《2021-2022学年江苏省某中学高二（下）期末数学试卷（附答案详解）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年江苏省某中学高二（下）期末数学试卷（附答案详解）.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021-2022学年江苏省宿迁中学高二(下)期末数学试卷一、单选题(本大题共8 小题，共 40.0分)1.已知集合A =x|x-2|W 3 ,B=x|log3x 0,丫 0满足工+丫 =；9/,则x+4y的最小值为()A.8 B.9 C.7 D.105.某射手每次射击击中目标的概率固定，他 准 备 进 行6 N*)次射击，设击中目标的次数为X,已知P(X =1)=P(X =n-1),且E(X)=8,则D(X)=()A.B.1 C.2 D.46.已知函数f 彳1,若对于任意的实数%,不等式f(%-a)4/(7+X.N ，f x 0)在呢4上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是()A r 1
2、7 201 口 /1 7 2 0i 0,17 20、17 20、A.B.(一？,一季 C.(-y-y)D.一3,一三)8.设a =e 02 1,b=2(e001 1),c=sinO.Ol+ta nO.O l,则()A.a b c B.a c b C.c a b D.b c a二、多选题(本大题共4 小题，共 20 0分)9.下列命题为真命题的是()A.若a b,则a?b2B.若 工 ：b -ia b a bC.若关于x的不等式a/+bx+2 0的解集为x|-1 x 0,b 0,则“a+b W 8”是“ab n（a o）的展开式中只有第6项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为1,则正确的
3、命题是（）A.n=10 B,a=2C.展开式中常数项为8064 D.展开式中含好的项为11520”11.下列说法正确的是（）A.6个不同的小球放入到5个不同的盒子中，要求每个盒子里至少有一个球，则不同的放法共有5鹿B.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，其中甲只能排在乙的左边，丁只能排在乙的右边，则不同的排法有20种C.已知随机变量&满足P（&=1）=Pi，P =0）=1 i=1,2.若0 pi P20,则/（x）捺 的 解 集 为.第 2 页，共 19页1 6 .已知(1 +%)2 0 2 3=劭+arx+a2x2+a3x3 4-卜 a2 0 2 3x2 0 2 3,则：(1)Q 0 +的+
4、。4+。2020+。2022 被 3 除 的 余 数 是；(2)a2022+2 a2021+3 a 2020+4 a 2019+2 0 2 2%+2 0 2 3 a。=.四、解 答 题(本大题共6小题，共 7 0.0 分)1 7 .使 不 等 式/+(/c-2)x +0 对一切实数x 恒成立的k 的取值范围记为集合4,集合B =x2x2 (zn +l)x +m +3 0.(1)求集合4(2)若“x e 4”是“x e B”的充分条件，求实数m 的取值范围.1 8 .为了丰富学生的课余生活.高三年级举行乒乓球比赛，选手每赢一局就会获得一个纪念品，小明和小华进行比赛，小明每局获胜的概率均为,，不存
5、在平局，两人约定先胜4 局者赢得比赛.(1)求比赛5 局小明获胜的概率；(2)若在前3 局中小明胜两局，小华胜一局，记比赛结束时，小明获得的纪念品的个数为随机变量X,求X 的分布列和数学期望E(X).1 9 .已知函数f(x)=log2x+1)+以为偶函数.(1)求实数k 的值；(2)解关于m 的不等式/(m+1)/(2 m-1)；(3)设g(x)=，。9 2(。,2 苫-a)(a。0),函数/(x)与g(x)图象有2 个公共点，求实数a的取值范围.2 0 .国家加大了对全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创
6、新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高.某高中为响应政府号召，在寒假中对某校高二4 0 0 名学生(其中男生2 4 0 名)按性别采用分层抽样的方法抽取1 0 0名学生进行调查，了解他们每天的体育锻炼情况如下表：每天体育锻炼时间低于1 九每天体育锻炼时间不低于总计男生3 0女生1 0总计1 0 0(1)根据统计数据完成以上2 x 2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.0 1 的条件下，认为该校女生和男生在每天体育锻炼时间方面存在差异？(2)若从抽出的1 0 0 名学生中按“每天体育锻炼时间是否低于l h”采用分层随机抽样抽取1 0 名学生准备进行身体素质测试，在这1 0
7、名学生中随机抽取3 名学生，记这3 名学生每天体育锻炼时间不低于1/1 的人数为X,求X的分布列和数学期望E(X).(3)若将频率视作概率，从该校所有在校学生中随机抽取1 0 人进行调查，记1 0 人中每天体育锻炼时间不低于1 八的人数为k 的概率为P(k),当P(k)取得最大值时，求k 的值.附参考数据及公式：州=s江 蓝 力(3 其中n =a+b +c+d.a=P(/2 k)0.1 0 00.0 5 00.0 1 00.0 0 1k2.7 0 63.84 16.63 51 0.82 82 1 .如图所示，在四棱锥P-4 B C D 中，底面力B C C 为正方形，P A L A BC D,
8、PA=A B,E,F 分别为线段P B,B C 上的动点.(1)若E 为线段P B 的中点，证明：平面AE F _ 1 _ 平面。8(?；(2)若B E =V B F，且B F =2 F C,求二面角4 一 E F -B 的余弦值.2 2 .已知函数/(x)=e*ex,g(x)=I nx tx+1.(1)若不等式f(x)。对于X G (0,+8)恒成立，求实数t的取值范围;(2)若方程f(x)=g(x)有 且 仅 有 两 个 实 根x2.求实数t的取值范围；证明：第 4 页，共 19页答案和解析1.【答案】D【解析】解：令|%-2|3 3,解得：?l=x|-l x 5 .log3x l,log
9、3x log33.:.B=x|0 x 3.A C B=x|0 x 3.故选：D.先求|x-2|3,再求l o g s C l,最后求以上结果的交集即可.本题主要考查复合函数求定义域问题，属于基础题.2.【答案】A【解析】解：.直线/的方向向量为3=(2,3,1),平面a 的法向量为记=(一1,|看)，|cos =1,BP?/n,/la.故选：A.利用空间向量夹角的坐标表示求得|cos|=1,B P e/n,由此能判断直线I和平面a 的位置关系.本题考查线面位置关系的判断，考查向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.3.【答案】A【解析】解：对任意x e R,都有f(x)=/(2
10、 -刈，且/为 奇 函 数，当x eO,l时，/(X)=X2,二可得/=八一 4)=-/(4)=-/(-2)=/(2)=/(0)=0,/(3)=/(-1)=-/(1)=-12=-1,/(3)+/(6)=-1 +0=-1,故选：A.根据已知一步步求解，结合条件可得答案.本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数求值，属于基础题.4.【答案】B【解析】解：根据题意，x 0,)/0且 +丁 =孙，贝U有 管=：=1，xy x y则x+4y=(x+4y)C+)=5+节+5+2栏X j =9,当且仅当x=2y时等号成立，所以x+4y的最小值为9.故选：B.根据题意，可得：+：1，由此可得比+4y=(x+4y)
11、C+3 =5+?+j,再利用基本不等式求出最小值即可.本题考查基本不等式的性质以及应用，属于基础题.5.【答案】D【解析】解：某射手每次射击击中目标的概率为p(O p(X)np(l p)=8 x|=4.故选：D.先分析出X B(n,p),求出p=：和n=1 6,套公式求出。(X).本题主要考查二项分布的均值与方程，属于基础题.6.【答案】D【解析】解：由y=(x-l)2在 1,+8)上单调递增，值域为 0,+8),y=2x-2在(-8,1)上单调递增，值域为(一2,0),所以/(X)在定义域上递增，且值域为(-2,+8),由题设不等式恒成立，即x-a -x2+x-1=-(x-1)2-q在x e
12、 R上恒成立，所以a 4故选：D.由解析式判断分段函数f(x)的单调性，根据单调性有a -x2+x-1在x e R上恒成立,求a的范围.第 6 页，共 19页本题考查了分段函数的单调性以及不等式的恒成立问题，属于中档题.7.【答案】C【解析】解：f (x)=：+2 x +a,依题意，y =(乃在区间扇4 上有且仅有一个变号零点,令/t ()=0,则a =-2 x-：,2令g(x)=-2 x 一 7%e (0,4-0 0),西)=-2 +0,xeg)时，gx 0,x w(l,4 时，g(x)0,a b；令 f(x)=2(e*1)sinx tanx9则r(x)=2-ex cosx c o 2exc
13、os2x-cos3x-lcos2x令 g(x)=2excos2x-cos3x-lCOS2X贝 i j g (x)=2 e +sinx 1 1；当 E (0,g)时，2 -2,sinx 0,62sinx 2sin-d/_ 6/n Tn 0,故g(x)在(0,上是增函数，又g(0)=0,.当x (0 5)时，/(久)=g(x)0,故/(x)在(0,%)上是增函数，故/(0.0 1)f (0)=0,即 b c,故a b c,故选：A.作差法判断a、b的大小，构造函数/(x)=2(ez-1)-sinx-tanx,利用导数的单调性判断反c的大小.本题考查了导数的综合应用，应用了构造法，属于中档题.9.【
14、答案】B CD【解析】解：对于4：当a =-2,b =l时，不等式的关系不成立，故A错误；对于8：由于工;0,所以a b 故2正确；a b a b对于C：若关于x的不等式以2+.+2 0的解集为因一9 刀 0,b 0,则“a +b W 8”整理得2病 a +b 故a b 0)的展开式中只有第6项(即r=5)的二项式系数最大，n =1 0,故A正确;第 8 页，共 19页 展开式中所有项的系数和为(a-l)i =1，a=2或a=0(舍去)，故B正确；由于它的通项公式为4+1=Go-2 iT -(-l)r 久i2 r,令1 0-2 r=0,求得r=5,可得常数项为痣=味)x 2$=6 7 2 0,
15、故C错误；令 1 0-2 r=6,求得r=2,nJWCf0 x 28 x x6=11520%6,故。正确，故选：ABD.由题意，利用二项式系数的性质，求得n值，再根据二项式展开式的通项公式，得出结论.本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.11.【答案】BC【解析】解：对于力：6个不同的小球放入到5个不同的盒子中，要求每个盒子里至少有一个球，则不同的放法共有服福种，故4错误；对于B：甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，其中甲只能排在乙的左边，丁只能排在乙的右边，则不同的排法有底题+盘 朗=2 0种，故B正确；对于C：随机变量&满足P(&=1)=p”P
16、 t=0)=1-P i,i=1,2.所以随机变量S满足P(fi=1)=P i，P(A=0)=1-p i，i=1,2.若0 Pi P2 ，则E(A)=p i，P2=1)=P 2,当0 PIP2 故。错误.故选：BC.直接利用组合数的应用判断4和B的结论，再利用随机变量的应用和条件概率的值判断C和。的结论.本题考查的知识要点：组合数的应用，随机变量，条件概率的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.12.【答案】ACD【解析】解：对于4 取DC的中点N,连接MN,A N,如图:B D/B D,MN/B D,：.MN/B D,二N4MN或其补角是力M与DB所成角，W2 在 AAMN中
17、，A M -AN-M N -cosZ-AMN=-4=-=故 A 正确,2 2 3V5 IO2对于B,过A,M,。三点的截面如图所示，其中E为CC的中点，四边形AME。中，ME/AD,A M=EZ）=手，M E =苧，AD=3VL所 以 四 边 形 是 等 腰 梯 形，其高为无=也，4所以截面面积为S=2 x/x（越+3夜）=巴，故 B错误，2 4、2 J 8对于C,BD u 平面ABD,夕。7/平面AB。，P在线段BD上运动，.高和底面积为定值，三棱锥P-4 B D 的体积不变,即三棱锥。-4B P 的体积不变，故 C 正确，对于。，如图，补形一个全等的正方体，设G是CH靠近H的一个三等分点，
18、根据题意可得，CH=CA=3V3,AH =6，CE=V3,CG=2百，E G2=CE2+CG2-2CE-CG-cos/ACH=3+1 2-2 x V 3 x 2 V 3 x i=ll,EG=v n,根据对称性可知,QF=QG,第1 0页，共19页QE+|(?F|=QE+QG EG,当Q为E G与平面B C C 8 的交点时,等号成立，即|Q E|+|Q F|的最小值为V1 T,故。正确，故选：ACD.结合选项，逐个进行分析，异面直线所成角可以利用平移法求解，截面面积利用梯形面积公式求解，体积问题利用等体积法求解，|Q E|=|Q F|的最小值可以利用补形法求解.本题主要考查了异面直线所成的角，
19、考查了三棱锥的体积公式，以及正方体的截面问题,属于中档题.1 3.【答案】1【解析】解：5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，设事件4表 示“第1次抽到代数题”，事件B表 示“第2次抽到几何题”，贝|J P Q 4)=|，P Q 4 B)=|x 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为:P(B A)=P(4 B)一 3 _ 1P(4)一|一 2故答案为：，设事件4表 示“第1次抽到代数题”，事件B表 示“第2次抽到几何题”，则P Q 4)=*,P G 4 B)=|x 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为P(B|4)=然,由此能求出
20、结果.本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题.1 4.【答案】I【解析】解：因为/(x)=X2 2 x +a(ex-1+ex+1)=-1+(x I)2+a(ex-1+ex+1)=0,所以函数/(x)有唯一零点等价于方程1 一(x I)2=。(峭-1 +e-x+i)有唯一解，等价于函数y=1 -(x -的图象与y=a(e*T +e-+i)的图象只有一个交点.当a =0时，/(x)=x2-2 x,此时有两个零点，矛盾；当a 0时，由于y=l-(x-l)2在(8,1)上递增、在(1,+8)上递减，且y=a(e*T +在(-8,1)上递增、在(1,+8)上
21、递减，所以函数y=1 -(x -I/的图象的最高点为4(1,1),y=a(e T +0-+1)的图象的最高点为 8(1,2 a),由于2 a 0 0时，由于y=1 -(x -1 产在(-8,1)上递增、在(1,+8)上递减，且y=a(e*T +e-*+i)在(8,1)上递减、在(1,+o o)上递增，所以函数y=1 -(x -1)2 的图象的最高点为4(1,1),y=+6-+】)的图象的最低点为 B(1,2a),由题可知点4 与点B 重合时满足条件，即2 a =1,即a =g,符合条件；综上所述，a =%故答案为:p通过转化可知问题等价于函数y=1 -(x -的图象与y=a(T +e-+i)的
22、图象只有一个交点求a 的 值.分a =0、a 0 三种情况，结合函数的单调性分析可得结论.本题考查函数零点的判定定理，函数的单调性，考查运算求解能力，数形结合能力，转化与化归思想，分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题.1 5 .【答案】(一 8,2)【解析】解：由题意，令g(x)=詈，则g (x)=溶 捻 等价于 詈 哭，即g(x)g(2),所以x捺等价于g(x)g(2),即可得解集.本题考查了利用导数样函数的单调性和不等式的解法，考查了转化思想，属中档题.1 6 .【答案】1 2 0 2 3 x 2 2 2 2第1 2页，共1 9页【解析】解：(1)由于(1+为2。23=劭+的*+a
23、 2%?+。3炉+。2()23%2 23,令X =l,所以(1+1)2 23=22。23=a。+%+a 2+C Z 3+&2023，令x =-l时，(1-1)2023=0=a0-a1+a2-a3+.-a2023 ，一 得：d o +a2+a4+-a2020+a2022=22022；所以22022=(3 1)2022=Co 22-32022-(-1)+C勰-32021-(-1)1+.+C-31(_ 1严】+啜 先.30(-1)2022；故被3除余数为1.(2)由于(1+x)2023=a0+aI x+a2x2+a3x3+.+a20232 0 2 3-故a。=0对一切实数万恒成立，4=(k -2)2
24、-4 X 1 x 亨=好 _ 5k +4 0,A 1 f c 0对V x G (1,4)恒成立，m 对v x e (1,4)恒成立，X-1设t =x-1(0 t 4V 2+3,当且仅当1=p apt=鱼时取等号，m/2+3,实数m 的取值范围为（一 8,4 或+3）.【解析】（1）由不等式产+（左一2万+：0 对一切实数 恒成立，得到4 0时，4X 1,/(x)0,.1 /(x)在0,+8)上单调递增,f(m +1)f(2m -1),|m+1|2m 1|,|m+1|2|2m 1|2,解得 0 m 0在R上有两个不相等的实根,令t=2工 0,则a t-a =t+3二（a-l）t2 at 1=0有
25、两个不相等的正实根,-1=#04=:a2+4(a 1)05 02(a-l)v 0a-l解得a|2m-1|,求解即可;（3）由己知可得a-2X a =2x+2-x 0在R上有两个不相等的实根，令t=2 0,则a t-：a=t+：,可求实数a 的取值范围.本题考查函数的零点与方程根的问题，以及利用单调性解不等式，属中档题.20.【答案】解：（1）高二有400名学生（其中男生240名），则抽取100名学生中男生100 x捺=6 0 名，女生40名，4002 x 2列联表如下：每天体育锻炼时间低于1/1 每天体育锻炼时间不低于1/1总计男生303060女生103040总计4060100则/2=100(
26、30 x30-10X30)240 x60 x60 x40=6.25 岛 6所以X的分布列为:X0123P1303101216数学期望 E(X)=0 x 2 +l x 0 +2 x；+3 x：=1.8.30 10 L 6(3)将频率视作概率，则k B(1 0,|),所以P(k)=(|)k(|)ik,fP(fc)P(k+1)f 0(|)k(|)10-k 嗡 i(|)J(|)1 L 街 P(k+1)-c*(|)包|)1。-k C转i(|)k+i(|)9-k，解得手又k Z,故k=6.【解析】(1)由分层抽样的等比例性质求出100名学生中男女生的人数，进而完善列联表,应用卡方公式求卡方值，根据独立检验
27、的基本思想得到结论；(2)由题设知X的所有可能取值为0,1,2,3并求出对应概率，写出分布列，进而求期望；(3)将频率视为概率则k 8(1 0,|),利用二项分布概率公式及不等式法求P(k)取得最大时对应的k值.本题主要考查独立性检验及其应用，离散型随机变量及其分布列，概率统计的实际应用等知识，属于中等题.21.【答案】(1)证明：由24 1底面ABCD,B C u底面ABCD,贝 iJPA 1 BC,在正方形ABCD中，B C A.AB,由P 4 n 4 B=4,P A,力 B u 面P A B,则BC _L 平面PAB,由A E u面P 4 B,所以BC1AE.由P 4=A 8,E为PB中
28、点，贝 IjA ElPB,第1 6页，共1 9页又PB C B C =B,PB,B C u面P B C,则AE 1 平面PBC,因为4 E u 面4 E F,从而平面AEF J平面PBC.(2)解：以4 为坐标原点，AB,AD,4P分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设48=1,则力(0,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),D(0,l,0),P(0,0,l),小仇2-AF=0 B rI由 亡 ,，即(n2-AE=0由BE=B F 知：EF/PC,因 为 丽=2 正，所 以 丽=2 加，即 前=(0,|,0),诙=(一|,0,|),又 刀=AB +B F,AE=AB +B
29、 E，所 以 存=(1,|,0)，而=(,0,|)，设平面4EF的法向量为五2=(x,y,z),f 2x+y=0i 32,取 =2,y=3,z=1,则 底=(2,3,1),-%+-z=0.3 3所以cos =黑=工 又二面角4-EF-B是锐二面角，|ni|n2|14所以二面角A-E F-B的余弦值为m.14【解析】(1)由线面垂直、正方形的性质有P4_LBC、B C LA B,根据线面垂直的判定得BC_L平面P 4 B,再由线面垂直、等腰三角形的性质有B C 14E、AE 1 P B,最后由线面垂直、面面垂直的判定证明结论.(2)构建空间直角坐标系，求出平面EFC、平面Z EF的法向量，利用空
30、间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.本题主要考查面面垂直的证明，二面角的计算，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题.2 2.【答案】解：(1)因为不等式/(%)0 对于 6 (0,+8)恒成立,所 以 不 等 式-e x 0 对于 e (0,+8)恒成立，所以e*e x 对于 6 (0,+8)恒成立，两边取对数得I n e 枕 )e x 对于 G (0,+8)恒成立，即坟 1 4-b u r 对于 G (0,+8)恒成立，所以t 誓 对 于 x G (0,+8)恒成立，令h(x)=I*；。x e(0,4-o o),_ -InxI x2 x2 x2所以当X1时，h!(x)0,
31、h(x)单调递减，当0 x 0,/i(x)单调递增，所以九(x)m ax=h(1)=詈=1，所以t 1,所以实数t的取值范围为 1,+8).(2)f(x)=g(x)有且仅有两个实数根X i，x2,不妨设血 巧，所以-ex=I nx 一比+1 有且仅有两个实数根%，%2所以+tx=Zn x 4-1 4-e%有 且 仅 有 两 个 实 数 根%2所以4-tx=I nex+e x有且仅有两个实数根与，x2令 F(x)=I nx+%,则F(e t)=F(e%)有且仅有两个实数根与，%2,因为尸(x)在(0,+8)上单调递增，所以/”=e x有且仅有两个实数根%i，%2，两边取对数得，m=bi e x,
32、即t%=l +mx,所以力=誓有且仅有两个实数根X,x2,由(1)知/l(x)1 ng=八(1)=1,x t 0 时，h(x)-0 0;XT+8 时，/i(x)-0,所以0 t ln ef需要证2nxi+lnx2 一，由知：,1，两式相加得仇1+lnx2=t(%i+小)2,=J-lZ l%2两式相减得，t=yX2X1所以需要证tQ l+X 2)-2 -；,4需 要 证 手 詈 1(X1+上)(X2X1 4所以4加,7 泞 1,兀 1 *1十 兀 2令”=,(u 1),则4 7 ,匕工 1 ，U+1需要证4 -7-0,(u 1),令 pQ)=4lnu-7-0,(u 1),向=_ 7.空 上 一=
33、2 _ *=4 4 6 U+4 =丝 比 廿 0,产 u(u+1)2 u(u+1)2 u(u+l)2 u(u+l)2所以p(a)在(1,+oo)上单调递增，所以p(u)p(l)=0,所以4but-7 号 0,(u 1),得证.【解析】(1)问题可转化为不等式-x -e x 0对于x e(0,+8)恒成立，即t 等 对 于X 6(0,+8)恒成立，令九(乃=三 竺，x e(0,+o o),只需t 2/iQOmax，即可得出答案.(2)根据题意可得e垃+tx=Inex+ex有且仅有两个实数根与，如 令(%)=工+%，则=/()有且仅有两个实数根%，%2,又FQ)在(0,+8)上单调递增，可推出t=乎有且仅有两个实数根与，2,即可得出答案.由 知 修 二；：，两式相加得 与+)小 =1(久 1+)-2,两式相减得t=乎警，问题可转化为证明4)合 7 三?，令&=黄，(u 1),则4 7 三,只要证4/nu-7 二 0,(u 1),即可得出答案.7/4-1、,本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.