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1、2023年高考一轮复习精讲精练必备第5讲指对易函数及其应用一、知识梳理指数和指数函数1.根式的概念及性质(1)概 念：缶 称 为 根 式，称为根 指 数,。称为被开方数.(2)性 质：(%)=a；当 为 奇 数 时，跖 a,当 为偶数时，ya=a.2.分数指数塞i n n规 定：正 数 的 正 分 数 指 数 幕 的 意 义 是 雨=版3 0,2,G N*,且/7 1)；正数的负分数指m 1数 累 的 意 义 是，=(0,祖，6N*,且 1)；0的正分数 指 数 幕 等 于0；0的负分数指n迎数用 没 有 意 义.3.指数寨的运算性质实 数 指 数 塞 的 运 算 性 质:优。=优+,(优)=
2、工，(ab)=ab、,其 中a 0,b0,s,/G R.4.指数函数及其性质(1)概 念：一般 地，函 数y=一 称 为 指 数 函 数,其 中。是常数，。0且a#l.(2)指 数 函 数 的 图 像 与性质a0 6!0过定点过定点(0,1),即x=0时，y=1函数值的变化当 x 0 时，y l；当 A 0 时，0 y 0 时，0 1；当 x l单调性在R上是增函数在R上 是 减函数对称性y=与 尸S”的图像关于y轴对称对数和对数函数1.对数的概念在表达式泊=N(a 0且a W l，N G 0,+8)中，当。与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幕指数b称为以。为底N的对数，记作b=
3、To%N,其中a称为对数的底数，N称为对数的真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：H o gaN=N；1 0 gM=。0,且aW l).(2)对数的运算性质 loga(MN)=lo g“M+lo g“N,lo g“M。=alogaM,A M(3)1 0 g“X；=1 0 g“M 1 0&tN.其中，a 0且 aW l,M0,N0,aG R.(3)换底公式：lo ga=出聆(a 0,且 aW l,bQ,c0,月.c W l).3.对数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y=lo g“x称为对数函数，其中a是常数，。0且aW l.对数函数的图像与性质4.指数函数与对数函数的关系
4、al0 1图像尸O/(1.0)O,x=l)=logov(0a l时，y 0当 0 x 0,当 x 时，y 0,且 aW l)与对数函数y=lo gx m 0,且 aW l)互为反函数，它们的图像关于直线y=x 对称.幕函数和二次函数L器函数(1)基函数的定义一般地，函数 =靖称为幕函数，其中a 为常数.常见的五种幕函数的图像(3)累函数的性质所有的基函数在区间(0，+8)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点(1,1).如果a 0,则幕函数的图像通过原点，并且在区间 0,+8)上是增函数.如果a+(aW O),顶点坐标为(?，).零点式：/(x)=a(x x i)(x X 2)
5、(aW 0)，x i,改为八)的零点.(2)二次函数的图像和性质定义域函数y=ax1-bx+c（。0）y=ajc2+bx-cm o）图像(抛物线)jJ7 y三:2R值域4ac/rL 4 a，+8,)(-8.4ac-b11，4。对称轴bx=二茏顶点坐标(b 4。一%-2cr 4a)奇偶性当匕=0时是偶函数，当匕#0时是非奇非偶函数单调性在（-8,一5上是遮函数；在 一/，+8）上是增函数在（一8,一盘上是增函数；在一息，+8）上是减函数二、考点和典型例题1、指数和指数函数【典 例 1-1 （2 0 2 0.黑龙江.东宁市第一中学高二阶段练习）关于函数/1）=34+2-3的结论正确的是（）A.值域
6、是（0,8 1 B.单调增区间是（7）,1C.值域是 8 1,物）D.单调减区间是（【答案】AB【详解】令+2x+3=-（x-lJ +4 ,则（x）V4,又/（x）=3 为增函数，所以0 0 且。工1）的图象如下图如上图所示，4乂2,4,4 分别是%（x）=e,绕着原点逆时针方向旋转:，p 与，万，所得到的的曲线,根据函数的定义可知，这四个曲线都符合函数图像的定义.故选：ABCD.【典 例 1-4】（20 22.重庆.模拟预测）已知l a b e （e 为自然对数的底数），则（）,ab ab ahA.ah py C.n.PT D.b y【答案】A D【详解】因为 l a b a a =l,ba
7、 b=l,0 lo gA a o,解得0 x e,所以 x）在（0,e）上单调递增,故f（a）/（e）,r 1nI n。I n Z?I n e 通 ,曲即二-丁三，则/e 丁，故a a 6“e 丁，故选：AD.【典 例 1-5】（20 22全国高三专题练习）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中我份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则 这%份核酸全为阴性，因而这4 份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这无份核酸再逐份检测，此时，这 无份核酸的检测次数总共为我 +
8、1 次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为（0 1）,若=1 0,运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式.（参考数据：lg0.794=-0.1）（）A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1【答案】CD【详解】设混合检测分式，样本需要检测的总次数y 可能取值为U ip（y=i）=（i-p）,p（y=n）=i-（i-p）10故y 的分布列为：Y111P(l-p)10l-(l-p)10.1.E（y）=lx（l-p）l0+l lx l-（l-p）l（,=ll-1 0 x（l-p）l（,设逐份检测方式，
9、样本需要检测的总次数X,则 E（X）=10要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需E（y）E（X）即 11 10 x（1-0 严 ,Epi-p10-1x 1g0.794-0.1,.1-p10l8-794=0.794,.-./?1-0.794=0.206/.0/?hc B.b a c C.b o a D.c a b【答案】A【详解】/?=log47=log2/7,因为函数y=log2X为（。，物）上的增函数，2V7 3,所以log22 log26 log?3,故l b a B.acbc D.c ab【答案】C【详解】.-3=6 .1.a=log36=log33+log32=l+log32；1.-5
10、A=10.-./=log510=log55+log,2=l+log52;,.,c=lg4+lg5,c=1g20 1g 10+1g2=1 +1g2；.llog23log25log52 lg2,;.a h c.故选：C.【典例2-5】（2022.湖北.荆门市龙泉中学一模）有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当 很大时，1 +1+!+l ln/7 +y,其中/称为欧拉-马歇罗尼常数，0.577215664901,至今为止都还不确定/是有理数还是无理数.由于上式在很大时才成立，故当较小时计算出的结果与实际值之间
11、是存在一定误差的，已知1112=0.693,ln3=1.099.用上式估算出的ln6与实际的In6的误差绝对值近 似 为（）A.0.073 B.0.081 C.0.122 D.0.657【答案】B【详解】解：依题意l+:+!+!+:+,B ln 6+/2 3 4 5 6所以 In6 H l+；+g+；+（+-y =2.45-y=1.8728,又 In6=ln2+ln3 ao.693+1.099=1.792所以估算出的In 6 与实际的In 6 的误差绝对值近似为1.8728-1.792=0.0808 0.081 ；故选：B3、幕函数和二次函数【典例3-1】（2022 浙江高三专题练习）下列塞函
12、数中，定义域为R的 是（）_111A.y =x B y=x 2 y=D,y =x2【答案】c【详解】对选项A,则有：X W O对选项B,则有：x 0对选项C,定义域为：R对选项D,则有：x 0【典例3-2】(2 02 2 全国高三专题练习)基函数f(x)=2 加+1 片 用 在(0,+8)上为增函数，则实数m的 值 为()A.-2 B.0 或 2 C.0 D.2【答案】D【详解】因为“X)是基函数，所以?2 一 2?+1 =1,解得机=0 或加=2,当机=0 时，/(力=尸 在(0,+向 上为减函数，不符合题意，当机=2时，/(力=/在(0,+8)上为增函数，符合题意，所以，=2.故选：D.【
13、典例3-3】(2 02 2 安徽蚌埠模拟 预 测(理)若幕函数 力=/(06/?)满足(a +l)/(x)=，则下列关于函数/(x)的判断正确的是()A.“X)是周期函数 B.“X)是单调函数C./(X)关于点(。,1)对称 D.f(x)关于原点对称【答案】C【详解】由题意得9+1)犬=(,即(a+l)K =e x ,故e-a-l=0,令g(x)=e，-x-1,则g x)=e，-1,当x-o o,0)时,g(x)0,则g(x)单调递减;当x 0,+0,则g(x)单调递增；所以g(x L=g(x)=O,因此方程e。-a-l =O 有唯一解，解为a =0,因此/(x)=x =l(x*0),所以不是
14、周期函数，不是单调函数，关于点(0,1)时称，故选：C.【典例3-4】（2 0 2 2浙江模拟预测）已知a0,函数x）=x-优（x 0）的图象不可能是（）【答案】C【详解】当a =l时，/（x）=xa-aA=x-l（x 0）,此时函数/（x）为一条射线，且函数x）=x 1在（O,+s）上为增函数，B选项符合：当时，函数y =在（0,+e）上为增函数，y =优在（0,+句 上为减函数，所以函数/（）=-/在（0,+4）上为增函数，此时函数在（0,+8）上只有一个零点，A选项符合；当 时,、一+8时-，函数y =的增长速度远小于函数y =的增长速度，所以xf+8时，函数x）=x 屋一定为减函数，选
15、项D符合，C不符合.故选：C【典例3-5】（2 0 2 1 湖 南 长沙一中高三阶段练习）已知函数/（同=2），若当xeR时，/仁，）+/（-26）（）恒成立，则实数”的取值范围是（）A.（7 3,+o o）B.卜8,6）C.（3,+o o）D.（,3）【答案】C【详解】由题意，f(_x)=_2)=_/(x)，即f(x)为奇函数，同时也为增函数，,*)+，停-2 可0,即*)-/值-2可=1 2 凡1).e2石 即e+二 2 g 恒成立，a-丫+2屈,，若不等式恒成立，只需“(-(巧 2+2任,m ax令 g(x)=-(e)2+2 e =-(ex-/3)2+3 3.故选：C【典例3-6】(20
16、21四川省绵阳实验高级中学高三阶段 练 习(理)基函数/(”=(疗-2m-2 产 在(0,+s)上单调递增，则g(x)=a i+l(a l)的图象过定点()A.(-1,1)B.(-1,2)C.(3,1)D.(3,2)【答案】D【详解】解：因为嘉函数 力=(-2机-2)/在(0,+8)上单调递增，所以 八 ，解得加=3,所以g(x)=“T+l(a l),mQ故令X 3=0 得x=3,所以g(3)=a i +i=2(a i)所以g(x)=a i+l(a l)的图象过定点(3,2)故选：D4、综合应用【典例4-1】(2022 安徽 南陵中学模拟 预 测(文)已知10=兀,5%=3,log3C=-J,
17、则”，匕，c 的大小关系 为()A.a bc B.b a c C.c a b D.acg3C=-g u 得，a=lg/t,=Iog53,c =34 ,由于c=3 2 =叠 (；,1),6 z =l g7 t /i o=,h=l o g53l o gs,而1 31 3。=忑 ,53 1 0 85 5 5 =s，所以a c.故选：D.2*+3 x 0【典例4-2】(2 0 2 2北京二模)若函数f(x)=,、，一 的定义域和值域的交集为空集，则正数(x-2),0 x 0,(x-2)90 x a当xM O时x)=2，+3,则/(x)在(F,0 上单调递增,所以X)G(3,4卜要使定义域和值域的交集为
18、空集，显然0=3,当0vxa时/(x)=(x-2)2,若。22则/(2)=0,此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，若0”2时”X)在(0,可上单调递减，此时“x)e (a-2)2,4),则”x)w (a-2)2,4)U(3,4,所以卜(“-2),解得即a o,i)0 a /(22)/(33)1 1 1C./(22)/(33)/(l n-)1 1 1B./(33)/(l n-)/(22)1 1 1D./(33)/(22)/(l n-)【答案】D【详解】由/(X)为偶函数且在(y,0)上单调递减知：“X)在(o,+8)上单调递增，f(lng)=f(-ln 2)=/(ln2),(1、6/6X l
19、n2 1,3 1 ,22=23=8 2 In2,)/1 1 1所以/)2 2)/(In 万).故选：D.【典例4 4 (2022 江苏二模)已知实数。，b,c,满足 nq=2，=cW，则下列关系式中不可能成立的是()A.abc B.a c bC.c a h D.c h a【答案】D【详解】设 l n =2 b=c W=L ，贝lj a =e，b=l o g21 ,c =2 9在同一坐标系中分别画出函数丫=6*,y =I Og2X,y 的图象，当f=W 时，a c b,当=%3时，abc,山此可以看出，不可能出现c a这种情况,故选：D.【典例4-5】（2022四川 内江市教育科学研究所三模（理）已 知 函 数 满 足：对任意x e R,卜-/(x-；).当x e T,0)时，f(x)=y-l,则 晦 9 0)=()A。11 1 7 1 7B.一-C.D.9 27 27【答案】C【详解】因 为 小+）m，则/（x+g +g）=_/（x+g _ g），即/（x+l）=_/（x），所以/(x+2)=/(x+l)=/(x),即T =2,所以/(l o g3 90)=/1 o g 3 果=-/(l o g,引，,10 r f(.1 0)l o g,.1 0.1 7因为噬 3药 e T，。)，所 以/1 1 吗 司=3 27-1 =-1 =-.17所以l o g 3 90）=药,故选：C