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1、2023年高考一轮复习精讲精练必备第10讲导数与函数的单调性一、知识梳理1 .函数的单调性与导数的关系2.利用导数判断函数单调性的步骤条件恒有结论函数y=/W在区间(a,b)上可导/Wo v)在(a,加上单调递增/(x)0/U)在(a,初上单调递减f(x)=0./U)在他，加上是常数函数第1步，确定函数的定义域;第2步，求出导函数出x)的零点;第3步，用 一(X)的零点将以处的定义域划分为若干个区间，列表给出了(X)在各区间上的正负，由此得出函数y=*x)在定义域内的单调性.二、考点和典型例题1、不含参函数的单调性【典 例1-111.(2022.湖北.房县第一中学模拟预测)已知函数力=芸,不等
2、式f(x2)x+2)的解 集 为()A.(o,l)U(2,+)B.(1,2)C.(-00,-2)U(L+c0)D.(2,1)【答案】B【详解】解：因为/(xXM,所 以/(力=7二+1)2/(x+2)等价于d x+2,解得一 lx 2 时,_ f(x)0,.人 x)的单调递增区间是(2,+s).故选：D.3.(2 0 2 2 河南模拟 预 测(文)已知函数“X)的导函数为f (x),若对任意的xeR,都有/(x)r(x)+2,K/(1)=2 0 2 2,则不等式“X)-2 0 2 0 e i/，(可+2 ,eex所 以/(x)f(x)+2 0,即g (x)0,所以g(x)在R上单调递减,因为1
3、)=2 0 2 2,所以g J-2=陋,因为/(x)2 0 2 0 e i 2,整理得这二 型 型，e e eA e所以g(x)l.故选：C.4.(2 0 2 2 浙江金华模拟预测)已知函数f(x)=l n x-法0 0,。0/?)(1)当b=0 时,讨论了。)的单调区间;9-/7 1(2)当。0 时，若/(%)有两个零点,电，且 内 求 证：-x7 0 时，f(x)在 0,e 上减，在g,+o o)上增.(2)方法一：参数分离/(x)=xr tl n x-Z?x =O nx=b有两个不同的零点(演 0),则 hx)=xa2(a-l)l n x +1 令(幻=产2 3-1)心+1 =。得 一C
4、当O jv工 时，(幻，所以：在，育递增；7当x e占 时，(x)l时，(x)0.作出(x)的图象如下：1 2 所以：1cx，所以，x2 exa -+1 =-；12-a-a卜面证明：X)V-.要证：X,4-bx2 =Z?eab eab ea所以：bx-,W-o In x-y W-ea ea由(1)得)/(/：=-!-.所以MW，原不等式得证.)ea eab2 c i 1综上所述：1 a eab方法二：部分参数分离零点项 X2，g(x)=xlnx.从而g(%)=如应(%)=如,占,电为 y=g(x)的图像与y=bx交点的横坐标.对给定的a,令毛使得/(%)=/(与)=，xlnx0-hxo=0Xg
5、 (lrir()+l)-Z?=0得x 一e二，存在且唯一，此时N=g(x)的图像与了=区 有唯一交点.人0 一 C又g=0，由(1)得，当。0)又因为%Xo=e j -+l 成立.-a5.(2022河南模拟 预 测(文)已知函数 x)=x J (x 0),(a 0 且a w l).(I)当a=2 时，求/(x)的单调区间：若函数刀(x)=/(x)-l有两个零点，求”的取值范围.【答案】增区间为(0,高)，减区间为(备,+f(2)(l,e)U(e,”)【解析】当a =2 时，/(X)=X2-2-J,工,(、2 x-2r-2rln 2-x2 x(2-x ln 2)当x e(0,2)时，/(x)0,
6、当x e(*,+oo)时/(x)0；故/(x)的单调递增区间为(0,2)，递减区间为(高,+8).由题意知 x)=i 在(0,y)有两个不等实根，/(x)=1 无 =a*=I n%=x ln a o ,x a令g(x)=T，g，(x)=1 -V,所以g(x)在(o,e)上单调递增，在(e,+a)上单调递减；又x -0*，g(x)T-0,作出g(x)的图象如图所示：na由图可知0 1 且a w e,即 a的取值范围为(l,e)U(e,y).2、含参函数的单调性【典例2-1 1 I.(2 0 2 2 四川绵阳 二 模(文)若x=2 是函数/(力=9+2(。2)x 4 ln x 的极大值点，则实数”
7、的取值范围是()A.(F-2)【答案】A【详解】B.(-2,+oo)C.(2,+oo)D.(-2,2)(x)=2 x +2(a-2)-网=242(-2-4=2(x-2)(x +a),(0)X X X若a 2 0 时，当x 2 时，/(x)0；当0 c x 2 时-，/(x)0；则/(x)在(0,2)上单调递减；在(2,+8)上单调递增.所以当x =2 时，“X)取得极小值，与条件不符合，故满足题意.当a 0 可得0 x -a；由/(x)0 可得2 c x e-a所以在(0,2)上单调递增；在(2,-a)上单调递减，在(-凡”)上单调递增.所以当x=2 时，“X)取得极大值，满足条件.当一 2
8、a 0 可得0cxe或 x 2；由/(x)0 可得一a x 2所以在(0,-。)上单调递增；在(-凡2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.所以当*=2 时,/(x)取得极小值，不满足条件.当a =-2 时，/(x)N O 在(0,+向 上恒成立，即/(x)在(0,+8)上单调递增.此时/(X)无极值.综上所述：a 0 ,设g(x)=x-ln x-l-。(工-1)2,xG(0,1 ,则 g，(x)七 W),X当a V O 时，显然g (x)4 0,当时，g (x)4 0 在x e(0,l匕也成立，所以“4；时，g(x)在(0,1 上单调递减，g(x g =0 恒成立；当a 时，当0 v x
9、时，g (x)。，i -x 0,2 2a 2a所以g(x)在(0,5 上单调递减，在 ，1)上单调递增，于是，存在天(1,1),使得g(X)g =0,不满足g(x)2 0,舍去此情况,综上所述，a 0 时，“X)有极大值点和极小值点B.当。0 时，/(x)有最大值D.当0 时，f(x)的最小值小于或等于0【答案】D【详解】X+6 7 +1由题设，f M =-7-=-7(x+1)2 X+l (X+1)2且xe(-l,+0 时/(x)o,则/(X)在(-l,w)上递增，无极值点和最大值，A、C错误；当”0 时，若 a)则 八 x)0,递增;所以,f(x)W/(T -a)=a +l +ln(a),即
10、f(x)无极大值点，有极小值点，B错误；令 g(a)=a +1 +ln(-a)且 a e(-,0),则 g,(a)=l +-=,a a当a 0,g(a)递增；当一1 a 0 时g(a)bB.当/M W(-1,0),a,be(f o,0)时，a bD.当m e(l,2),a,人 e(0,+oo)时，a,0)时，f(a)-f(b)=b 0,B P/()/(&).易 知/(x)=(me-2e+l),当m L0)时，r(x),故选项A正确，选 项 B错误.当a,A e(O,+0,B P/()/(Z?).当m l,2)时，令尸(x)=0,解得x=ln/n,所以x)在(f,-ln,)上单调递减，在(-I
11、ns)上单调递增,所以。)，故选项C正确，选项D错误.故选：A C.5.(2022广东佛山三模)已知函数f(x)=ln(x+l)-3-知 其中x 0,a eR.X(1)讨论/(x)的单调性；(2)当。=2(1寸，/是/(x)的零点，过点A&n(七+1)作曲线y =ln(x+l)的切线/,试证明直线/也是曲线,=川的切线.【解析】解：因为/(x)=ln(x+1)-凹一 1定义域为(0,+e),X所 以 八 所 士+十x2+cix+ax2(x+l)当。NO时，尸(外之。在(0,+8)上恒成立，所以函数/*)在(0,侄)上单调递增，没有减区间；当“0时，令/(x)=0时，-1，-4勺,W 2丘1 2
12、 2且石V 0 0得X -4a,所以/(X)的增区间为(一 十 呼-4,+82I 2)令/(x)0得0 工-1=-7 =X%+1所以点3（西,“）在切线/上.所以直线/也是曲线y =e-i的切线3、根据函数的单调性求参数【典例3-1 1 1.（2022福建南平三 模）对任意的西,毛4 1,3 ,当 士 气 时，%一-全吁0恒成立，则实数。的取值范围是（）A.3,+oo）B.（3,+oo）C.9,+oo）D.（9,+oo）【答案】C【详解】玉一马?；。，即 I n X|x,-I n x,令/（x）=x-|l n x,由题意得F（x）在（1,3上单调递减，故/（幻=1-94 0,即aN3 x在（1
13、,3上恒成立,则心9,故选：C2.（2022全国高三专题练习）若函数f（x）=log“（x 3-o x）（。0且”1）在 区 间 内 单 调 递 增,则。的取值范围是（）【答案】B【详解】函数/（x）=log （x3-词（a0,l）在区间（-g,o）内有意义,则（H a.0,a.一,2 2 4设r=则 y =log,J,t =3 x2-a（1）当。1时,y =l o g/是增函数,要使函数/（X）=log（x3-a x）（a 0,a#1）在区间（-g,0）内单调递增，需 使 r=d 一火在区间（-；,0）内内单调递增，则需使=3 x 2-4 2 0,对任意x e（-!。）恒成立，即aM3 1
14、对任意X（-2 O）恒成立；2 21 3 1因为x e（-；,0）时，0 3/:所以。0与矛盾，此时不成立.（2）当0 “（）1）在区间（-g,0）内单调递增，需使3“在区间（_；,（）内内单调递减，则需使=3/-a 4 0对任意x e （彳,0）恒成立，即a 3x 2对任意x e （-g,0）恒成立，1 3因为0 e （,0）时,0 3 x2 ,2 43所以 二，43又。1,所以:,a p C.a p D.a=20【答案】C【详解】因为导函数的图象为直线，且/(0)=0,所以函数f M为过原点的二次函数，设/(X)=加 +bx(a H 0),所以由导函数图象可知/(X)在,8,上单调递增，在
15、(-,水)上单调递减，则。1,得。2a,2a则/(1)=2+/20,/(1)=+h _。0,/z(-l)=-2a+0 01)=a -b v 0,所以 a =1/(-I)I +|r I =a +26,B A/(D I+f-l)=-a+2b,所以 a-/7 =(a +2b)-(-a+2b)=2a 0 恒成立，求实数2 的取值范围.【解析】函数 x)=e r(x+l)定义域为 R,求导得r(x)=-x e、，当x 0,当x 0 时，因此，函数/(x)在(F,0)上单调递增，在(0,+0 上单调递减，所以当x =0 时，函数/5)有极大值1,无极小值.(2)令 In 4 =%/n 芍=x?,即。=eA
16、,e”,则 t,In tx In r,=tf-t,-x2ex,=eX|-e;o o f(xy)=f (x,),e *e-2依题意，两个不等的实数小三满足/3)=/()，且不等式西+2当 0恒成立，不妨令占 0时,不x)0恒成立,而/(-D =o,因此有-1 西 。知，x2 -x 2 0，则有 -?0，而/(X)在(0,+8)上递A减,从而 有 小)=小即誓 士,两边取对数得：3+3心叫,X.X即 4 ln(x +1)丸 ln(l-)(1+2)苍 0,-1 玉 0,令 g(x)=A ln(x+1)A,ln(l-)(1+4)x ,AA,-lx0,则g(x)在(-L0)上单调递增，g(x)g(0)=
17、0,符合题意，当 0 /1 时，E P-l A-l 0,当；ll v x 0 时，g (x)0,g(x)在(几-1,0)上单调递减,当/l-l x g(0)=0,不符合题意，综上得：A 1,所以实数4的取值范围是口,田).4、函数单调性的应用【典例4-11I.(20 22.全国模拟预 测)已知函数/()=k-1|+公+1有两个不同的零点，则实数。的取值范围是()A.(f,-e)B.C.(-e,0)D.(-e,+?)【答案】A【详解】由题意知方程卜-1|+1 =-如有两个不同的实数根，令g(x)=,-l卜1 =作出g(x)的图象如图所示，I乙 C ,人(U数形结合可知直线=FX与函数g(x)的图
18、象在(0,+8)上有两个不同的交点.当直线y=-依 与函数g(x)的图象相切时，设切点为尸小,),贝！j%=-axtt,%=e ,则一%=e ，当x 0 时,g(x)=ex,则g，(%)=e.=-a,山口J 得%=1,g (%)=e*=e,-ae,得a -e,故选：A.2.(20 22全国模拟预 测)若关于x 的不等式也土生叶4 在(0,+8)上恒成立，则实数力的取值e范 围 为()A.(-o o,0 B.(-0).令g(x)=e 2，-Wtl(x 0),故且 中 人 女“也 匚令人(x)=2x2e2x+l n x(x 0),贝 ij fi(x)=4xe2r+4x2e2r+0,故(x)=2x2
19、e2v+I n x在(0,+纥)上单调递增，且 力=2e?0 ,噂)=/一 1 =2e”一 1 。，所以存在/,使得/(为)=0,即8(不)=0,当xe(O,改 J时，g x)0,g(x)单调递减，当x%,+o o)时,g 0,g(x)单调递增,故gOOm/gA b e兀-W .Ao由 2%污 +I n x()=0 ,得 2%髭2*=-I n x0,即 I n )=I n (-I n ,即卜2/+l n$+2/=l n(-l n A-0),故l n 2+2x()=l n(l n%)+(l n%).因为函数y =x+l n x在(O,+8)上单调递增，所以2玉)=一巾飞,/1 I n xn+1
20、l n xn cg(x%i n=-：=-=2，故加+2 4 2,解得机40.工0%入0故选:A.3.(20 22全国模拟预测)已知函 数 =去|,若/(e*)+ax)0有解，则实数”的取值范围为()A.(0,+a?)B.(f，-e)C.-e,0 D.(-o o,-e)V J(0,-K o)【答案】D【详解】解：因为“X)的定义域为R，/(-x)=|1=-/(x),所以函数f(x)为奇函数，因为x)=l-所以函数/(x)在R上单调递增.因为y(e )+”0有 解,即/(力 -词 有解,所以f(e )/(-6)有解，由函数/(x)在R上单调递增，可得e，0时，g (x)0,函数g(x)在R上单调递
21、增，g(-J =e；-l 0,不符合题意;当0时，令g (x)=0,得x=l n(-a)；当xe(ro,l n(-a)时，g x)0,函数g(x)单调递减，当xe(l n(-“),+o o)时，g 0,函数g(x)单调递增,因此鼠同向=g(l n(-)=-a+o l n(-a),g(x)nn 0,则-三有解.令 g(x)=(x 0),则 g，(x)=e(j-l),当0 e,即a_e.若x 0,则-a 有解，易知g(x)=恒小于零，X X所以一。0.若x=0,则/(e,)+/(o r)=/(l)+/(0)=；0,不符合题意.综上，实数。的取值范围为(-8,-e)u (0,+。).解法三：若。=6
22、,与y=一方的图象，当直线y =w与函数y =e，的图象相切时，设切点为(如 ),则切线方程为y-e*=e%(x-%),再结合切线y =一衣过原点得飞=1 ,故 =-e o=-e，由e*v-o x有解，得函数y =e，的部分图象在直线y =一女的下方，所以，数形结合可知“-e.若a 0,易知函数丫=的图象必有一部分在直线丁 =-的 下方，符合题意.若。=0,由函数的单调性可知，不符合题意.综上，实数。的取值范围为（Y,-e）u（0,+a）.4.（20 22山东威海 三模）已知函数/（x）=2I n x-x+0.X3当时，求 x）的单调区间；4（2）若/（X）有两个极值点内小，且占当，从下面两个
23、结论中选一个证明.）一/（占）二-2；X2-x,yja2/（x2）-+21 n 2-2.【解析】2 c i x+2x ci,八ra）=一1一 一 7=o*o），X X XO 2,3当二上时，4X2-8X+3 _ （2X-1）（2X-3）,厂 4 r 4x-I 3 1 3令/（x）0,解得一x=；令/。）0,解得0 x：或2 2 2 2所以f（x）的单增区间为（；,|）；单减区间为（0,；）,（|，+8）.（2）证明：由题意知，内,工 2 是d -2 x+a =0 的两根，则%+%=2xx2-a2（1 1）一太为）（占）+;）将 中,=。代入得，/()-/()=2(l n x2-l n A-1)
24、_2 x2-X j x2-x要证明/心)一“斗)之 一 2,x2-X)y/a只需证明 型 上 3_ 2 l,只需证明I n 产 f-；,B|J 2 1n/-r +l l),令=2 In1,力，3 1=什o,所以 在（1,年）上单调递减，可得h（t）h（X）=0,所以 2 1n r-f+1 l),综上可知，小止 小 立 0)X X X 设 g(x)=_12 +2 x-a ,fA=4-4 0因为/(x)有两个极值点，所以。、八 ，g(0)0解得04 1，因为 g(2)=-a 0,所以1 巧 2 ,2 _ a 2/(x2)-n =2 1n x2-x2+-6 7 ,由题意可知 巧+2%。=0,2?10
25、可得a=七+2X2 代入得，/(W)=21n4 +x2+2,2 in令(x)=2皿 犬 +12-%+2(1X2),，=2+3=2(1 3-3),了 3 3 3%当x e(l，m),”(x)0,所以(x)在，2)上单调速增，因为 1小2,所以/?(x2)。，所以 h(2/(I)，所以 Mw)M2),2?所以,(工2)一。2也2 2,即/(/)l,都有x)g(x).【解析】因为所以/(x)=W(x+2),ill/(力 0得%0或兀-2,由尸(了)0得-2%l,都有/(x)g(x),印证x2e，：lnx+；(x+2)对任意x l恒成立，即证7 1e2M x Win x+士(x+2)对任意 x 1 恒
26、成立.e e构造函数Mx)=e*-x 1,x0.因为 (x)=e-l 0在(0,+功 上恒成立,所以妆x)在 0,+助 上是增函数,故从工)21(0)=0,即e-x +l,当且仅当x=0时等号成立，因为x l,所以e42 1nx x+21nx+l，所以只需证+2 1 g+1 +21门+2)对任意、1恒成立,e即证 x+21nx+l-：(x+21nx+2)0 对任意 x l 恒成立.令夕=(x+21nx+l)-(x+21nx+2),xel,+a),n ,/2 1 2 1 2e 2 八贝(J(p(x)=1 H-=1-1-0,x e ex e ex因此9(x)在。w)上是增函数,所以当x l时，3e所以当x l 时，x+21nx+l-1(x+2lnx+2)0 恒成立.故对任意x l,都有/(g(x).