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1、2022年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷考生注意：1、本试卷共4 页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2、本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必涂（选择题）或 写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第 1题至第 6题每个空格填对得4 分，第 7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1 .已知复数z=I+i （其中i为虚数
2、单位），则%=.22 .双曲线耒-产=1的 实 轴 长 为.3 .函数/（x）=c os2.x-si n2x+l的 最 小 正 周 期 为.a 1 a 04.已知aeR,行列式，.与.的 值相等，则。=_ _ _ _ _.3 2 4 15 .已知圆柱的高为4,底面积为9不，则 该 圆 柱 的 侧 面 积 为.6 .已知x+y 2 0,x-y-1 4 0,则z =x+2 y的最小值为.7 .在二项式（3+力”（是正整数）的展开式中，V项的系数是常数项的5倍，则 =.a2x-l,x 08.若函数/（x）=09 .为了检测学生的身体素质指标，从包括游泳类1项，球类3项，田径类4项的共8项体育项目中随
3、机抽取4项进行测试，则 每 类 项 目 都 被 抽 到 的 概 率 为.（用分数作答）1 0 .己知等差数列 凡 的公差不为零，记S”为其前项和，若项=0,则，（i =l,2,3,1 0 0）中不同的数值有 个.1 1 .已知实数4 0,向量31的模都等于，且H =则/=.1 2 .已知函数/卜）的定义域为弧+8）,且满足/（x）可 2），记函数/（工）的值域为4,若让；，且有 yy=/（x）,x e 0,a =Af t则实数a的 取 值 范 围 为.第 1 页二、选择题（本大题共有4 题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否
4、则一律得零分.1 3.已知集合/=-l,2）,B =Z,则4 nB=（）A.-1,0,1,2 B.-1,0,1）C.-1,0 D.-1 1 4.已知a 6 0,则下列结论正确的是（）A.a+h2ah B.a+b2ab D.-+2b60)的左、右焦点分别为耳(一,。)、鸟(正,0卜 点4为椭圆的下顶点，点M为直线/：x+y-4拉=0上一点.(1)若a=2,线 段 的 中 点 在x轴上，求点的坐标;(2)已知直线/交V轴于点8,直 线 经 过 点 鸟，若A48M有一个内角的余弦值为q，求b的值；(3)若椭圆上存在点P到直线/的跑离为，旦满足d+|P用+|P段=6,则当a变化时，求d的最小值.21.
5、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知在无穷数列 4 中，4=1,%=3,若对于任意正整数(4 2),都存在使得4M =2a“-a(1)求生的所有可能值:(2)已知命题P：若外,%，4成等差数列，则%2.双曲线 二-1,2=1的实轴长为.【6】9-【解析】因为“：=9,所以。=3,双曲线的实轴长为2。=63.函数/(x)=cos-s in+1 的最小正周期为.【乃】、27r【解析】f (-)=cos-X -sin-X +1 =cos2x+1 ,最小正周期7=于=不a I a 04.已知“e R,行 列式、的值与行列式1 的值相等，则。=3
6、 3 2 4 1a 1 a 0【解析】因 为，=2 -3,由题意2a 3=a,解得”=33 2 4 15.已知圆柱的高为4,底面积为9万，则 圆 柱 的 侧 面 积 为.【24不】【解析】设圆柱底面半径为，由题意万r=9 力，解得r=3,所以圆柱的侧面积为S=17ir*h=24%.【易错点】若本题答案为15开，则是当成是圆锥，求它的侧面积.r y 0-2【解析】作出可行域，最小在处取，最小值为g7.二项式(3+、)的展开式中，Y的系数是常数项的5倍，贝！|=-10【解析】由 二 项 式 展 示 式 的 通 项 得/的 系 数 为 CH ，常数项为3,由题意C：3-2=53，化简得C；=9X5,
7、因为e N,解得=10.(2 18.若函数/(0=1 一”为奇函数，则实数-/=1 工+4,X0,则-x 0,|a|=|b|=|c|=x 且“石=。，c*a=2,c*b-I,求/=.【5，或 写 】【解析】由题意，a Vh,设。=(九()，6 =(0,Z),c=(Y.v),由 c a =2,b0,下列不等式中恒成立的是（）A】【基本不等式的应用】.a+b14ab B.+2yh D.+2 2 疯15.如图正方体中P、。、S分别是棱.44、B C、叫、的中点，联结4 S、B Q,空间任意两点M、N ,若线段A/N 上不存在G/1/点在线段4 S、8Q上，则称M、N可视，下列选项中与点。可视的是（A
8、.点P B点 B C.点。D 点 RC1R【解析】由题意，只有。与线段4 S、8Q都异面.结合选项。P与4 s相交共面；与8Q相交共面；。因与8Q相交共面;16.已知平面直角坐标系中的点集0 =（x.r）|（.r-A ）+（1v-A :）=4|A ,ke zj.存在直线/与0没有公共点，且0中存在两点在/的两侧；存在直线/经过。中的无数个点，则（）B A.成立不成立 B.成立不成立 C.不成立成立 D.不成立不成立【解析】点集可以看作是一系列圆心为W，A二）#GZ分布在,=/的图像上的圆,这些圆的半径为/?=2历，作出图像，如图，（I）显然正确，结合圆系运动包含的路线，不存在直线/与该圆系有无
9、数个交点，所 以（2）不正确，故 选 B三.解 答 题（本大题共5 题，满分7 6 分，解答下列各题必须写出必要的步骤OOOO17.如图所示的三棱锥，底面为等边A4 8C,。为.4。中点，平面A B C,A P=A C =2.（1）求 三 棱 锥 /3=l ;（2）过M 点作交/I C 于 N,连接尸N,所以乙M/W为P M与平面P A C所成角，因为M 为 8。中点，OB 1 AC,所以M N =0 B =立,2 2因为尸。！平面P 0 1 平面P/C,所以平面月8(、1平面“PC,从而MV J,平面,4PC,尸 平 面 P/1 C,所以MNJ_PN,在 AMPN 中，MN=,PN=J(V3
10、)2+(-)2=，所以 tanNA/PN=生=变，2V 2 2 PN 13所以P/W与平面尸.4(7所成角的大小为a*tan苴13法二：以。为原点，。8 为.v轴，OC为F 轴，0 P 为二轴建立空间直角坐标系，易证OB 1 平面R4C,所 以 砺 为 平 面 PAC的法向量，则0(0 0 0),5(73,0.0),C(O.l.O),J(O,-1,O),P(0,0,V3),M ,-,0 ,砺=(6,0,0),PM=,-,-V 3,I 2 2 J(22)_ A设 PM 与平面PAC所成角为0,所以sin6=|cos =，4所以PM 与平面PAC所成角为arcsin .418.已知./(x)=lo
11、g,(x+a)+log,(6-.v).(1)若将函数丁=/(x)的 图 像 向 下 平 移(，0)个单位，经过点(3,0)、(5,0),求。与，的值；(2)若 -3且”片0,解关于*的不等式/(X)S/(6 7).【解析】(1)./(.v)=logj.+a)+log,(6-.r)=log.(,v+0)个单位后得,、g(3)=log.3(3+)-/?=0令g(x)=lo g(r+4(6,Y)一，由题意j 八、，|g(5)=log,(5+)-/n=0所以9+3。=5+。，解得=一2,m=；(2)./(.v)=log.(.v+)+log.(6-.Y)=log,j-.v:+(6-a).v+6t/),函
12、数的定义域为(-a,6),/(.v)在(-a 一 单调递增，在 一,61单调递减，对称轴为I 2 L 2，2所以不等式/(x)W/(6-x)等价转化为 67-,即 丫 当 0 时，x 2 3,结合函数定义域，解集为 3,6)；当-3 “所以所求面积 S=2（S“a/,+），由已知。尸=。加=。2=1 4,不妨假设NCO产所以 S(,+Su 甲22=、014sine+L14l4sin最大值为14日，此时sin（6+e）=1,其中tane=：,所以5=2（5“5，+.又“川，）皿、=2 8 ,5五边形HCPMO面积的最大值为2X/74.20.已知椭圆：,*1（0）的左、右 焦 点 为 川-国）、鸟
13、（旧），/为的下顶点，M为直线/:工+1-4 拒=0 上一点.（1）若=2,4W 的中点在 轴上，求点M 的坐标；（2）直线/交J 轴于点4,直线.4何经过点八，若 A.48”有一个内角的余弦值为:，求；(3)若椭圆上存在点尸到直线/的距离为,/,且满足+|/V +|P E I=6,当“变化时，求”的最小值.【解析】(1)由已知得,=&,所 以 =/-/=4-2=2,6=72 所以川()0),设皿八4人-/)在直线/上，因 为/的 中 点 在.v轴上，则,立二;”拒力 解 得,=3应，所以M的坐标为，7(3拒.0)；(2)当 cosN./l8=时，tanNE/O=3=,解得b=3逝 ；5-0A
14、 3 b 43K f 3 V2 4 41当 cos Z.AMB=,cos4MAB-cos(Z.AMB+Z.ABM)=-卜，5、5 2 5 2 J 1 0s所以=OF col Z.MAB-;7综上，力=逑 或/,=也；4 7(3)由椭圆的定义知，|/%|+|距|=2，所 以+|历|+|和|=6转化为d=6-2a(aW 3),设;?(4 0皿/)$泊疝11)。6%且 =/-2,则由点到直线距离得，d=Cs。+7 a -4I _ Ja2+b2 sin(a+/)-4|=4-ja2-I sin(a+p),其中 lan0=贝 lj 4-yjcr-1 cl=()-2a 4-x/n-1 (fl S3),所以
15、22W yja2-1，解得 1 q 所以拒所以”的最小值为4ml=6-2 x：=g.21.数列I,中，=1,%=3,若对任意的(2 2),都存在/(I4区-1)使得*=2*-q.(1)求出明的所有可能的取值；(2)命题:若4、知、/、成等差数列，则出 30.证明命题为真，写出命题的逆命题心并判断命题夕的真假，若命题9为真则证明，若命题”为假，请举出反例；(3)若对任意的正整数J%,=3,求;的 通 项 公 式.1,n=1【答案】(1)7或9；(2)证明见解析，命题，/为真，证明见解析；(3)%=3；,=2机(c V)”a|53;=2/n-hl【解析】(1)当 =2时，/=2%-q=2a2 -q
16、=5,当 =3时，aA=2a,(/=1,2),所以a4=2/-q =9 或4=2%-%=7；综上，出的所有可能的取值为7或9；(2)若、%、%、小成等差数列，因为。|=1,%=3,所以”“=2-1,4=1 5,0=2s-r/,(l/7./G N)S 2心-q =30-1 =29 30 恒成立，所以命题为真命题,命题J若/=2 4-叫=31,与/30恒成立矛盾，所以 人，可、%、.、人 人-1 增又 由(I)得，、生、4递增，可得、生、出、小递增,%=2 /2al%,a4 2a3-az=7,a5 2aA-a3=9,.as 2a7-o6=15(),结合得6=1 5,且中等号成立的条件是=7,%=9
17、,%=1 1,生=1 3,6=15,即4、的、A.6成等差数列，命题“为真命题;(3)由 4、的、；、怎的值猜测，q=1,七,=3,川=53-/e N*),证明:2d2 tfi t-6 7 (1 Z )=2(2a.a)a2a2l1-a,(l j 2m)一 一 3川=2(23-q)-af 2at+at=3,下面利用数学归纳法证明：%,用=53(/e N-)1 当加=1时，/=5成立;2 假设，”=A时，/川=53一(壮N”)成立，则当-A +I时，由于24.+%=3-(1，4 2左+1.1邑/工2左+2),当，=./=24时，2q+勺=3 成立;若 2左，由(2)所证单调性，可知q,%3*与2q+*=3*矛盾；若 i=2k+1,j 2k,2+4=253 t+%=，矛盾；9若i 3 T,矛盾；若 i 2k,i=2k+,2%+/253,-2+531=2 3 1 3 1 ,矛盾.727综上，i=j=2k 时，即?=A +1 时，4”+3 =2生*_2-。“=23|-3=53(加1*)成立,卬=1，%,=3,仁2=53i(/N*)成立.