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1、解答压轴题2022年天津数学中考一模汇编1.在平面直角坐标系中，抛 物 线y =a/-3ax-l与x轴 交 于A,B两 点(点A在 点B的右侧)，与y轴交于点C.当 点(1，一弓)在二次函数y=ax2-3 ax -1上时,(i)求二次函数解析式.(ii)P为第四象限内的抛物线上的一动点，连 接PA,P C,若P AC的面积最大时，求点P的坐标.(2)点M,N的坐标分别为(1,2),(4,2),连 接MN,直接写出线段MN与二次函数y =ax2-3a x-l的图象只有一个交点时a的取值范围.2.如图，抛 物 线y=ax2-2x +3与x轴 交 于A,B两 点(点A在 点B左边)，与y轴交于C点，
2、5(1,0).第二象限内有一点P在抛物线上运动，OP交线段AC于 点E.(1)求抛物线的解析式及点A,C的坐标.(2)设AP AC的面积为S,当S最大时，求 点P的坐标及S的最大值.(3)是否存在点P,使 点E是O P的中点.若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.3.已知抛物线 y=ax2+bx +c 过点 7 1(-6,0),8(2,0),C(0,-3).(1)求此抛物线的解析式；(2)若 点H是该抛物线第三象限的任意一点，求四边形OCH A的最大面积；若 点Q在y轴上，点G为该抛物线的顶点，且N G Q 4 =4 5。，求 点Q的坐标.4.己知二次函数y i=aM+汝+c(a 40)
3、的图象经过三点(1,0),(-3,0),一|)(1)求二次函数的解析式；(2)若(1)中的二次函数，当x取a,b(a手b)时函数值相等，求x取a +b时的函数值；(3)若反比例函数y2=k 0,x 0)的图象与(1)中的二次函数的图象在第一象限内的交点为4,点4的横坐标为%0满 足2与 3,试求实数k的取值范围.5.已知抛物线 y=ax2+bx +c 过点 7 1(-6,0),B(2,0),C(0,-3).求此抛物线的解析式；若 点H是该抛物线第三象限的任意一点，求四边形0 CH4的最大面积；(3)若 点Q在y轴上，点G为该抛物线的顶点，且4 G Q A =4 5。，求 点Q的坐标.6.已知抛
4、物线C：y=x2+bx +c的图象与x轴 交 于A,B两点，与y轴交于点C,且关于直线x =1对称，点A的坐标为(-1,0).求抛物线C的解析式和顶点坐标；将抛物线C绕 点。顺时针旋转1 8 0。得抛物线C,且 有 点P(m,t)既在抛物线C上，也在抛物线。上，求m的值；(3)当a4x4a+l时，二次函数y=x2+bx +c的最小值为2 a,求a的值.7.在平面直角坐标系中，抛 物 线y=ax2-3 ax -1与x轴 交 于A,B两 点(点A在 点B的右侧)，与y轴交于点C.(1)当 点。，一|)在二次函数y=ax2-3 ax -1上时.(0)求二次函数解析式；(0)P为第四象限内的抛物线上的
5、一动点，连 接P A，P C,若 P 4 C的面积最大时，求点P的坐标.(2)点M,N的坐标分别为(1,2),(4,2),连 接MN.直接写出 线 段MN与二次 函 数y =a x2-3 a x -1的图象只有一个交点时，a的取值范围.8 .已知点i4(t,1)为函数y =ax2+bx +4 (a,b为常数，且aK 0)与y =x图象的交点.(1)求 t：(2)若函数y=ax2+bx +4的图象与x轴只有一个交点，求a,b；(3)若14a W 2,设 当|%0,m 0)的图象记为 6 ,函数 y=x2 mx -l(x 0)的 图 象 记 为 其 中m为常数，G与C2合起来得到的图象记为C.(1
6、)若G过 点(1,1)时，求m的值；(2)若C2的顶点在直线y=1上，求？n的值；(3)设C在 一4 4 x W 2上最高点的纵坐标为y。，当|=y o W9时，求m的取值范围.1 2.抛物线G：%=/+2 x +c的顶点为P,交y轴 于 点C,对称轴交x轴 于 点D,点D与点P不重合，平 移G使其经过点C,点D,得抛物线C2,顶点为M,对称轴交x轴于点D.(1)当c =-5时，求 点P和 点C的坐标；当PM与x轴的夹角为4 5。时，求抛物线C2的解析式；设 点C关 于D 的对称点为Q,当 D 与 Q不重合时，求D,Q两点所在直线的解析式.1 3.抛物线y=x2-bx +c与x轴交于点4(1,
7、0),8(3,0),与y轴交于点C,顶 点 为D,直线BD 与 y轴交于点E.(1)求顶点D的坐标；(2)如图，设 点P为 线 段BD上 一 动 点(点P不 与 点B,D重合)，过 点P作x轴的垂线与抛物线交于点F.求4BD F的面积最大值.点Q在 线 段BD上，当乙 B DC =L QCE时，求 点Q的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).1 4.如图，抛物线y=x2+bx +c与y轴交于点C(0,-4),与x轴交于点4 B,且B点的坐标 为(2,0).求 该抛物线的解析式.若 点P 是 AB上的一动点，过 点P作PE/A C,交 BC于 E,连 接C P,求 PCE面积的最大值.若 点D为
8、 0 A的中点，点M是 线 段AC上一点，且AOMD为等腰三角形，求M点的坐标.15.如图，抛 物 线y-x2+bx +c与 y 轴交于点4(0,2),对称轴为直线x=-2,平 行 于 x 轴的直线与抛物线交于B,C两点，点B在对称轴左侧，B C =6.(1)求此抛物线的解析式；(2)已知在%轴上存在一点D,使 得AABD的周长最小，求 点D的坐标；若 过 点 C 的直线I 将 AABC的面积分成2:3 两部分，试求直线I的解析式.16.已知抛物线y=ax2+bx +3(a,b是常数，且 a 4 0),经过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于 点C.(1)求抛物线的解析式；(2)若 点P
9、是射线CB上一点，过 点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点H,交抛物线于点Q.设 P点的横坐标为3线 段P Q的长为d.求 出 d 与 t 之间的函数关系式，写出相应的自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，当 点P在 线 段BC上时，设PH=e,已 知d,e是 以 z 为未知数的一元二次方程z2-(m+3)z+(5m2-2m+13)=0(m 为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连 接M Q,M H,P M,且MP平 分乙 QMH,求 出t值及点M的坐标.17.如图，抛物线y=-(x-l)2 +c 与 x 轴交于A,B(A,B分别在y 轴的左右两侧)两点，与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,
10、已知4(一 1,0).备用图(1)求 点B,C的坐标；(2)判 断C D B 的形状并说明理由；(3)将 COB沿x轴向右平移t个单位长度(0 t 3)得 到 Q PE.QP E与 CD B重叠部分(如图中阴影部分)面积为S,求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围.18.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=|x2+bx 经过点 71(-3,4).(1)求b的值；(2)过 点 4 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点B,在直线AB上任取一点P,作 点A关于直线OP的对称点C；当 点C恰巧落在x轴上时，求直线OP的表达式；连 接B C,求BC的最小值.19.如图，抛物线y=ax2+
11、bx +l过 点 4(1,0),8(5,0),与 y 轴相交于点C.(1)求抛物线的解析式；定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离.如：点。到二次函数图象的垂直距离是线段0 C的长.已知点E为抛物线对称轴上的一点，且 在x轴上方，点F为平面内一点，当 以A,B,E,F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离；在(2)中，当 点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在 以A,B,E,F为顶点的菱形内部是否存在点Q,使 得A Q,B Q,F Q之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.20.已知二次函数 y=
12、ax2-4ax+3a.(1)求该二次函数的对称轴；(2)若该二次函数的图象开口向下，当1S X W 4时，y的最大值是2,且 当1W XW 4时，函数图象的最高点为点P,最低点为点Q,求AOPQ的面积：(3)若对于该抛物线上的两点(/，月)，2(%2，72)当t x-i 5时，均满足为2y2,请结合图象，直接写出t的最大值.21.如图，已知抛物线y=-x2+bx +c C b,c是 常 数)经 过4(0,2),8(4,0)两点.(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标；作垂直%轴的直线x =t,在第一象限交直线AB于M,交这条抛物线于N,求 当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？(3)在(回)的
13、情况下，以A,M,N,D为顶点作平行四边形，请直接写出第四个顶点D的所有坐标(直接写出结果，不必写解答过程).22.如图，在平面直角坐标系中，直 线 y=x+3 分 别 交 轴，y 轴 于 4 c两点，抛 物 线 y=ax2+bx +c(a 0),经过 A,C 两点，与 x 轴交于 B(l,0).备用图1 备用图2求抛物线的解析式；点D为 直 线AC上一点，点E为抛物线上一点，且 D,E 两点的横坐标都为2,点F为x 轴上的点，若四边形AD E F是平行四边形，请直接写出点F的坐标；若 点P是 线 段AC上的一个动点，过 点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点Q,连 接A Q,CQ,求&ACQ
14、的面积的最大值.23.如图，抛 物 线y=ax2+b x-4(a#0)与%轴 交 于 4(2,0),8(-4,0)两点，与y轴交于点C,矩 形D E F G的一条边D E在 线 段AB上，顶 点F,G分别在线段B C,AC上.求抛物线的解析式；(2)若 点D的 坐 标 为(犯0),矩 形D E F G的面积为S,求 S 与 m 的函数关系式，并 指 出m的取值范围；(3)当 矩 形D E F G的 面 积S取最大值时，连 接D F并延长至点M,使F M =k-D F.若 点M在抛物线上，求 k 的值.24.已知二次函数y=x2-2x+c(c 0)的图象与x轴 交 于A,B两 点(4点 在B点的
15、左侧),与y轴交于点C,且。B=O C.(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标；(2)直 线I是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点，连 接B E,线 段OC上 的 点F关于直线I的对称点?恰好在线段BE上，求 点F的坐标：(3)若有动点P在 线 段OB上，过 点P作x轴的垂线分别与BC交 于 点M,与抛物线交于点N,试问：抛物线上是否存在点Q,使 得4P QN与AAP M的面积相等，且 线 段N Q的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由.25.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛 物 线y x2+bx +c与x轴交于点A,B(A在B的左侧)，抛物线的对称轴为直线x=1,4B=4.(
16、1)求抛物线的表达式；(2)抛 物 线 上 有 两 点 和N(若 与 1,Xj+%2 2,试 判 断yr与y2的大小，并说明理由；(3)平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点0,且 与x轴交于点D,记平移后的抛物线顶点为 点P.若 OD P是等腰直角三角形，求 点P的坐标；在的条件下，直 线x=m(0 m 0)个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点E 在D A C 内，求 t 的取值范围；(3)P(7 n,n)(-3?n 0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 4 B C 的内部(不包括AABC的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若 点 P,点 C,点 M 所构成
17、的三角形与4 BCD相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).30.如图，平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2 x与 x 轴 交 于0,B两点，顶 点 为P,连 接 OP,B P,直 线 y=x-4 与y轴交于点C,与 x轴交于点D.(1)直接写出点B坐标_ _ _ _；判 断&OBP的形状_ _ _ _；(2)将抛物线沿对称轴平移m个单位长度，平移的过程中交y 轴于点4分别连接C P,D P：(0)若抛物线向下平移m 个单位长度，当S“CD=6“OC时，求平移后的抛物线的顶点坐标；(13)在平移的过程中，试探究S“C D和S“OD之间的数量关系，直接写出它们之间的数量关
18、系及对应的m的取值范围.3 1.已知抛物线C.y=X2 4 x.(1)求抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标：(2)将抛物线C向下平移，得抛物线C,使抛物线C的顶点落在直线y=-%-7上.求 抛物线C的解析式；抛 物 线C 与x轴的交点为A,B(点A在 点B的左侧)，抛 物 线C的对称釉于x轴的交点为N,点M是线段AN上的一点，过 点M作直线M F l x轴，交抛物线C于点F,点F关于抛物线对称轴的对称点为。，点P是线段MF上一点，且=连 接P D,作P E J.P D交x轴于点E,且PE=P D,求 点E的坐标.32.在平面直角坐标系中，。为原点，直 线 =与y轴交于点A,与直线y=-x交于
19、点B,点B关于原点的对称点为点C.(1)求 过B,C两点的抛物线y-ax2+bx -1解析式；P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.当四边形P B Q C为菱形时，求 点P的坐标；若 点P的横坐标为t(-l t l),当t为何值时，四边形P B Q C面积最大？最大值是多少？并说明理由.33.在平面直角坐标系中，。为原点，直 线y=-2 x 1与y轴交于点A,与直线y=x交于点B,点、B关于原点的对称点为点C.(1)求 过B,C两点的抛物线y=ax2+bx -1解析式；P 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.当四边形P BQC为菱形时，求 点P的坐标；若 点P的横坐标为t(-l t l
20、),当 t为何值时，四边形P B Q C面积最大？最大值是多少？并说明理由.3 4 .如图，在直角坐标系中，R t OAB的直角顶点4 在 x轴上，0 4 =4,A B =3.动 点M从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿A0向终点。移动；同时点N 从 点。出发，以每秒 1.2 5 个单位长度的速度，沿0 B向终点B移动.当两个动点运动了 x秒(0 x4)时，解答下列问题：(1)求 点 N 的坐标(用含%的代数式表示)；设40 MN的面积是S,求 S与 x之间的函数表达式；当 x为何值时，S有最大值？最大值是多少？在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使 A0MN是直角三角形？若存在，求
21、 出 x的值；若不存在，请说明理由.3 5 .如图，二次函数丫 =/+法+。的图象交x轴 于 7 1(-1,0),8(3,0)两点，交 y轴 于 点C,连接B C,动 点P以每秒1 个单位长度的速度从A 向 B 运动，动 点Q以每秒V2 个单位长度的速度从B向 C运动，P,Q同时出发，连 接P Q,当 点Q到 达C点时，P,Q同时停止运动，设运动时间为t秒.(1)求二次函数的解析式；(2)如 图1,当&BP Q为直角三角形时，求t的值;(3)如 图2,当t 0)上是否存在点P,使 得 以P,A,C,N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.37.己知抛 物
22、线y=a(x-h)2-2(a,h是常数，a#0),与x轴交于点力，B,与 y 轴交于点C,点 M 为抛物线顶点.(1)若 点 4(一 1,0),B(5,0),求抛物线的解析式；(2)若 点 4(一 1,0),且 是 直 角 三 角 形，求抛物线的解析式；(3)若抛物线与直线y i=x-6 相 交 于M,D两 点.用 含 a 的式子表示点D的坐标；当C D/X轴时，求抛物线的解析式.38.已知直线l:y X,抛物线C t y-x2+bx +c.(1)当 b=4,c=l 时，求直线I与抛物线C的交点坐标；(2)当 b=g,c=4 时，将 直 线I绕原点逆时针旋转15。后与抛物线C 交 于 A,B
23、两点(A点 在B点的左侧)，求 A,B 两点的坐标；若 将(2)中的条件c=-4去掉，其他条件不变，且 2 WA B W4,求 c 的取值范围.39.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=m i 一(血+九次+n(m 0)的图象与y轴正半轴交于 4 点.(1)求证：该二次函数的图象与X轴必有两个交点；(2)设该二次函数的图象与%轴的两个交点中右侧的交点为点B,若448。=45。，将 直 线A B向下平移2个单位得到直线I,求直线I的解析式；(3)在(2)的条件下，设M(p,q)为二次函数图象上的一个动点，当-3 p 0时，在线段AC上否存在点P,使 得 以P,D,E为顶点的三角形为等腰直角三角
24、形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.以 动 直 线I为对称轴，若 线段AC关于直线/的对称线段A C与二次函数图象有交点,请直接写出m的取值范围.4 1.如图,平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2 x与x轴 交 于0,B两点，顶 点 为P,连 接0P,B P,直 线 y =x-4与 y轴交于点C,与 x轴交于点D.(1)直接写出点B坐标_ _ _ _；判 断AOBP的形状_ _ _ _；将抛物线沿对称轴平移m个单位长度，平移的过程中交y轴于点A,分别连接C P,DP-.(0)若抛物线向下平移m个单位长度，当S“c D=g poc时，求平移后的抛物线的顶点坐标；(0)平移过程中，试
25、探究SA C D和SX P O D之间的数量关系，直接写出它们之间的数量关系及对应的m的取值范围.4 2.在平面直角坐标系中，。为原点，直 线y=-2x -1 与y轴交于点A,与直线y =-x交于点B,点 B 关于原点的对称点为点C.(1)求 过B,C两点的抛物线y=ax2+b x-l解析式;P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.当四边形P BQC为菱形时，求 点P的坐标；若 点P的横坐标为当t为何值时，四边形P B Q C面积最大？最大值是多少？并说明理由.43.如图，抛物线y=ax2+bx +c经 过 ABC的三个顶点，与y轴相交于(0,2 点A坐标为(-1,2),点 B 是 点 A
26、关 于 y 轴的对称点，点 C 在 x 轴的正半轴上.(1)求该抛物线的函数关系表达式.(2)点F为 线 段AC上一动点，过 F 作 F E _L x 轴，FG 1 y 轴，垂足分别为E,G,当四边形O E F G为正方形时，求 出 F 点的坐标.(3)将(2)中的正方形O E F G沿OC向右平移，记平移中的正方形O E F G为正方形DEFG,当 点E和 点C重合时停止运动，设平移的距离为t,正方形的边E F与AC交于点M,D G所在的直线与AC交于点N,连 接D M,是否存在这样的t,使4D MN是等腰三角形？若存在，求t的值：若不存在请说明理由.44.如图，抛物线经过4(一 1,0),
27、B(5,0),C(0,-|)三点.y A求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA +P C的值最小，求 点P的坐标；(3)点、M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使 以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在，求 点N的坐标；若不存在，请说明理由.45.如图，已知抛物线y=x2+bx +c图象经过点以(-1,0),5(0,-3),抛物线与%轴的另一个交点 为C.(1)求这个抛物线的解析式；(2)若抛物线的对称轴上有一动点D,且4BCD为等腰三角形(C B丰C D),试 求 点D的坐标;若 点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和 点C重合)，过 点 尸 作
28、X轴的垂线,交抛物线于点M,点Q也在直线BC上，且P Q=&,设 点P的横坐标为3 4 P M Q的面积为S,求 出S与t之间的函数关系式.4 6.已知抛物线的解析式为y =i x2-i x +p P是抛物线上的一个动点，R(l,l)是抛物线对称轴上4 2 4的一点.(1)求抛物线的顶点及与y轴交点的坐标；(2)I是 过 点(0,-1)且平行于x轴的直线，/与抛物线的对称轴的交点为N,P M 11,垂足为点M,连 接PR,R M.当4RP M是等边三角形时，求P点的坐标；求证：PR =PM.4 7 .已知直线y-2x -5与x轴 和 y轴分别交于点A和 点B,抛物线y-x2+bx +c的顶点M
29、在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N.(1)如图，当 点 M 与点力重合时，求抛物线的解析式：(2)在(1)的条件下，求 点N的坐标和线段MN的长；(3)抛物线y=-M+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M,使 得 OMN与4 AOB相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.4 8 .己知：抛 物 线/1：y =-x2+2x +3交 x轴于点A,B(点A在 点B的左侧)，交y轴 于 点C,抛 物 线12经过点A,与无轴的另一个交点为E(6,0),交y轴于点0(0,-3).(1)求抛物线12的函数表达式；(2)p为抛物线匕 的对称轴上一动点，连 接PA,P C,当
30、A PC =9 0时，求 点P的坐标；(3)M为抛物线12上一动点，过 点M作 直 线M N/y轴，交抛物线人 于 点N,求 点M自点A运动至点E的过程中，线 段MN长度的最大值.49.已知抛物线y=-x2-2x +a(a*0)与y轴相交于A点，顶 点 为M,直 线 y=|x -a 分别与 无 轴、y 轴相交于B,C两点，并且与直线M 4 相交于N点.(1)用 a 表示交点M,A的坐标；(2)将 NAC沿 着y轴翻折，若 点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D,连 接C D,求 a 的值及4P CD的面积；(3)在抛物线y=-x2-2x +a(a 0)上是否存在点P,使
31、 得 以P,A,C,N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.50.已知直线l:y=x,抛物线C:y=x2+bx +c.(1)当 b=4,c=l 时，求直线I与抛物线C的交点坐标；(2)当 b=W，c=4 时，将 直 线I绕原点逆时针旋转15。后与抛物线C 交 于 4 B 两点(.A点 在B点的左侧)，求 A,B 两点的坐标；(3)若 将(2)中的条件c=-4 去掉，其它条件不变，且 2 W 4 B W 4,求c的取值范围.51.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=m x2-(m+n)x +n(m 0)的图象与y轴正半轴交于A点.(1)求证：该二次函数的图
32、象与X轴必有两个交点；(2)设该二次函数的图象与%轴的两个交点中右侧的交点为点B,若448。=45。，将 直 线A B向下平移2个单位得到直线I,求直线I的解析式；(3)在(2)的条件下，设M(p,q)为二次函数图象上的一个动点，当-3 p 0时，点M关于x轴的对称点都在直线I的下方，求m的取值范围.52.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛 物 线y=-m)2-m2+m的顶点为4,与y轴的交 点 为B,连 接A B,A C 1 AB,交y轴 于 点C,延 长CA到 点D,使A D=A C,连接BD.作 A E/X 轴，DE/y 轴.(1)当m=2时，求 点B的坐标;求D E的长？(3)设 点D
33、的坐标为(x,y),求 y 关 于 x 的函数关系式？过 点D作AB的平行线，与第(3)题确定的函数图象的另一个交点为P,当 m 为何值时，以A,B,D,P为顶点的四边形是平行四边形？53.已知二次函数y=x2+bx +c(b,c为常数)的图象经过点4(1,0)与 点 C(0,-3),其顶点为P.求 二次函数的解析式；(2)若Q为对称轴上的一点，且QC平 分 N P Q O,求 Q 点坐标；(3)当 m WxSm +l 时，y 的取值范围是一 4 4 y 4 2 m,求m的值.54.如图，已知抛物线与x 轴交于点4(一 2,0),8(4,0),与y轴交于点C(0,8).(1)求抛物线的解析式及
34、其顶点D的坐标；设 直 线CD 交 x轴 于 点E.在 线 段OB的垂直平分线上是否存在点P,使 得 点P到直线CD的距离等于点P 到 原 点。的距离？如果存在，求 出 点P的坐标：如果不存在，请说明理由；过 点 B 作 x 轴的垂线，交 直 线CD于 点F,将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段E F总有公共点.试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？答案【答案】(1)(i)一|)在 y=ax1 2-3ax-1 的图象上,1 2 n=m+2m2=2)2+2,当&P A C 的面积最大时，点 P 的坐标为卜，-1(2)a 的取值范围是a -|或 a=-g 或
35、a Z*C 3Q 3d-1=,2解 得a=；，4抛物线的解析式为y=_ i.4 4(ii)-：y=-x2-x-l,J 4 4当 x=0 时，y=-1,C(0,-1),当 y=0 时，-%2-x -1=0.4 4x2 3%4=0.解得=4,%2=-1.4(4,0).设直线A C 的解析式为y=kx+b(k0 0),将 4(4,0),C(0,-l)代入 y=kx+b,可 得 伊+味 3 =-1.解 得 k二ILb=-1.直 线 A C 的解析式为y=：x-l.过 P 作 PE l x轴，垂足为E,交 A C 于 点 P.设 P(rn,m2 _ _ ),F(m,m 1,ShPAC=P F-O E +
36、EA)=-PF OA22.【答案】(1)将点 8(1,0)代入 y=ax2-2x +3.解 得a=-1,.抛物线的解析式为y =-2%+3,4(一3,0),C(0,3).(2)如图，过 点P作PD/O Cf交AC于 点D,设 点P的坐标为(犯一瓶？一 2?n +3),由4(一3,0),C(0,3)可得直线AC的解析式为y =点D的坐标为(m,zn +3).PD=m2 3 7n.S=-P D A O,2号-泅+丁+学当 租=一|时，点P的坐标为(一|,与)，S的最大值为条O(3)方法一：如图，过 点E作EF 1 0 A于 点F,若 点E是。P的中点，则 点E的坐标为停，弋2m+3).此时，OF=
37、巴，4F=3+N EF=f i+32 2 2由。A=0 C,得 A F=EF.+3,化简得 mz+3 m +3 =0.此方程无解，不存在点P,使 点E是0P的中点.【解析】(3)方 法 二:设 点E的坐标为(t,t+3),若 点E是。P的中点，则 点P的坐标为(2t,2t+6).点P在抛物线y=-%2-2x +3上,2t+6 =-(2t)2-2(2t)+3.化简得 4t2+6 t+3 =0.此方程无解，不存在点P,使 点E是0 P的中点.3.【答案】36a 6b+c=0,(1)将 点Af B,C的坐标代入抛物线表达式得：卜a+2b+c=0,、c=-3,解得：b=i,lc=3,故抛物线的表达式为
38、：y=ix2+x-3；如 图1,过 点“作H M 1 Z B于M,设点 H 的坐标为：(rnjin?+瓶 一 3),则 HM=-m2-m +3,OM=-m,点C的坐标为(0,-3),点A的坐标为(-6,0),.OA=6,OC=3,AM=6 m,S四 边 形oc/M=SLAMH+S梯 形OMHC=AM HM+T(OC+MH).OM=1 x(6 m)x Q m2 m+3 +|x 3 m2-m+3)x(m)=3 2 9 m 4.-n9.4 2 一|/3,故 Q 的坐标为：(0,26)或(O,-2V 3).4.【答案】(1)设抛物线解析式为y=a(x-l)(x+3).将(0,|)代入，解 得 a=1.
39、抛物线解析式为y =#+x -1.(2)当 x =a 时，y i=a?+a-|；当 x =b 时，=1/2+6 -|.-a2+a-=-b2+b-2 2 2 2 Q2 +2(a b)=0,即(a b)(a+b +2)=0.v a 手 b,*Q+b 2.,%=*a +b)2+(a+b)一|=4 2)2 2 1=一|,即 x取 a+b时的函数值为一|.(3)当 2 c x 0)，力随 着X的增大而减小,-A(x0,y0)为二次函数图象与反比例函数图象的交点，当 a =2 时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2 y i,即 g g x 2 2 +2-|,解得 k 5.当&=3时，二次函数数图象在反比
40、例上方得力 丫2，k的取值范围为5 f c 1 8.5.【答案】(1)已知抛物线 y=ax2+bx +c 过点 4(-6,0),8(2,0),设抛物线解析式为y=a(x+6)(x-2),又 ；抛物线过点C(0,3),有 一 3=-1 2 a,则 a=-,4y=(x+6)(x 2)=j%2+x 3.(2)设+t-3),点H在第三象限的抛物线上，-6 t 0,贝！SOCHA=+S 40cH=l 0A-yH+l 0C-xH=6，(-：产-1+3)+卜 3 乂 (t)=一衿一9 +9=*+3)2+学 当t=3 时，四边形OCH A的面积有最大值号.4(3)y=x2+x-3=；(x+2)2 4,顶 点G
41、的坐标为(2,-4),设抛物线的对称轴与x 轴的交点为M,则 G M =4,A M =2-(-6)=4,G M =AM,且/.A M G=90,以 点M为圆心，MG为半径的圆过点A,B,与 y 轴交于点Q和 点Q,连 接 QA,Q G,由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：乙4QG=|z/lMG=1x90=45,连接 Q M,在 Rt QMO 中，0M=2,Q M =4,0Q =V42-22=2V3,Q(0,2 何，由对称性可知，Q(0,2次),当 点 Q 在 线 段Q Q 之间或线段Q Q 之外时，均不能保证使NGQ4=45。.综上，满足条件的点Q 的坐标为(0,2V3)或(0.-2V3)
42、.6.【答案】(1),点 4(-1,0)与 点B关于直线x=1 对称，点 B 的坐标为(3,0),则 y=(x+l)(x-3),即抛物线C的表达式为y=x2-2 x-3；y=xz-2x -3 =(x l)2 4,顶点坐标为(1,一 4).(2)由抛物线C解析式知B(3,0),点A的坐标为(-1,0),点 A、点 B关于原点的对称点为(1,0)和(-3,0),都在抛物线C上,且抛物线C 开口向下，形状与由抛物线C 相同，于是可得抛物线C的解析式为y=-(x-1)(%+3),即 y=一 2久+3；由点 P(m,t)在抛物线 y=X2 2x 3 上，有 =/一 2m-3；由 点 也 在 抛 物 线C
43、上，有 =一 m2 一 2m+3,m2 2m 3=-m2 2m+3,解得=V3.m2=-V3.(3)当 a+1 1 时，即 a 0,则函数的最小值为(a+1)2 2(a+1)-3=2a,解 得 a=1-遍(正 值 舍 去)；当 a 1 W a+1 时，K P 0 a 1,则函数的最小值为l 2 3=2 a,解得：。=一 2(舍去)；当 aN 1 时，则函数的最小值为a2-2 a-3 =2 a,解 得 a=2+夕(负值舍去).综上，a 的值为1 一 遍 或 2+夕.7.【答案】(1)在 y=a x 2-3 a x-l 的图象上，a 3a 1=解得 a=*,2 4抛物线的解析式为y=x2-x-l.
44、4 4(团)/y i%2|x 1,当%=0 时，y 1,C(0,-1).当 y=0 时，-x2-x -1=0,4 4%2 3%4=0,解得 x1=4,%2=-1，B(-1,0),71(4,0).设直线AC的解析式为y=kx +b(k H 0),将 4(4,0),代入 y=kx +b,可 得 lk +=0,解 得 卜.仍=-1,tb=-1,直 线 A C 的解析式为y =-1.过 P 作 P E l x轴，垂足为E,交 A C 于 点 F.设 P(m,m2 1 ,F(m,m 1 .ShPAC=PF-(OE+EA)=-PF-OA21 2 I n=m+2m2=-1(m-2)2+2.当&PAC的面积最
45、大时，点 P 的坐标为9,一|).(2)a 的取值范围是a-|或 a=-g或 a N：.8.【答案】(1)把 At,1)代入 y=x 得 t=1.(2)因 为 y=ax2 4-b x +4 的图象与x 轴只有一个交点，由 N f Q +b +4=1,所以 U=b2-1 6 a=0,所 以 ih=或 =3=-4 3=-1 2.(3)把 4(1,1)代入 y=ax2+b x +4 得，b=-3 -af2所以 y =ax2-(Q+3)x +4=Q(%-+|,所以对称轴为直线 =誓，2a因 为 1 W a 4 2,所以 l-x=2S-2因 为 x 2,所以当刀=工时，y=ax2+bx+4 的最大值为m
46、=-+,2 4 2当 x=2 时，n=-4-4 4a 2所 以m n=,4a因 为 1 Q 2,所 以 当 a=2 时，m-n 的值最小，即的最小值89.【答案】(1)抛物线经过原点0,.1 抛物线解析式为y=x2+bx,抛 物 线与X轴 交 于 点(5,0),0=-+5 6,解得 b=6 6 抛物线解析式为y=x2-l x,6 656 5v x .=一,2a 2X-2抛物线的对称轴为直线x=|.(2).点C在抛物线y=枭2 一,上，6 6 4=-m2-mt 解得 m1=-3 (舍)，m2=8,6 6 点 C 坐 标 为(8,4).如图，过C作C E J.X轴，垂 足 为 E,连 接 AB,A
47、P,AQ,在 Rt AEC 中，AC2=CE2+AE2=42+32=25,同理，可求得 BC2=100,AB2=125,AC2+BC2=AB2,BCA=90,在 Rt AOP 和 Rt ACQ 中，0A=4C,PA=QA,Rt AOP义 Rt ACQ,OP=CQ,OP=2.BQ,BQ=CQ=10-A n=10-n,2解 得 n=.(3)抛物线的对称轴为x=|,设 点M的坐标为当A B =A M,.B A M为顶角时，52+102=(5-|)2+t2,解得 t=率，当B M =B A,AM B A为顶角时，52+102=(|)2+(t-1 0)2,解得 t =些 炉,当M A =M B,BMA为
48、顶角时，(5-1)2+t2=(I7 +(t-1 0)2,解得 t=5,此 时 点(|,5)为AB的中点，与 点A,B不构成三角形，综上可得，点 M 的坐标为(|,亨)，(|,_ 竽)，(|,受 竺)，(|,空等).1 0.【答案】(1)抛物线y=#+号x+2,令 y=0,则|x2+y X +2=0,解得 x =V2 或 x=2V2,.%4(-V2,0),8(2夜,0).(2)由抛物线 y=+/%+2,令=0,得 y=2,C(0,2),如图，过 点P作 PQ1%轴 于Q,P的横坐 标 为t,设 P(t,p),贝！J p=+PQ =p,B Q=2V2-t,OQ=3 S=SA 0 C+S 0 C P
49、 Q 4-SPQB=3 x V2 x 2+&(2+p)x t+-x(2V2 t)x p=V2+t 4-+2p p t=V2p 4-1 4-V2=V2(-i t2+y t +2)+t+V2=-(t-V 2)2+4V2(0 t 0,7 7 1 =2(3).抛物线G的顶点P(m,9+1),抛 物 线C2的顶点(2(-仍 9一1),当 0 小 3 2 时，最高点是抛物线G的顶点，|yo=+1 4 9,解得 1?7 1 2,当2 m 4时，最高点在抛物线J 上，最高点y0=-x 22+2m+1=2m-1,|w 2 m-l W 9,解得 2 4 时，最高点在抛物线C2上，最高点y0=-x(-4)2+4m-
50、1=4m-9,|4m-9 9,解得 4 m I，综上所述，即为所求.1 2.【答案】(1)把 c=-5 代入 yi=/+2%+c,有 =/+2%-5,v%=/+2%5=(%+1)2 6P(1,6),令 =0,则 y=-5,C(0,5).(2)由%=%2+2%+C=(%+1)2+C-I,有。(一 1,0),C(0,c),P(设抛物线C2为：为=+力 +c,抛物线C2是由抛物线G 平移得到的，Q=1,又 ,Q经过点C(0,c),*,C=C,把 点。(-1,0)代 入 力=/+力 欠+c,得 b=c+1,及=%2+(c+1)%+C =(%+等)2 _ 与 无.点 M-),当 点M在 点P的左边时：P