第 13 页（共 19 页）则 ex+a 能取遍一切正实数，2a0，a2 19如图，四棱锥 MABCD
24、 中，底面 ABCD 为矩形，MD平面 ABCD，且 MD=DA=1，E 为 MA 中点（1）求证：DEMB；（2）若 DC=2，求二面角 BDEC 的余弦值 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质【分析】（1）以 D 为原点距离坐标系，求出，的坐标，可通过计算=0 得出 DEBM；（2）分别求出两平面的法向量，计算法向量 夹角，即可得出二面角的大小【解答】证明：（1）以 D 为坐标原点，以 DA，DC，DM 为坐标轴建立空间直角坐标系 Dxyz，如图所示：设 DC=a，则 D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，a，0），M（0，0，1），E（，0，），=（，0，），=（1，
25、a，1）=+0（a）+=0，DEBM（2）当 DC=2 时，=（，2，），=（，0，），=（0，2，0），设平面 BDE 的法向量为=（x1，y1，z1），平面 CDE 的法向量为=（x2，y2，z2），则，即，令 x1=1 得=（1，1），令 x2=1 得=（1，0，1）cos=第 14 页（共 19 页）二面角 BDEC 的余弦值为 20已知椭圆 C：+=1（ab0）的长轴长为 4，离心率为，右焦点为 F（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 l 与椭圆 C 相切于点 P（不为椭圆 C 的左、右顶点），直线 l 与直线 x=2 交于点 A，直线 l 与直线 x=2 交于点 B，请问AFB 是
26、否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）由 2a=4，离心率 e=，b=即可求得 a 和 b，即可求得椭圆 C的方程；（2）l 的斜率为 0 时，AFB 为直角，则AFB 为定值，当斜率不为 0 时，将切点代入椭圆方程，求得交点坐标，求得 AF 和 BF 的斜率 kAF及 kBF，即可求得 kAF kBF=1，即可求得AFB 为定值【解答】解：（1）2a=4，即 a=2，e=，c=，b=1，椭圆方程为：，（2）证明：当 l 的斜率为 0 时，AFB 为直角，则AFB 为定值，为，当斜率不为 0 时，设切点为 P（x0，y0），则 l：
27、，A（2，），B（2，），第 15 页（共 19 页）kAF kBF=1，AFB 为定值 21已知函数 f（x）=+b 的图象在点 P（0，f（0）处的切线为 y=x（1）求函数 f（x）的解析式；（2）若关于 x 的方程 f（x）=k 有两个不等实根 x1，x2，求实数 k 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若 x0=，求证：f（x0）0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求导数，利用函数 f（x）=+b 的图象在点 P（0，f（0）处的切线为 y=x，求出 a，b，即可求函数 f（x）的解析式；（2）确定函数 f（x）的最大值为 f（1）=，x+，f（x）0，x ，x0，
28、利用关于 x 的方程 f（x）=k 有两个不等实根 x1，x2，即可求实数 k 的取值范围；（3）不妨设 0 x11x2，先证明 f（1+t）f（1t），对 t（0，1）恒成立，再利用 x1，f（x）0，函数 f（x）单调递减，即可证明结论【解答】（1）解：由题意，f（x）=，函数 f（x）=+b 的图象在点 P（0，f（0）处的切线为 y=x，f（0）=b=0，f（0）=a=1，f（x）=；（2）解：由（1）f（x）=，x1，f（x）0，函数 f（x）单调递增；x1，f（x）0，函数 f（x）单调递减，函数 f（x）的最大值为 f（1）=，x+，f（x）0，x ，x0，关于 x 的方程 f（
29、x）=k 有两个不等实根 x1，x2，0k；（3）证明：不妨设 0 x11x2，先证明 f（1+t）f（1t），对 t（0，1）恒成立，只要证明（1+t）e（1+t）（1t）e（1t），只要证明 ln（1+t）ln（1t）2t0 令 g（t）=ln（1+t）ln（1t）2t，t（0，1）第 16 页（共 19 页）则 g（t）=0，g（t）在（0，1）上单调递增，g（t）g（0）=0 0 x11x2，2x11，f（x2）=f（x1）f（2x1），x1，f（x）0，函数 f（x）单调递减，x22x1，x1+x22，x0=1，f（x0）0 请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，
30、则按所做的第一题计分 22如图，圆 C 与圆 D 半径分别为 r1，r2，相交于 A，B 两点，直线 l1过点 A，分别交圆 C、圆 D 于点 M、N（M、N 在 A 的异侧），直线 l2过点 B，分别交圆 C、圆 D 于点 P，Q（P、Q 在 B 的异侧），且 l1平行于 l2，点 C，D 在 l1与 l2之间（1）求证：四边形 MNQP 为平行四边形；（2）若四边形 MABP 面积与四边形 NABQ 面积相等，求证：线段 AB 与线段 IJ 互相平分 【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）证明两组对边分别平行，即可证明四边形 MNQP 为平行四边形；（2）证明 MBAQ，PABN，可得四
31、边形 AIBJ 为平行四边形，即可证明：线段 AB 与线段 IJ 互相平分【解答】证明：（1）由题意可知四边形 MABP，NABQ 均为等腰梯形，PMA=ABQ=BQN，PMA+ANQ=BQN+ANQ=180，PMQN，又MNPQ，四边形 MNQP 是平行四边形；（2）SMABP=SNABQ，PB+MA=BQ+AN，又MN=PQ，MA=BQ，MABQ，第 17 页（共 19 页）四边形 MAQB 为平行四边形，MBAQ，同理可得 PABN，四边形 AIBJ 为平行四边形，线段 AB 与线段 IJ 互相平分 23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（为参数），以原点 O 为极点，x
32、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为：sin（+）=1直线l 与曲线 C 相交于点 A，B（1）求直线 l 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与 y 轴交于点 P，求|PB|PA|【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）直线 l 的极坐标方程为：sin（+）=1，展开为：（sin+cos）=1，利用互化公式可得直角坐标方程（2）曲线 C 的参数方程为（为参数），利用平方关系消去参数化为普通方程把直线 l 的参数方程，代入椭圆方程可得：2t2+6t+3=0，利用|PB|PA|=|t1t2|即可得出【解答】解：（1）直线 l 的极坐标方程为：sin（+）=1，展开为：（sin+
33、cos）=1，可得直角坐标方程：x+y=0（2）曲线 C 的参数方程为（为参数），消去参数化为：+y2=1 直线 l 的参数方程为：，（t 为参数）代入椭圆方程可得：2t2+6t+3=0，t1t2=第 18 页（共 19 页）|PB|PA|=|t1t2|=24已知函数 f（x）=|xa|+|x+1|（1）若 a=2，解不等式：f（x）5；（2）若 f（x）4|a1|对任意的实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题【分析】（1）若 a=2，f（x）=|x2|+|x+1|5，分类讨论求得它的解集（2）利用绝对值三角不等式求得 f（x）的最小值为|a+1|，可得|a+1|4|a1|，由此求得 a 的范围【解答】解：（1）若 a=2，f（x）=|x2|+|x+1|5 或或，解得 x（2，3）；（2）f（x）4|a1|对任意的实数 x 恒成立，f（x）=|xa|+|x+1|xax1|=|a+1|4|a1|或或 a2 或 a2 a（，2 2，+）第 19 页（共 19 页）2016 年 10 月 10 日