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1、1 / 7 最新发布2013 年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考试注意： 1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。 2.本试卷共有 31 道试题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答。一. 填空题（本大题满分36 分）本大题共有12 题，要求直接填写结果，每题填对得 3 分，否则一律得0 分。1.函数2log (2)yx的定义域是2.方程28x的解是3.抛物线28yx的准线方程是4.函数2sinyx的最小正周期是5.已知向量(1)ak，(96)bk，。若/ab，则实数k6.函数4sin3cosyxx的最大值是7
2、.复数23i（i是虚数单位）的模是8.在ABC中，角A B C、所对边长分别为a b c、，若5860abB，则b=9.在如图所示的正方体1111ABCDA B C D中，异面直线1A B与1B C所成角的大小为10. 从 4 名男同学和6 名女同学中随机选取3 人参加某社团活动，选出的3 人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示） 。11. 若等差数列的前6 项和为 23，前 9 项和为 57，则数列的前n项和n=S12. 36 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2236=23，所以 36 的所有正约数之和为22222222(133 )(2232 3 )(22323 )(122 ) 13
3、3 )91（参照上述方法，可求得2000 的所有正约数之和为D1C1B1A1DCAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2 / 7 最新发布二选择题（本大题满分36 分）本大题共有12 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得 3 分，否则一律得 0 分。13.展开式为ad-bc的行列式是（）（A）abdc(B) acbd(C) adbc(D) badc
4、14.设-1( )fx为函数( )f xx的反函数，下列结论正确的是（）(A) 1(2)2f(B) 1(2)4f(C) 1(4)2f(D) 1(4)4f15.直线2310 xy的一个方向向量是（）(A) (23)，(B) (2 3)，(C) ( 3 2)，(D) (3 2)，16 函数12( )f xx的大致图像是（）17.如果0ab，那么下列不等式成立的是（）(A) 11ab(B) 2abb(C) 2aba(D) 11ab18.若复数12zz、满足21zz，则12z z、在复数平面上对应的点12ZZ、（）(A) 关于x轴对称(B)关于y轴对称(C) 关于原点对称(D)关于直线yx对称19.
5、10(1)x的二项展开式中的一项是（）（A）45x（B）290 x（C）3120 x（D）4252x20.既是偶函数又在区间(0)，上单调递减的函数是（）（A）sinyx（B）cos yx（C）sin 2yx（D）cos 2yx21若两个球的表面积之比为1: 4，则这两个球的体积之比为（）（A）1: 2（B）1: 4（C）1:8（D）1:1622.设全集UR，下列集合运算结果为R的是（）（A）uZNe（B）uNNe（C）()uu痧（D）0ue0 xy0 xyB A 0 xyC 0 xyD 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
6、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3 / 7 最新发布23.已知a b cR、， “240bac”是“函数2( )f xaxbxc的图像恒在x轴上方”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件24.已知A B、为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若2MNAN NB，其中为常数，则动点M的轨迹不可能是（）（A）圆（B） 椭圆（C） 抛物线（D）双曲线三、解答题（本大题满分78 分）本大题共有 7 题，解答下列各题必须写出必要的步骤。25.（本题满分 7
7、 分）如图，在正三棱锥111ABCA B C中，16AA，异面直线1BC与1AA所成角的大小为6，求该三棱柱的体积。解 26（本题满分 7 分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地， 其中B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。解 B1A1C1ACBABC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 4 / 7 最新发布27
8、（本题满分 8 分）已 知 数 列na的 前n项 和 为2nSnn， 数 列nb满 足2nanb， 求12limnnbbb（）。解 28.（本题满分 13分）本题共有2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 9分。已知椭圆C的两个焦点分别为1( 1 0)F，、2(1 0)F，短轴的两个端点分别为12BB、（1）若112F B B为等边三角形，求椭圆C的方程 ; （2）若椭圆C的短轴长为2，过点2F的直线l与椭圆C相交于P Q、两点，且11F PFQ，求直线l的方程。解（1）（ 2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
9、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 5 / 7 最新发布29.（本题满分 12分）本题共有2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6分。已知抛物线24C yx：的焦点为F。（1）点A P、满足2APFA。当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线2yx的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。解（1）（ 2）30.（本题满分 13分）本题共有 2 个小题，第一小题满分4 分，第二小题满分9分。在平面直角坐标系
10、xOy中，点A在y轴正半轴上， 点nP在x轴上，其横坐标为nx，且nx是首项为1、公比为 2 的等比数列，记1nnnP AP，nN。（1）若31arctan3，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为(0 82)，求n的最大值及相应n的值。解（1）P2 0 xyAP1P3 P4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 6 / 7 最新发布31 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题
11、满分 7分，第 3 小题满分 6 分。已知真命题：“函数( )yf x的图像关于点()P a b、成中心对称图形”的充要条件为“函数()yf xab是奇函数”。（1）将函数32( )3g xxx的图像向左平移1 个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数( )g x图像对称中心的坐标；（2）求函数22( )log4xh xx图像对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数( )yf x的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数 a 和 b，使得函数()yf xab是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题，请给予证明； 如果是假命题，请说明理由，并类
12、比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明） 。解（1）（2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 7 / 7 最新发布2013 年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案一 （第 1 至 12 题）每一题正确的给3 分，否则一律得0 分。1( 2,)2 . 3 3. 2x4. 25. 346. 5 7. 138. 7 9. 310. 4511. 25766nn12. 4836 二 （第 13
13、至 24 题）每一题正确的给3分，否则一律得0 分。题号13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 代码B B D A D A C B C A D C 三 （第 25 至 31 题）25.解因为1CC1AA. 所以1BC C为异面直线1BC与1AA.所成的角，即1BC C=6。在 Rt1BC C中，113tan62 33BCCCBC C, 从而233 34ABCSBC, 因此该三棱柱的体积为13 3 618 3ABCVSAA. 26.解如图，设矩形为EBFP,FP长为x米，其中040 x，健身房占地面积为y平方米。因为CFPCBA，以FPCFBACB，504050
14、xBF,求得5504BFx，从而255(50)5044yBF FPx xxx25(20)5005004x，当且仅当20 x时，等号成立。答：该健身房的最大占地面积为500 平方米。27.解当2n时，221(1)(1)22nnnassnnnnn。且110as，所以na22n。因为22112()4nnnb，所以数列nb是首项为 1、公比为14的无穷等比数列。ABCFPE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 8 / 7 最
15、新发布故12limnnbbb（）141314。28解（1）设椭圆C的方程为22221(0)xyabab。根据题意知2221abab， 解得243a，213b故椭圆C的方程为2214133xy。（2）容易求得椭圆C的方程为2212xy。当直线l的斜率不存在时，其方程为1x，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(1)yk x。由22(1)12yk xxy得2222(21)42(1)0kxk xk。设1122()()P xyQ xy， ，则2212121111222242(1)(1)(1)2121kkxxx xF PxyFQxykk，因为11F PFQ，所以110F P FQ,即212
16、12121212(1)(1)()1(1)(1)xxy yx xxxkxx2221212(1)(1)()1kx xkxxk2271021kk，解得217k，即77k。故直线l的方程为710 xy或710 xy。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 9 / 7 最新发布29.（1）设动点P的坐标为()x y，点A的坐标为()AAxy，,则()AAAPxxyy，, 因为F的坐标为(1 0)，所以(1)AAFAxy，由2AP
17、FA得()2(1)AAAAxxyyxy，。即2(1)2AAAAxxxyyy解得2AAxxyy代入24yx，得到动点P的轨迹方程为284yx。（2）设点Q的坐标为( 0)t，.点Q关于直线2yx的对称点为()Q x y，则122yxtyxt解得3545xtyt若Q在C上，将Q的坐标代入24yx，得24150tt，即0t或154t。所以存在满足题意的点Q，其坐标为(0 0)，和15( 0)4，。30 解（ 1）设(0)At，根据题意，12nnx。由31arctan3，知31tan3，而3443343223443()4tantan()321xxt xxtttOAPOAPxxtxxttt，所以2413
18、23tt，解得4t或8t。故点A的坐标为(0 4)，或(0 8)，。（2）由题意，点nP的坐标为1(2 0)n，12tan82nnOAP。11112122218 28 2tantan()22216 2218 28 2 8 28 228 2nnnnnnnnnnnOAPOAP。因为16 222 228 2nn，所以12tan42 2n，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 10 / 7 最新发布当且仅当16 2228 2
19、nn，即4n时等号成立。易知0tan2nyx，在(0)2，上为增函数，因此，当4n时，n最大，其最大值为2arctan4。31.（1）平移后图像对应的函数解析式为32(1)3(1)2yxx，整理得33yxx，由于函数33yxx是奇函数，由题设真命题知，函数( )g x图像对称中心的坐标是(12)，。（2）设22( )log4xh xx的对称中心为()P a b，由题设知函数()h xab是奇函数。设( )(),f xh xab则22()( )log4()xaf xbxa，即222( )log4xaf xbax。由不等式2204xaax的解集关于原点对称，得2a。此时22(2)( )log( 2
20、 2)2xf xb xx，。任取( 2,2)x，由()( )0fxf x，得1b，所以函数22( )log4xh xx图像对称中心的坐标是(2 1)，。（3）此命题是假命题。举反例说明： 函数( )f xx的图像关于直线yx成轴对称图像， 但是对任意实数a和b，函数()yf xab，即yxab总不是偶函数。修改后的真命题：“函数( )yf x的图像关于直线xa成轴对称图像” 的充要条件是 “函数()yf xa是偶函数”。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -