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1、2021-2022学年上海中学东校高二（下）期末数学试卷一、单 选 题（本大题共4 小题，共 20.0分）1.在空间中，“直线m l 平面优,是“直线小与平面a 内无穷多条直线都垂直”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.非充分非必要条件2.下列说法错误的是（）A.已知X 6 R,条件p：x2 1,则p是q的充要条件B.已知随机变量XN（22）,且P（X W 4）=0.8 4,则P（X W 0）=0.16C.设直线2的倾斜角为a,斜率为k,则“a g”是“k 9）右焦点F 的圆与圆0：/+丫 2=4外切，该圆直径FQ的端点Q的轨迹记为曲线C,若P为曲线C上的一动点，则|
2、FP|长度最小值为（）A.0 B.C.1 D.2二、填 空 题（本大题共12小题，共 54.0分）5.设全集U=R,A=（-00,0）,则QM=.6.抛物线y2=-2 x 的 焦 点 坐 标 为.7.若直线k 3%my+1=0与5y=2x+l 互相垂直，则实数m=8.下列是关于出生男婴与女婴调查的2X 2 列联表那么。=晚上 白天 总计男婴 45AB女婴E35C总计 98D1809.已知随机变量X服从二项分布B(4,p),且P(X=2)=|,那么一次试验成功的概率pO的 值 _.10.设某种宠物小狗活到18岁的概率是0.6,活到25岁的概率是0 2 现有一只18岁的该种宠物小狗，问它活到25岁
3、 的 概 率 是.11.已知随机变量X服从正态分布XN(8,c2),p(x 10)=m,P(6 x b 0)满足a=岳，长轴4B上2021个等分点从左至右依次为点Mi，M2,M2021,过点MI作斜率为k(k#0)的直线，交椭圆于匕、P2两点，Pi点在x轴上方；过M2点 作 斜 率 为 片0)的直线，交椭圆于P3、”两点，3点在X轴上方；以此类推，过“2021点作斜率为k(k 力0)的直线，交椭圆于 4041、/042两点,04041点在X轴上方；则4042条直线”1，u 2,，4%42的 斜 率 乘 积 为.三、解答题(本大题共5 小题，共 76.0分)17.如图所示，在长方体4BCD-中，
4、AB=2,BC=2,CC1=4,M为棱CG上一点.(1)若C iM=：,求异面直线41M和G 5 所成角的正切值；(2)若=2,求 证 平 面 4 当”.第2页，共15页18.(1)设(2x 1)20 =劭+a x +a?/H-1-a20 0 x20 0,求：展开式中各二项式系数的和；|a/+l l -卜|&20)|的值.(2)设Q+2厂展开式的第10项系数最大，求正整数n.19.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有4,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该
5、同学比赛结束.4类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答4类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答4类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.20 .双曲线/一=1的 0)的左、右焦点分别为&、尸2,直线1过6且与双曲线交于4、8两点.(1)若/的倾斜角为与，A F i A B是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)若点P为双曲线上任一点，求证点P到双曲线两渐近线的距离之积为定
6、值，并求出该定值(用含有b的代数式表示)；(3)设b=2 V%若1的斜率存在，且(瓦？+窃)四=0，求，的斜率.2 221.已知椭圆的C的方程：器+?=1.(1)设P为椭圆C异于椭圆左、右顶点公、&上任一点，直线P&的斜率为自，直线P&的斜率为优，试证明七的为定值；(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程；(3)设椭圆上一点4(2,1),且点M,N在C上，且AMJ.AN,4 D 1 M N,。为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.第4页，共15页答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的定义是解决本题的关键，属于基础题.根据线面
7、垂直的定义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可;【解答】解：直线ml平面a,则直线m与平面a 内所有直线，即直线m与平面a 内无穷多条直线都垂直成立，若平面a 内无穷多条直线都是平行的，则当直线馆与平面a 内无穷多条直线都垂直时，直线r n 1平面a 也不一定成立，即“直 线 平 面 a”是“直线m与平面a 内无穷多条直线都垂直”的充分不必要条件,故 选:A.2 .【答案】C【解析】解：对于4,因为p：X2%,解得0 工 1,解得0 xl,故p 是q 的充要条件，故4正确；对于B,根据正态分布的对称性，P(X 4)=1-P(X 4)=0.16,故 B正确；对于C,当k 6 时，a G 0
8、,1)U G，兀)，故 a?是k 2 一 2。=8 可得M圆心坐标为(见0),半径为必+8,圆N：/+(y i)2 =4 的圆以为N(0,1),半径为2,由题意得&2 +8 =(颗 2 +旧)2,解得。2 =1,圆M的半径为3,MN=yja2+1=yj2 则3-2 MN 9)的右焦点F(3,0),左焦点片(-3,0),过椭圆右焦点尸的圆，圆心C,半径为R,连接0 C,则0C为中位线，由C与圆。外切，则|0C|=2 +R,由|&Q|=2 0C,贝=4 +2 R,则|FIQ|-|Q F|=4 +2 R -2 R =4，则Q 的轨迹为以F,&为焦点的双曲线的右支，且双曲线的右顶点为(2,0),P 为
9、曲线C上的一动点，则|FP|长度最小值为尸到右顶点的距离等于1.故选：C.设过椭圆右焦点尸的圆的圆心为C,半径为R,由题意可知：OC=2 +R,由阳Q|=2|O C|,贝 i jFi Q I=4 +2 R,则|&Q|-|Q F|=4 +2 R 2 R =4,根据双曲线的定义可得Q 的轨迹，数形结合得答案.本题考查椭圆的性质，考查双曲线的定义，考查数形结合思想，属于中档题.5 .【答案】0,+8)【解析】解：全集U=R,A=(-o o,0),C/=0,+o o).故答案为：0,+8).利用补集定义、不等式的性质直接求解.第6页，共15页本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查
10、运算求解能力，是基础题.6 .【答案】(一;,0)【解析】解：抛物线y 2 =2 x,开口向左，p =l,故焦点坐标为故答案为：(：,0).根据抛物线的方程的标准方程，求出p 值，确定开口方向，从而写出焦点坐标.本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于容易题.7 .【答案】6【解析】解：.,直 线 3%m y +1 =0 与：y =2%+1 互相垂直，它们的斜率之积等于一1,即弓x 2 =-l,求得m=6,故答案为：-6.由题意，利用两条直线垂直的性质，计算求得m的值.本题主要考查两条直线垂直的性质，属于基础题.8 .【答案】8 2【解析】解：由表可知：9 8 +0 =1 8 0,解
11、得：0 =8 2.故答案为：8 2.根据2 x 2 列联表的性质列式计算即可.本题考查2 X 2 列联表的计算，是基础题.9 .【答案】【解析】解：.随机变量X 服从二项分布B(4,p),P(X =2)=j,二 c加 2 q _p)2 =|,解得p =Lo N故答案为：p根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解.本题主要考查二项分布的概率公式，考查转化能力，属于基础题.10.【答案W【解析】解：设某种宠物小狗活到18岁的事件为4活到25岁的事件为B,由题意可知，P(A)=0.6,P(AB)=0.2,故P(B|4)=二“人 I-P(A)0.6 3故答案为：根据已知条件，结合条件概率公式，即
12、可求解.本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于基础题.11.【答案】25【解析】解：.随机变量X服从正态分布XN(8 4 2),二P(X 8)=|,由P(6 x 8)=n,得P(8%10)=m,m+n=I，且m 0,n 0,则-L+勺=2(工 +-)(m +n)=17+-+17+2 l-x =25.2m n 2m n m n y m n当且仅当巴=竺巴，即m=j九=|时等号成立.m n 10 5 2+9的最小值为25.2m n故答案为：25.由正态分布曲线的对称性求出巾+n=|,再由基本不等式求最值.本题考查正态分布曲线的对称性，以及基本不等式的应用，属于中档题.12.【答案】y=2x+
13、4【解析】解：变量y与x线性相关，y与x的线性回归直线的斜率为2,.可设线性回归方程为y=2x+a,=3,y=10,10=6+解倚Q=4f故线性回归方程为y=2%+4.第8页，共15页故答案为：y=2x+4.根据已知条件，先设出线性回归方程为y=2x+a，再结合线性回归方程的性质，即可求解.本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题.13.【答案】45【解析】解：因为(l+x +瑞)1。表示的是10个(l+x +鬻)因式的乘积，所以从10个因式中选2个x,剩下选8个1即可求出展开式中含/的项的系数，即为4 琮=45,故答案为：45.因为(1+x+篇)1表示的是10个(1+x+篝)因式的乘积，所
14、以从10个因式中选2个X,剩下选8个1即可求出展开式中含/的项的系数，由此即可求解.本题考查了二项式定理的应用，涉及到组合数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题.14.【答案】120【解析】解：根据题意分2种情况讨论：若小张或小赵入选，则 有 选 法 尚=96；若小张、小赵都入选，则有选法6 房=2 4,共有选法9 6+24=120种.故答案为：120.根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分2种情况讨论，若小张或小赵入选，若小张、小赵都入选，分别计算其情况数目，由加法原理，计算可得答案.本题考查组合、排列的综合运用，涉及分类讨论的思想，注意按一定顺序，做到不重不漏.15.【答案
15、】6【解析】解：在椭圆卷+?=1 中，a=4,b=3,c=夜，则点居(-b,0),尸 2(迎 0)，设点 P(x,y),则 y2=9-答，其中-4W xW 4,若点P为椭圆短轴端点,则1PF/=PF2,此时居 尸 2P为等腰三角形，此时满足条件的点P 的个数为2；若点P满足仍尸2|=FXF2=2V7,则 IPF2I=/2缶+7+9-篝=2V7x+16=4-V7-X =42夕,解得x=1 -8 6 (-4,4).此时满足条件的点P有2个；若点P满足|&|=FrF2,同可知满足条件的点P的个数为2；综上所述，使得A F i&P为等腰三角形的个数是6.故答案为：6.分|PFi|=PF2.PF2 =正
16、声卜|PFi|=l&E I三种情况讨论，求出对应的点P的个数,即可得解.本题考查了椭圆的性质，属于中档题.16.【答案】【解析】解：由椭圆的对称性可知：心 心心。4 2=七%-册 匕=热券=热7=b2 _ 1-a2=29同理可得：kAp2-kApi04 1=kAP3-kAp0=kAp2 02 1-kAP2 02 2=_,=_/所以4042条直线APi，AP2,A/*)42的斜率乘积为(一202i=一 册.故答案为：一9 H 利用椭圆的对称性，求出心P z-%P40M=kAp3-fc4P4040=-=kAP2 02 1-kAP2 02 2=-p从而得到答案.本题考查了椭圆的性质，属于中档题.17
17、.【答案】解：（1）由题意知，CXM=i,B G =BC=2,B1C1IC1M,B Mv A1B1/C1D1,NBp41M或 其 补 角 即 为 异 面 直 线 和Ci。1所成的角,由长方体的性质可知，4当，平面B$C C i，：A1B1 1&M,第10页，共15页叵 L tanzB1 141M=：1 4祖 2 4即 异 面 直 线 和 G01所成角的正切值为证明：(2)由题意可知，BC=B1G=2,G =2,CG=4,CM=2,BjM=BM=yjBC2+CM2=2近，在ABiBM中，BBl=BM2+BrM2,：.乙BMB=9 0 ,即BM 1 BiM,又；A/i _L 平面BiBCCi，可得
18、力i B J B M,且当 n 4 祖 =%,BM 1 平面Ai&M.【解析】(1)因为公当(?1。1，所以48遇1”或其补角即为异面直线41时和6。1所成的角,结合长方体的结构特征即可求解.(2)利用勾股定理可证得BM 1 B iM,又且n 4 当=%,利用线面垂直的判定定理即可证得8M 1平面41当”.本题主要考查了异面直线所成的角，以及线面垂直的判断，属于基础题.18.【答案】解：(1)展开式的二项式系数和为22。，因为|劭|+|%|+|a2l+-+|。20()1的值与二项式Qx+1)2的展开式的各项系数和相等，所以令X=1，则|叫+la j+a2+|a200|=(2+l)200=32
19、00,令X=O 则|劭|=1,所以|%|+a i +|。20()|=32。-1;(2)二项式(x+2)的展开式的通项公式为彩+1=C 2 3 n-r,r=0,1,n,设第r+1的系数最大，则悟解 得 平 4 r 4 警,由已知r=9,代入解得n=13或14.【解析】(1)根据二项式系数和公式即可求解；因为&|+|州|+|(12+“+以 2001的值与二项式(2 x+1)2。的展开式的各项系数和相等，再分别令x=0,x=i,建立方程即可求解：(2)求出展开式的通项公式，设第r+1项的系数最大，然后根据通项公式建立不等式组，令r=9,由此即可求解.本题考查了二项式定理的应用，涉及到与系数最大有关的
20、问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题.1 9.【答案】解：(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,2 0,1 0 0,则 P(X =0)=1 0.8 =0.2,P(X=2 0)=0.8 X (1 -0.6)=0.3 2P(X=1 0 0)=0.8 X 0.6 =0.4 8,所以X的分布列为：X02 01 0 0P0.20.3 20.4 8(2)由(1)可知小明先回答4类问题累计得分的期望为E(X)=0 x 0.2 +2 0 x 0.3 2 +1 0 0 x 0.4 8 =5 4.4,若小明先回答B类问题，记y为小明的累计得分，则y的所有可能取值为o,8 0,l o o,p(r =0)=1
21、 -0.6 =0.4,P(Y=8 0)=0.6 X (1 -0.8)=0.1 2,P(Y=1 0 0)=0.6 X 0.8 =0.4 8,则 y 的期望为 E(y)=0 x 0.4 +8 0 x 0.1 2 +1 0 0 x 0.4 8 =5 7.6,因为E(y)E(X),所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.【解析】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题.(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,2 0,1 0 0,分别求出对应的概率即可求解分布列；(2)由(1)可得E(x),若小明先回答B类问题，记丫 为小明的累计得分，丫 的所有可能取值为0
22、,8 0,1 0 0,分别求出对应的概率，从而可得E(y),比较E(X)与E(y)的大小，即可得出结论.2 0.【答案】解：双曲线/一 V=i(b0)的左、右焦点分别为F1，F2,a=l,c2=1 +b2,直线，过F2且与双曲线交于4 B两点，直线，的倾斜角为aA R A B是等边三角形,可 得:A(c,b2),可 得:-2 b 2 =2 c 3 b4=4(a2+b2),第12页，共15页即勖4 一4 坟一4 =0,b 0,解得匕 2 =2.所求双曲线方程为：/艺=1,2其渐近线方程为y =V 2 x.(2)证明：设P Q o，,%),双曲线2 一，=1 9 0)的渐近线方程为以、=0,则点P
23、到直线板+y =0的距离为刈=点P到直线版 y =0的距离为d 2 =I匕 欠0 3。1又诏居=1,所以排据 一 月=炉，所以d&=喘负=急,所以点P 到双曲线两渐近线的距离之积为定值，该 定 值/；b2+l(3)6 =2 V 2,双曲线/-0=1,可得Fi(3,0),尸 2(3,0).8设A-B(x2,y2),直线的斜率为:k=沿，八 2八 1直线/的方程为：y =k(x 3),y=kx 3k由题意可得：2 y z,消去y 可得：(8-忆 2 汝2 +6%2%一9/一8 =0,I*一豆=14 =3 6 k4 -4 x (8 -k2)(-9/c2-8)=4(6 4/c2+6 4)0,可得X +
24、%2 =黑，则y i +y2=k(Xi+x2-4)=k(鼠-6)=篝.M+2,y J，FB=(X2+2,y2)，(FA+及而)AB=0可得：(%i +上+6,为+y2)(X i -x2,y1-y2)=0,可得%i +%2 +6 +(7 1+%)k=，可得：卜 2=解得k=土辿.的斜率为:土 晅【解析】(1)利用直线的倾斜角，求出4B,利用三角形是正三角形，求解b,即可得到双曲线方程.(2)设P Q o，,%)，求出P 到两渐近线的距离，可证点P 到双曲线两渐近线的距离之积为定值，可求出定值：(3)求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出4、B 坐标，利用向量的数量积为0,即可求得直线的斜率.本题考
25、查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用.2 1.【答案】解：(1)设P(无 o，y o)，公(伤,0)，42(V 6,0),因为P 为椭圆C 上一点，所 以丐+羽=1,6 3所以羽=3-?所 以 自=品，七=舞，所以生历=4.3=孝 _ =上 矍=一匕1 2 Xo+W XQ-6 XQ-6 XQ-6 2故,的为定值(2)设弦的两个端点分别为P(x i，y )，Q(x2,y2),P Q 的中点为M(x,y),则 立+以=1,6 3磅+或=1,6 3所以-得:号-遥瓷一川二(即2+为 一 乃3(%1-2)（y i +丫2）=o,因为
26、X i +x2=2 x,yx+y2=2 y,所以x +2 y=0.由于弦中点轨迹在已知椭圆内，尸2 y2 _T+T=解得x =2,1%+2 y =0故斜率为的平行弦中点的轨迹方程：x+2 y=0(-2%2).(3)设M Q i，为)，N(x2,y2),若直线M N 斜率存在时，设直线M N 的方程为：y=kx+m,代入椭圆方程消去y 并整理得：第14页，共15页(1+2 k2)%2+4 kmx+2 m2 6 =0,所以/+X2=4kml+2fcz，Xi%22m2-6l+2k2因为A M _ L AN,所 以 祠.丽=0,即(血-2)(X2-2)+(y i-l)(y2-1)=0,即(/+l)x1
27、x2+(Ian f c 2)(xx+x2)+(m-l)2+4 =0,所以(Z e?+1)普 点 +(/c m-k-2)(一 黑；)+(m-l)2+4 =0,整理化简可得：(2 k+3 m+l)(2 k+m-1)=0,因为4(2,1)不在直线M N 上，所以2 k+m-l#0,所以2 k+3 m +1=0,k 1,于是M N 的方程为y =k(x -1)-片 1),所以直线过定点直线过定点P（|,-若直线M N 斜率不存在时，可得N Q i，-y i）,由A M -AN -0得:（%i 2）Q i 2）+（yx 1）（y j 1）=0,即（勺-2）2+1 _ *=0,结合式+城=1 可得：6 3
28、3 好-8/+4 =0,解得打=|或孙-2（舍）.此时直线MN过点P（|,-令Q 为4 P 的中点，即QG3），若。与P 不重合，则由题设知4 P 是Rt A D P 的斜边，故|D Q|=：|4 P|=；若。与P 重合，则|DQI=TMP|，故存在点Q ,9,使得|D Q|为定值.【解析】（1）设P Q o f o），则 羽=3-1，再根据斜率公式代入即可计算后/2的值；（2）设弦的两个端点分别为P Q i，月）,（2。2,%），利用点差法可得%+2y =0,联立直线和椭圆，即可得x 的范围；（3）设出点M,N的坐标，在斜率存在时设方程为丫=1 +加，联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到小，k 的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.本题考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题.