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1、2023年高考一轮复习精讲精练必备第4讲函数及其性质一、知识梳理基本概念1.函数的概念2.同一个函数概念一般地，给定两个非空实数集A与8,以及对应关系了,如果对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称/为定义在集合A上的一个函数，记作y=)，x W A三要素对应关系y=r),x G A定义域自变量取值的范围值域所 有 函 数 值 组 成 的 集 合x W A(1)前提条件：定义域相同;对应关系相园.(2)结论：这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同
2、的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的注集.单调性与最值1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y=*x)的定义域为。，且/UO如果对任意X l，X21,当沏%2时，都有心1),且 一幻=一/l x),则称y=/a)为奇函数关于原点对称(1)周期函数：对于函数y=/U),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有人%+7)=/U),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数#x)的所有周期中存在一个最小的正
3、数，那么这个最小正数就叫做兀r)的最小正周期.二、考点和典型例题1、函数的概念【典 例1-1】(2022河南长葛市第一高级中学模拟预测(理)已知/(x)是定义在R上的奇函数，且x 0 时，x）=x（x-2 五）,则“9）+T）=（）A.27 B.-2 7 C.54 D.-5 4【答案】A【详解】由已知可得/（9）=9x（9-2 内）=27,/（-4）=-/（4）=-4X（4-2V4）=0,因 止 匕，/（9）+/（T）=27 .故选:A./、fx+4,x 6,【典 例 1-2】（2022 河南长葛市第一高级中学模拟预测（文）若函数 x）=1 x+4）6 则/（-2022）=（）A.10 B.9
4、 C.12 D.11.【答案】A【详解】当x.=/（2）=/（6）=6+4=10.故 选:A.【典 例 1-3（2022北京模拟预测）函 数/（*）=后 工 1+怆（2-力的 定 义 域 是.【答案】H p 2）【详解】f2x+l0 1由题意可得，.八，解之得-彳。0 2则函数 力=岳 工 I+lg（2-x）的定义域是故答案为：-；,2）【典 例 1 4（2022浙江模拟预测）已知/（x）=j/0+）3,则/（l ogQh.【答案】11【详解】由于 1 clog232,2 1 +log233,32+log23 一 1若/3)=0,则实数。的值等于 2/-6,x 一 13【答案】【详解】当a T
5、 即a+l 0 时，/()=5-1,贝 iJ/(-/j=0=a=T (舍)a+U a+2当。一 1 即。+10时，f(ci)=-2a-65 3I：26Z 6 =H:当_2 _ 6 _ 时，即 无解2-2a-6 +1综上，a=-j3.3故答案为：-2、单调性及其应用【典例2-1】(2022北京二模)下列函数中，与函数y=V 的奇偶性相同，且在(0,位)上有相同单调性的是()A.=(；)B.y=lnxC.y=sinx D.y=x|x|【答案】D【详解】由y=_?为奇函数目在(0,+oo)上递增，A、B：y=(P =仙了非奇非偶函数，排除；C：y=sinx为奇函数，但在(0,+8)上不单调，排除；-
6、x,x 0 /.D：y=f(x)=0故选：D【典例2-2】(2 0 2 2贵州遵义三模(文)若奇函数f(x)在(0,+8)单调递增，且/(1)=0,则满足盘 0，当时，f(x)0,又整。吃;或吃:,解得:一 1 vxvO 或 1 v x v 2满 足 省 。的x的取值范围是一 仆。或1/(l x),则x的取值范围是()A.卜 吟【答案】C【详解】C.1 ,+o o3七,+8解：力 定义域为域又-加7 7二 一 备=-*),所以“X)是奇函数，当x=0时，0)=0,当x 0 时,易知/(x)在(0,+8)上递增,所以/(X)在定义域R 上递增,又/(2%)1 -X),所以 2 x l-,解得X
7、；,故选：C【典例2 4 (2 0 2 2 山西太原二模(文)已 知 函 数 力=:-占，则()A./(同在(-,2)上单调递增B./(x)在(2,+8)上单调递减C.y=/(x)的 图 象 关 于 直 线 对 称D.)=/(%)的图象关于点(1,0)对称【答案】C【详解】因为/(-2)=-5-=/(-1)=-1-=-2 -2-2 4 -1-2 3所以(-2)/(1),所以A不正确;因为/(3)=；-1 =一 I，4)=；一=一：，所以/(3)/(4),故 B不正确;1 12 x 2 x 2因为/(2-x)=1 1 1 1-1=-2-x x x x-2=/(X),所以y=/(力 的图象关于直线
8、x=对称，故 c正确；在/-一 二 的 图象上取一点(-2,-3,则其关于点(1,0)的点为(4 二)，x x-2 4 4因为1(4)=-；*；,所以点(4,；)不在函数/(x)的图象上，故 y=f(x)的图象不关于点(1,0)对称，故 D不正确.故选：C【典例2-5】(2 0 2 2.贵州遵义三模(文)已知函数 x)满足：/=0；4 x)=/(x)；在(2,3)上单调递减，写出一个同时满足条件的函数/(=【答案】-d+4 x (答案不唯一)【详解】由题意可知，“X)的图象关于直线X=2 对称，且在(2,3)上单调递减，且 0)=0,可取 力=-幺+以 满足条件.故答案为：f+4 x (答案不
9、唯一).【典例2-6】(2 0 2 2 全国三模(文)函数/(x)=一?的单调递减区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.-x-2,x0【答案】()【详解】当x 0 时，f M =-x-2,则其在(Y O,0)上递减，当x N O 时,/(x)=(x-2)e 则尸3 =e*+(x2)e*=(x-l)e*,当0 4 x 0,此时函数在区间xe(0,5)单调递增，而图象中先增后减，所以C不符合题意.故选：D.【典例3-3 (2 0 2 2 上海市市西中学高三阶段练习)已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列 4 是等差数列，若前20 22项和小于零，则/(4)+/(砧+1+/
10、。22)的值()A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负【答案】B【详解】函数f(x)是 R上的奇函数且是增函数，./(0)=0,且当x 0,/U)0；当x 0,/(x)0.设等差数列前项和为S,由题可知8 0 22 0,则(4+%O22)X2 O 2 2 0,即 4+叼0 22 0,贝 1w“+电。23.“1 ；则当cos;rx=l,%2+1 =1,即x=0 时，/(x)取得最大值1,D 正确.故选：C.【典例4-2】(2022吉林白山三模(理)已知函数 x)=l n x,若对任意玉，X2G(0,-KO),x；/(x j-/(x 2)*x2(啊-)恒成立，则?的最大值为()A.-
11、1 B.0 C.1 D.e【答案】C【详解】由题知-/(七)之“2G 叫-电)对任意4，工 2 (0，田)恒成立，等价于无:n x2(mx-x2),即I n ,即I n N (加一三)对任意玉,9(0,+o o)恒成立，不妨设占2%。，令=上，则r z i,2则原式等价于即，4 f l n f +；在口,内)恒成立，设g(r)=f l n f +；,r l,则gO lnf+l-.JIj O,所以g(r)在 1,茁)上为增函数，所以g m i n =g6=l，所以,Wg Q)而“=1,即加的最大值为1,当且仅当r =l,即与=X2时取得最大值，故选：C.X2 X 0【典例4-3】(20 22江苏
12、南京 三模)已 知 x)=；一八，若V x Nl，f Cx+2m)+m f(x)0,则实数-x ,x 0 ,符合题意；用 0,g p f x+2m)-mf x)=f显然 x)在 R上递增，则x+2皿 y P m x对V x N 1恒成立(l-C，x +2?0 对 V x Wl 恒成立1 -J-m 0 1则：._ -m 0 4综上，m e 1-；,+8),故 选:B.【典例44(20 22全国高三专题练习)(多选题)己知函数.f(x)=l n(e 2，+l)+o x(a e R),下列说法正确的 是()A.若 y =/(x)是偶函数，则a =1 B.若“=则函数y =f(x)是奇函数C.若。=-
13、1,则函数了：”组存在最小值小？D.若函数y =/(x)存在极值，则实数4的取值范围是(-2,0)【答案】A C D【详解】对于 A,函数的定义域为 R,且/(-x)=/(x),则 I n(e 2，+l)+a(x)=l n(e 2，+l)+奴，则 I n e丁+1=-2ax,则 l n e=2 a r,故2x =2o x 恒成立，故a=l,故 A 正确;e-2-r+l对于 B,若“=_；，则/(x)=l n(e 2+l)；x,/(l)=l n(e2+l)-i 0 ,/(-l)=l n(e-2+l)+i 0 ,/不成立，故 B 不正确；对于 C,当a =1E1寸，/(x)=l n(e2v+l)-
14、x,可 得(制=卒二一1 =1,e l e x+l令(x)=0,B|Jl-y =0,解得x =0,所以当x e(-a),0)时，f (x)0,/(x)单调递增，所以/(x)而 n=0)=l n 2,所以C 正确：对于D,fx)=-+a =(2+a)-7 ,因为f。)存在极值，则/(%)=0 行解，令广。)=0,即e2+1 e +1(2+a)-7 =0,e +1所以e 2*=二贝 I 二 0,即“(a +2)0,解得-2 a 0 则 x 0 g(x)在(7,0)上递减，在(0,+e)上递增，则 g(x)2 g(0)=10二e x即f(x)=e*不存在不动点，不正确；/(x)=l 为偶函数，显然/
15、(x)只有一个不动点；不正确；(/()=为奇函数，显然/(x)有无数个不动点)f(x)=l 为周期函数，显然/(力只有一个不动点；不正确；若/存在不动点，设为。，即；/(/(%)=/()=%,则/(/(*)也存在不动点，正确.故答案为：.【典例4-6】(2 02 2 上海市市西中学高三阶段练习)已知函数”x)(x e R)是偶函数，且/(2+x)=/(2-x),当x e 0,2 时，/(x)=l-x,贝 历 程=在区间-10,10 上的解的个数是-|x|【答案】10【详解】函数尤)(尤G R)是偶函数，G)=/(%)，/(2 +x)=/(2 -x)，/(x)的图象关于x =2 对称，由得，/(x+2)=/(x-2),即 f(x)=f(x+4),二函数7 U)的一个周期为4,画出函数/(x)和函数y =丁匕在区间-10,10 上的图象，一|X|方程 x)=!在区间i o,i o 上的解的个数就是这两个图象的交点个数，-k l由图象可知方程解的个数为10,故答案为：10.