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1、2012 年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）1（4 分）（2012上海）计算：=12i（i 为虚数单位）考点：复数代数形式的乘除运算 专题：计算题 分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以 1i，再由进行计算即可得到答案 解答：解：故答案为 12i 点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握 2（4 分）（2012上海）若集合 A=x|2x10，B=x|x|1，则 AB=（，1）考点：交集及其运算 专题：计算题 分析：由题意，可先化简两个集合 A，
2、B，再求两个集合的交集得到答案 解答：解：由题意 A=x|2x10=x|x，B=x|1x1，AB=（，1）故答案为（，1）点评：本题考查交的运算，是集合中的基本题型，解题的关键是熟练掌握交集的定义 3（4 分）（2012上海）函数的最小正周期是 考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专计算题 题：分析：先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简，最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可 解答：解：=sinxcosx+2=sin2x+2 T=函数的最小正周期是 故答案为：点评：本题主要考查了二阶行列式，以及三角函数的化简和周期的求解，同时考查了
3、运算求解能力，属于基础题 4（4 分）（2012上海）若是直线 l 的一个方向向量，则 l 的倾斜角的大小为 arctan （结果用反三角函数值表示）考点：平面向量坐标表示的应用 专题：计算题 分析：根据直线的方向向量的坐标一般为（1，k）可得直线的斜率，根据 tan=k，最后利用反三角可求出倾斜角 解答：解：是直线 l 的一个方向向量 直线 l 的斜率为 即 tan=则 l 的倾斜角的大小为 arctan 故答案为：arctan 点评：本题主要考查了直线的方向向量，解题的关键是直线的方向向量的坐标一般为（1，k），同时考了反三角的应用，属于基础题 5（4 分）（2012上海）一个高为 2 的
4、圆柱，底面周长为 2，该圆柱的表面积为 6 考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）专题：计算题 分析：求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可 解解：因为一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2，答：所以它的底面半径为：1，所以圆柱的表面积为 S=2S底+S侧=212+22=6 故答案为：6 点评：本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力 6（4 分）（2012上海）方程 4x2x+13=0 的解是 x=log23 考点：有理数指数幂的运算性质 专题：计算题 分析：根据指数幂的运算性质可将方程 4x2x+13=0 变形为（2x）222x3=0 然后将 2x看做整体解关于 2x的一元二次方程即可
5、 解答：解：4x2x+13=0（2x）222x3=0（2x3）（2x+1）=0 2x0 2x3=0 x=log23 故答案为 x=log23 点评：本题主要考差了利用指数幂的运算性质解有关指数类型的方程解题的关键是要将方程 4x2x+13=0 等价变形为（2x）222x3=0 然后将 2x看做整体再利用因式分解解关于 2x的一元二次方程 7（4 分）（2012上海）有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、为公比的等比数列，体积分别记为 V1，V2，Vn，则（V1+V2+Vn）考点：数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题 分析：由题意可得，正方体的体积=是以 1 为首项，以 为公比的等比
6、数，由等不数列的求和公式可求 解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为 an 则=是以 1 为首项，以 为公比的等比数列 则（V1+V2+vn）=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题 8（4 分）（2012上海）在的二项式展开式中，常数项等于 20 考点：二项式定理的应用 专题：计算题 分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得 x 的指数为 0，得到相应的 r，从而可求出常数项 解答：解：展开式的通项为 Tr+1=x6r（）r=（1）r x62r令 62r=0 可得 r=3 常数项为（1）3=20 故答案为：20 点评：本题主要考查了
7、二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题 9（4 分）（2012上海）已知 y=f（x）是奇函数，若 g（x）=f（x）+2 且 g（1）=1，则 g（1）=3 考点：函数奇偶性的性质；函数的值 专题：计算题 分析：由题意 y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2 得到 g（x）+g（x）=f（x）+2+f（x）+2=4，再令 x=1 即可得到 1+g（1）=4，从而解出答案 解答：解：由题意 y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2 g（x）+g（x）=f（x）+2+f（x）+2=4 又 g（1）=1 1+g（1）=4，解得 g（1）=3 故
8、答案为：3 点评：本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是利用性质得到恒成立的等式，再利用所得的恒等式通过赋值求函数值 10（4 分）（2012上海）满足约束条件|x|+2|y|2 的目标函数 z=yx 的最小值是 2 考点：简单线性规划 分析：作出约束条件对应的平面区域，由z=yx可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，解决越小，z 越小，结合图形可求 解答：解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示 由于 z=yx 可得 y=x+z，则 z 为直线在 y 轴上的截距，截距越小，z 越小 结合图形可知，当直线 y=x+z 过 C 时 z 最小，由可得 C（2，0），此时 Z=2 最小 故答案为
9、：2 点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定 11（4 分）（2012上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）考点：古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计 分析：先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可 解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球 三个同学共有 333=27 种 有
10、且仅有两人选择的项目完全相同有=18 种 其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有 2 种选择 故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评：本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题 12（4 分）（2012上海）在矩形 ABCD 中，边 AB、AD 的长分别为 2、1，若 M、N 分别是边BC、CD 上的点，且满足，则的取值范围是 1，4 考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题 分析：先以所在的直线为 x 轴，以所在的直线为 x 轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个
11、点的位置得到坐标之间的关系，表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得到自变量的取值范围，做出函数的范围，即要求得数量积的范围 解答：解：以所在的直线为 x 轴，以所在的直线为 x 轴，建立坐标系如图，AB=2，AD=1，A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），设 M（2，b），N（x，1），b=，=（2，），=，1，即 14 故答案为：1，4 点评：本题主要考查平面向量的基本运算，概念，平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是表示出两个向量的坐标形式，利用函数的最值求出数量积的范围，本题是一个中档题目 13（4 分）（2012上海）已知函数 y=f（x）的图象是折线段 ABC，
12、其中 A（0，0）、C（1，0），函数 y=xf（x）（0 x1）的图象与 x 轴围成的图形的面积为 考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法 专题：计算题；压轴题 分析：先利用一次函数的解析式的求法，求得分段函数 f（x）的函数解析式，进而求得函数y=xf（x）（0 x1）的函数解析式，最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可 解答：解：依题意，当 0 x 时，f（x）=2x，当 x1 时，f（x）=2x+2 f（x）=y=xf（x）=y=xf（x）（0 x1）的图象与 x 轴围成的图形的面积为S=+=x3+（+x2）=+=故答案为：点评：本题主要考查了分段函数解析式的求法，
13、定积分的几何意义，利用微积分基本定理和运算性质计算定积分的方法，属基础题 14（4 分）（2012上海）已知，各项均为正数的数列an满足 a1=1，an+2=f（an），若 a2010=a2012，则 a20+a11的值是 考点：数列与函数的综合 专题：综合题；压轴题 分析：根据，各项均为正数的数列an满足 a1=1，an+2=f（an），可确定 a1=1，a7=，利用 a2010=a2012，可得 a2010=（负值舍去），依次往前推得到 a20=，由此可得结论 解答：解：，各项均为正数的数列an满足 a1=1，an+2=f（an），a1=1，a7=，a2010=a2012，a2010=（负
14、值舍去），由 a2010=得 a2008=依次往前推得到 a20=a20+a11=故答案为：点评：本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念理解条件 an+2=f（an），是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）15（5 分）（2012上海）若i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根，则（）A b=2，c=3 B b=2，c=1 C b=2，c=1 D b=2，c=3 考复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件 点：专题：计算题 分析：由题意，将根代入实系数方程 x2+bx+c=0 整理后根
15、据得数相等的充要条件得到关于实数 a，b 的方程组，解方程得出 a，b 的值即可选出正确选项 解答：解：由题意 1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 1+2i2+b+bi+c=0，即，解得 b=2，c=3 故选 D 点评：本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题 16（5 分）（2012上海）对于常数 m、n，“mn0”是“方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆”的（）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的
16、判断 专题：常规题型 分析：先根据 mn0 看能否得出方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出 mn0，即可得到结论 解答：解：当 mn0 时，方程 mx2+ny2=1 的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1 时，方程 mx2+ny2=1 的曲线不是椭圆而是圆；或者是 m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆时，应有 m，n 都大于 0，且两个量不相等，得到 mn0；由上可得：“mn0”是“方程 mx2+ny2=1 的曲线是
17、椭圆”的必要不充分条件 故选 B 点评：本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于 0 且不相等，本题是一个基础题 17（5 分）（2012上海）在ABC 中，若 sin2A+sin2Bsin2C，则ABC 的形状是（）A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 不能确定 考三角形的形状判断 点：专题：三角函数的图像与性质 分析：利用正弦定理将 sin2A+sin2Bsin2C，转化为 a2+b2c2，再结合余弦定理作出判断即可 解答：解：在ABC 中，sin2A+sin2Bsin2C，由正弦定理=2R 得，a2+b2c2，又由余弦定理得：cosC=
18、0，0C，C 故ABC 为钝角三角形 故选 A 点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题 18（5 分）（2012上海）若（nN*），则在 S1，S2，S100中，正数的个数是（）A 16 B 72 C 86 D 100 考点：数列与三角函数的综合 专题：计算题；综合题；压轴题 分析：由于 sin0，sin0，sin0，sin=0，sin0，sin0，sin=0，可得到 S10，S130，而 S14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案 解答：解：sin0，sin0，sin0，sin=0，sin0，sin0，sin=0，S1=sin0，S2=sin+si
19、n0，S8=sin+sin+sin+sin+sin=sin+sin+sin0，S120，而 S13=sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin=0，S14=S13+sin=0+0=0，又 S15=S14+sin=0+sin=S10，S16=S20，S27=S13=0，S28=S14=0，S14n1=0，S14n=0（nN*），在 1，2，100 中，能被 14 整除的共 7 项，在 S1，S2，S100中，为 0 的项共有 14 项，其余项都为正数 故在 S1，S2，S100中，正数的个数是 86 故选 C 点评：本题考查数列与三角函数的综合，通过分析 sin的符号，找出 S1，S
20、2，S100中，S14n1=0，S14n=0 是关键，也是难点，考查学生分析运算能力与冷静坚持的态度，属于难题 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）19（12 分）（2012上海）如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，D 是 PC 的中点，已知BAC=，AB=2，PA=2，求：（1）三棱锥 PABC 的体积；（2）异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：常规题型；综合题 分析：（1）首先根据三角形面积公式，算出直角三角形 ABC 的面积：SABC=，然后根据PA底面 ABC，结合锥体体积公
21、式，得到三棱锥 PABC 的体积；（2）取 BP 中点 E，连接 AE、DE，在PBC 中，根据中位线定理得到 DEBC，所以ADE（或其补角）是异面直线 BC、AD 所成的角然后在ADE 中，利用余弦定理得到cosADE=，所以ADE=arccos 是锐角，因此，异面直线BC与AD所成的角的大由解得：1x1 由 0lg（22x）lg（x+1）=lg1 得：110，x+10，x+122x10 x+10，由，得：（2）当 x1，2时，2x0，1，y=g（x）=g（x2）=g（2x）=f（2x）=lg（3x），由单调性可知 y0，lg2，又x=310y，所求反函数是 y=310 x，x0，lg2
22、点评：本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题 21（14 分）（2012上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处，如图，现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发 t 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t（1）当 t=0.5 时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？考点：圆锥曲线的综合
23、 专题：应用题 分析：（1）t=0.5 时，确定 P 的横坐标，代入抛物线方程中，可得 P 的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为 v 海里，经过 t 小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得 vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论 解答：解：（1）t=0.5 时，P 的横坐标 xP=7t=，代入抛物线方程中，得 P 的纵坐标 yP=32 分 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时4 分 由 tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东 arctan 弧度6 分（2）设救援船的时速为 v 海里，经过 t 小
24、时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）由 vt=，整理得10 分 因为，当且仅当 t=1 时等号成立，所以 v21442+337=252，即v25 因此，救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船14 分 点评：本题主要考查函数模型的选择与运用选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题 22（16 分）（2012上海）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C：2x2y2=1（1）设 F 是 C 的左焦点，M 是 C 右支上一点，若，求点 M 的坐标；（2）过 C 的左焦点作 C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为 k（）的直线 l 交
25、C 于 P、Q 两点，若 l 与圆 x2+y2=1 相切，求证：OPOQ 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系；双曲线的简单性质 专题：计算题；综合题；压轴题；转化思想 分析：（1）求出双曲线的左焦点 F 的坐标，设 M（x，y），利用|MF|2=（x+）2+y2，求出x 的范围，推出 M 的坐标（2）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出平行四边形的面积（3）设直线 PQ 的方程为 y=kx+b，通过直线 PQ 与已知圆相切，得到 b2=k2+1，通过求解=0证明 POOQ 解答：解：（1）双曲线 C1：的左焦点 F（），设 M（x，y），则|MF|2=
26、（x+）2+y2，由 M 点是右支上的一点，可知 x，所以|MF|=2，得 x=，所以 M（）（2）左焦点 F（），渐近线方程为：y=x 过 F 与渐近线 y=x 平行的直线方程为 y=（x+），即 y=，所以，解得 所以所求平行四边形的面积为 S=（3）设直线 PQ 的方程为 y=kx+b，因直线 PQ 与已知圆相切，故，即 b2=k2+1，由，得（2k2）x22bkxb21=0，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则，又 y1y2=（kx1+b）（kx2+b）所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2 bk+1bk6 分 ak+bmk+1=C，ak+1+b
27、mk=C，ak+1ak=bmk+1bmk0，即 ak+1ak，8 分 bk=ak10 分（3）对 k=1，2，25，a4k3=a（4k3）2+（4k3），a4k2=a（4k2）2+（4k2），a4k1=a（4k1）2（4k1），a4k=a（4k）24k，12 分 比较大小，可得 a4k2a4k1，a1，a4k1a4k2=（a1）（8k3）0，即 a4k2a4k1；a4ka4k2=2（2a1）（4k1）0，即 a4ka4k2，又 a4k+1a4k，从而 b4k3=a4k3，b4k2=a4k2，b4k1=a4k2，b4k=a4k，15 分（b1a1）+（b2a2）+（b100a100）=（a2a3）+（a6a7）+（a98a99）=（a4k2a4k1）=（1a）（8k3）=2525（1a）18 分 点评：本题考查数列的应用，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3）观察，分析寻找规律是难点，是难题