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1、解答压轴题2022年广州数学中考一模汇编1.如图，在4 A Be中，NA=90。，AB =3,AC=4,点M,Q分别是边AB,BC上的动点(点M不 与A,B重合)，且M Q 1BC,过 点M作M N/B C.交A C于 点N,连 接NQ,设B Q =x.(1)是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，并说明理由;(2)当 BM=2 时，求 x 的值；当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值.2.如图，在直角坐标系中有一直角三角形AO B,0为坐标原点，。4=1,tan B AO =3,将此三角形绕原点0逆时针旋转90。，得 到L D O C,抛物线y =ax2+b x +c经
2、过点A,B,C.(1)求抛物线的解析式；(2)若 点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t,设抛物线对称轴I与 x 轴交于一点E,连 接PE,交 C O 于 F,求 出 当 A C E F与 C OD相似时，点P的坐标；是否存在一点P，使XPC D得面积最大？若存在，求 出A PC D的面积的最大值；若不存在，请说明理由.3.在平面直角坐标系中，二次函数y=a/+|+c 的图象经过点C(0,2)和 点。(4,一 2).点 E 是直 线 y=gx+2 与二次函数图象在第一象限内的交点.求二次函数的解析式及点E的坐标.(2)如图，若 点M是二次函数图象上的点，且在直线C E的上方，连 接M
3、 C,O E,ME.求四边形C OE M面积的最大值及此时点M 的坐标.F,求 点F的坐标.4.矩 形。/1 B C在平面直角坐标系中的位置如图所示，已 知8(8,6),点4在x轴上，点C在y轴上，动 点D从 点。出 发 沿0T A以 每 秒1个单位长度的速度匀速运动，到 达 点A停止.在运动过程中，C。的外接圆交0B于 点P.连 接C D交0B于 点E,连 接P D,将 PE D沿PD翻折，得 到AP FD.(1)求 tan/CDP.(2)如 图2,移动过程中，当 点P恰好落在。8的中点时，求 点F的坐标.(3)设 点D运动的时间为t秒，A PE D的面积为S,求S关于时间t的关系式.5 .
4、如 图 1,已知在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点 4 在 x轴负半轴上，直 线 y =-x +6与 x轴、y轴分别交于B,C两点，四边形A BC D为平行四边形，且 A C =B C,点 P 为L A C D 内一点，连接 AP,B P 且 AAPB=90 .(1)求证：乙 P AC=P B C.(2)如 图 2,点E在 线 段BP上，点F在 线 段A P上，且AF B E,AEF=4 5,求EF2+2 AE2 的值.6 .如图 1,己知 A,B,C 是。上的三点，AB =AC,B AC=1 2 0.图i(1)求证：O 0 的半径R =AB.如 图 2,若 点D是 B A C所对弧上的一
5、动点，连 接DA,DB,DC.如探究DA,DB,D C三者之间的数量关系，并说明理由.若AB =3,点 C 与 C，关 于A D对称，连 接C D,点、E 是 C D的中点，当 点D从点B运动到点C时，求 点E的运动路径长.7 .如图，A B 是。的直径，弦 CD 1AB,Z.CAB =3 0 .(1)求证：H A C D是等边三角形.(2)若点、E 是 R 的中点，连 接A E,过 点C作C F 1 A E,垂 足 为F,若CF=2,求线段OF的长.若 O。的半径为4,点 Q 是 弦A C的中点，点 P 是直线A B上的任意一点，将 点 P绕点C逆时针旋转6 0。得 点P,求线段P,Q的最小
6、值.做题用图8 .圆内接四边形4 8 C D,点 4 是 给 的 中 点，D C =1 2 0。.(1)求/ABC的度数，并求证：AB +DC=B C.(2)连 接AC,BD相交于点H,如 图 1,若 4。=3,B C=5,求 H D 4C的值.在(2)的条件下，点E是四边形A BC D内一动点，点 P 在 线 段BC上，且P E=1,P C =3,以 点D为旋转中心，将D E逆时针旋转1 2 0,并缩短得到线段DF,使 得 D F =IDE,如 图 2,连 接P F,试 探 索PF的长是否有最小值，若有请求出该值；若没有，请说明理由.9.如图，在四边形A BC D中，AC 1 BD于 点E,
7、AB =AC=B D,点 M 为 BC中点，N为线段A M上的点，且 M B =M N(1)求证：BN平 分/.AB E；(2)若连接D N,当四边形D NBC为平行四边形时，求线段BC的长;(3)若 点 尸 为 AB的中点，连 接FN,F M(如图)，求证：乙 M F N =4B DC.D1 0 .如图，经过原点的抛物线y =ax2-x +b与直线y =2交 于 4 C两点，其对称轴是直线x =2,抛物线与%轴的另一个交点为D,线 段4 c与y轴交于点B.(1)求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；(2)若 点E为 线 段BC上一点，且EC-EA=2,点P(O,t)为线段0B上不与端点重合的动
8、点，连 接P E,过 点E作 直 线PE的垂线交x轴 于 点F,连 接P F,探 究 在P点运动过程中，线 段P E,PF有何数量关系？并证明所探究的结论；(3)设抛物线顶点为M,求 当t为何值时，K D MF为等腰三角形？11.如图所示，A BC D为平行四边形，AD=13,AB =25,DAB =a,且cosa=卷，点E为直线C D上一动点，将线段E A绕 点E逆时针旋转a得到线段E F,连 接CF.(1)求平行四边形A BC D的面积；当 点C,B,F三点共线时，设E F与力B相交于点G,求线段BG的长;求线段C F的长度的最小值.12.如图，在矩形A BC D中，AB =4,BC=3,
9、点P是 边A B上的一动点，连 接DP.(1)若 将A O/IP沿D P折叠，点A落在矩形的对角线上点4处，试 求A P的长；点P运动到某一时刻，过 点P作 直 线PE交BC于 点E,将 Z M P与4 PBE分别沿D P与PE折叠，点4与 点B分别落在点A,B 处，若P,4,B 三点恰好在同一直线上，且4 B=2,试求此时A P的长；(3)当 点P运动到边A B的中点处时，过 点P作 直 线PG交BC于 点 G,将与PBG分 别 沿D P与PG折叠，点A与 点B重合于点F 处，请直接写出F到BC的距离.13.如图，四边形A BC D内接于。，A C为直径，A C和BD交于点E,AB =B C
10、.(1)求 乙4D B 的度数；(2)过 B 作 AZ)的平行线，交力C 于 F,试判断线段EA,CF,E F之间满足的等量关系，并说明理由；(3)在(2)条件下过E,F分别作AB,BC的垂线，垂足分别为G,H,连 接G H,交 B。于若 G=3,S四 边 形AGMO：S四 边 形CHA/O=8:9，求 0 的半径,14.如图，抛物线y =ax2+b x +6与x轴交于点4(6,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)若 点P为抛物线上一个动点.过 动 点 P 作 y 轴的垂线交直线A C于 点D,点、P的坐标是多少时，以。为圆心，OD的长为半径的。与 A C 相切？是 否 存 在
11、 点P，使 为 直 角 三 角 形？若存在，有几个？求出所有符合条件的点P的坐标：若不存在，说明理由.15.已知抛物线y=a/+Ox+c(a力0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，其对称轴为x=1,且 4(一 1,0),C(0,2).(1)直接写出该抛物线的解析式;(2)P是对称轴上一点，APAC的周长存在最大值还是最小值，请求出取值范围(最大值或最小 值)时 点P的坐标；设对称轴与x轴交于点H,点D为线段C H上的一动点(不与点C,H重合)，点 P 是(2)中所求的点，过 点D作D E/P C交 x轴 于 点E,连 接P D,P E,若C D的长为m,PD E的面积为S,求 S与 m 之
12、间的函数关系式，试说明S是否存在最值，若存在，请求出最值，并写出S取得的最值及此时m的值，若不存在，请说明理由.1 6 .如图，在A A BC中，4 c =4 5。，点。在 4c上，且 ADB =6 0 ,A B为4 BC D外接圆的切线.(1)用尺规作出 B C D 的外接圆(保留作图痕迹，可不写作法)；(2)求NA的度数；(3)求 色的值.17 .如 图 1,抛物线y =ax2+b x +3交 x轴于点7 1(-1,0)和 点 8(3,0).求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如 图2,该抛物线与y轴交于点C,顶点为F,点 0(2,3)在该抛物线上.求四边形A C F D的面积：点P是线段
13、A B上 的 动 点(点P不与点A,B重合)，过 点 P 作 PQ lx轴交该抛物线 于 点Q,连 接AQ,D Q,当XA QD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标.18.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+b x +c与 x 轴交于4(一 3,0),点两点,与y轴交于点C.求抛物线的解析式；(2)若 点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且 点P的横坐标为t,连 接P A,P C,AC.求A A C P的面积S关 于t的函数关系式；求A C P 的面积的最大值，并求出此时点P的坐标.19.如图，己知抛物线y =a(x-2)2+c 与 x 轴从左到右依次交于A,B两点，与y轴交
14、于点C,其中点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,-3),连 接AC,B C.(1)求该抛物线的解析式；若 点P是该抛物线的对称轴上的一个动点，连 接P A,P B,P C,设 点P的纵坐标为h,试探究：当h为何值时，P A-P C 的值最大？并求出这个最大值；在P点的运动过程中，乙4 P B 能 否 与乙 A C B相等？若能，请求出P点的坐标；若不能,请说明理由.20.己知点 A,B 在 O。上，Z.AO B=90,O A=V2.(1)点P是优弧A B上的一个动点，求UPB的度数;（2）如图，当 tanzO/lP=V2-1 时，求证：乙4PO=NBP。；图如图，当 点P运动到优弧A B
15、的中点时，点 Q 在 厢 上 移 动（点Q不与点P,8 重合），若4 QPA的面积为S r4 QPB的面积为52，求 S 1+S 2的取值范围.图 备用图21.己 知 A B 是。的直径，C,E 是。上的点，C 0 J.4 B 于 点D,EF 1 A B于 点F,过点E 作 EG 1 0C于点，延 长E G交。4 于 点H.22.如图，在四边形OA BC中，OABC,/.O AB =90,0为原点，点C的坐标为（2,8）,点 A 的坐 标 为（26,0）,点。从 点 B 出发，以 每 秒 1 个单位长度的速度沿BC向 点C运动，点E同时从点。出发，以每秒3 个单位长度的速度沿折线OA B运动，
16、当 点E达到点B 时，点。也停止运动，从运动开始，设 D（E）点运动的时间为t 秒.(1)当t为何值时，四边形A BD E是矩形；(2)当t为何值时，DE=C0 2(3)连 接A D,记 4 D E的面积为S,求S与t的函数关系式.2 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =/+b x +c与x轴交于4(3,0),8(1,0)两点，与y轴交于点C.求抛物线的解析式；(2)若 点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且 点P的横坐标为t,连 接P A,P C,AC.求AACP的面积S关 于t的函数关系式.求AACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标.2 4.如图，已 知Z i M B C内接于
17、。0,NBOC=12 0。，点A在 优 弧BC上运动，点”是 念 的中点，BM交A C于 点D,点N是a的中点，C N交A B于 点E,B D,C E相交于点F.（符用图）求证:EF=D F；在（1）中，若4 A Be的边长为2,将&A BD绕 点D,按 逆 时 针 方 向 旋 转 得 到 H G D（DH DG）,AB 与 DH 交于点 J,DG 与 CN 交于点 I,当 0 m 6 0 时，4 DIJ的面积S是否改变？如果不变，求 S的值；如果改变，求 S的取值范围.2 5.如图，以 原 点。为圆心，3为半径的圆与x 轴分别交于A,B两点，在 半 径。8 上取一点（其 中 0m 0,n 0
18、),当2 W x W 4时，函数有最大值5.(1)求此二次函数图象与坐标轴的交点；(2)将函数y=a/-2ax-3(a 0)图 象x轴下方部分沿x轴向上翻折，得到的新图象与直线y=n恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为A,B,C,D,当 以BC为直径的O F与x轴相切时，求n的值.若P l。,%)是(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若 关 于m的一元二次方程m2-yom+fc-4 +yo=O恒有实数根时，求实数k的最大值.33.如图，在平面直角坐标系中，顶 点 为(4,-1)的抛物线交y轴 于4点，交 工轴 于B,C两点(点B在 点C的左侧)，已 知A点坐标为(0,3).(1)求此
19、抛物线的解析式(2)过 点B作线段A B的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴/与0 C有怎样的位置关系，并给出证明；(3)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A,C两点之间，问：当 点P运动到什么位置时,PA C的面积最大？并求出此时P点的坐标和P 4 C的最大面积.34.已知，如 图 1,正方形A BC D的边长为5,点E,F分别在边AB,A D的延长线上，且 BE=D F,连 接EF.(2)将A E F绕 点A顺时针方向旋转，当旋转角a 满 足 0 a 0,n 0),当 2WxW4时，函数有最大值5.(1)求此二次函数图象与坐标轴的交点；(2)将函
20、数y =ax2-2 ax -3(a 0)图 象x轴下方部分沿x轴向上翻折，得到的新图象与直线 y =n 恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为A,B,C,D,当 以BC为直径的圆 与 x轴相切时，求 n 的值.若 点 P(x o-y o)是(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若 关 于 m的一元二次方程m2-yom +k-4 +yo=O恒有实数根时，求实数k的最大值.37.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.如图1,四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,D A的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图，点P是四边
21、形ABC D内一点，且满足PA=PB,PC=PD,/.APB=/.C P D,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,D A的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想：(3)若改变中的条件，使N4P8=NCPD=90。，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)38.如图，四边形ABC D内接于0 0,A B是的直径，A C和B D相交于点E,且DC2=CE-CA.(1)求证：BC=CD-,(2)分别延长AB,D C交 于 点P,过 点A作 4F1CD交C D的延长线于点F,若P B =0 B,CD=2 V 2,求 DF 的长.39.已知在平行四边形A BC D中
22、，N B =6 0。，E,F分别为AB,A D边上的两动点，且在运动过程中保持/E C F =6 0。，A C为平行四边形A BC D的对角线.(1)如图，若AD=AB,当 点E与 点A重合时，探 索 AE+AFy.AC的值；当 点 E 与点力不重合时，探 索 Q 4 E +A F):4 c 的值；(2)如图 ，参 考(1)研究方法，若AD=2 AB,当 点 E 与 点 4 重合时，探 索(AE+2 AF):AC的值；当 点 E 与点力不重合时，探 索CAE+2 AFy.AC的值;如 图 ，参 考(1)(2)研究方法，若AD=3 A B时，试探索是否存在常数3使得i AE+3AFy.AC=t,
23、若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由.图0B40.已知直线，i：y=k x(k 4 0)；抛物线：y =ax2+b x +1.(1)若 抛 物 线 经 过(3,t)两点，且抛物线的顶点在直线y=x 上，求此时抛物线的顶点坐标；若把直线h向上平移(1 +1)个单位长度得到直线12,且无论非零实数k为何值，直线12与抛物线都只有一个交点.求此时抛物线的解析式；已 知MN是 过 点(0,2)且平行于x 轴的直线，点P是此抛物线上的一个动点(点P不 在 y 轴上)，过 点P作 直 线PQH y轴与直线MN交 于 点Q,0为 原 点.求 证 POQ是等腰三角形.41.在坐标系xOy中，抛物线y
24、 -x2+b x +c经过点4(一 3,0)和 8(1,0),与 y 轴交于点C.(1)求抛物线的表达式：(2)若 点D为此抛物线上位于直线A C上方的一个动点，当XD A C的面积最大时，求 点D的坐标；设抛物线顶点关于y 轴的对称点为M,记抛物线在第二象限之间的部分为图象G.点 N是抛物线对称轴上一动点，如果直线MN与 图 象G有公共点，请结合函数的图象，直接写出 点 N 纵坐标t 的取值范围.42.如图，已知点4(一 3,0),二次 函 数y a x2+b x +V3的对称轴为直线x =-l,其图象过点A与 轴 x 交于另一点B,与 y 轴交于点C.(1)求二次函数的解析式，写出顶点坐标
25、;(2)动 点 M,N同 时 从B点出发，均以每秒2 个单位长度的速度分别沿 A BC的B A,B C边上运动，设其运动的时间为t 秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连 接 M N,将B M N 沿MN翻折，若 点B恰好落在抛物线弧上的B,处，试 求 t 的值及 点B 的坐标；(3)在(2)的条件下，Q为BN的中点，试探究坐标轴上是否存在点P,使 得 以 8,Q,P 为顶点的三角形与AA B C 相似？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，试说明理由.43.如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线丫 =/+6；+经 过A,B,C三点，已 知 6(4,0),(1)求该抛物线的解析
26、式和点4 的坐标；(2)点 D(m,n)(-l m 0)的图象的顶点为D点，与 y轴 交 于C点，与x轴交于A,B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0),O B =O C,3tan/AC。=图1(1)求这个二次函数的表达式.(2)经 过C,D两点的直线，与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点力,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且 以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度.如 图2,若 点G(2,y)是该抛物线上一点，点P是 直 线A G下方的抛物线上一动点，当点P
27、运动到什么位置时，2A PG的面积最大？求出此时P点的坐标和A A PG的最大面积.图2答案1 .【答案】(1)当 BQ=M N 时，四 边 形 B M N Q 为平行四边形,v M N/BC,四 边 形 B M N Q 为平行四边形.(2)N B Q M =乙4 =9 0 ,NB=4 B,B M Q s BCA,解 得 刀=也(3)v =9 0 ,AB=3,AC=4,.BC=yjAB2-VAC2=5,Q B M s ABC,QB _ QM _ BM pn X _ QM _ BMAB AC BC1 3-4-5 解 得，Q M =g x,M NBC,MN AM n n MN 3-今/.=,即 一
28、=,BC AB 5 3解得，M N=5 X,则四边形 BMNQ 的 面 积=ix(5-x+x)x x =-g(x-g)+|,当x =1|时，四 边 形 B M M Q 的面积最大，最 大 值 为|.2.【答案】(1)v OA=1.tanZ.BAO=3,萼=3,解得 OB=3,OA又 由 旋 转 可 得O B =O C =3,4(1,0),B(0,3),C(-3,0),设抛物线解析式为y =a x2+bx+c,把 A,B,C 三点的坐标代入可得(a+b+c=0,(a 1,9 a -3 b +c =0,解得 b=-2,c=3.(c =3.抛 物 线 解 析 式 为 y =-x2-2 x +3.(2
29、)由(1)可知抛物线对称轴为x =-1,顶点坐 标 为(-1,4),COD为直角三角形，当 4 C E F 与 4 COD相似时有两种情况，即 Z.F E C =9 0 或/.EFC=9 0,若 LFEC=9 0。，贝 U PE 1 CE,对称轴与x 轴垂直，此时抛物线的顶点即为满足条件的P 点，此 时 P 点坐 标 为(-1,4)；若 Z.EFC=9 0。，贝(J PE 1 CD,如图，过 P作 P G _ L x 轴于点G,贝 U Z.GPE+乙PEG=Z.DCO+乙PEG,：.乙GPE=/.O CD,且 乙PGE=/.COD=9 0。，.PGEs COD,PG _ GEOC=ODf E(
30、-l.O),G(t,O),且 P 点横坐标为 t,*GE=-1 t,PG=-t?2 t +3,奇”=三二，解 得 t =一 2或 t =3,P 点在第二象限，t 一=一，Z-DAE=乙DCF,CF CD 2延长 BC 至 G,使得 CG=2,作 JLCGQ=6 0 ,且 QG=%连接 CQ,FQ,CF,APf PQ,BC=5,PC=3,.BP=BC-P C =2,BP 2 3 ,QG j 2AB 3AB BP 3.-=-=,CG QG 2 乙 ABP=乙 CGQ,A B P s CGQ,AP AB 3=,CQ CG 2/-BAP=(GCQ,Z.BAD=Z-DCGZ.PAE=乙QCF,_A_P_
31、 -_A_E_ 一 3,CQ.CF 一 2,A P s CQF,PE AP 3J._ _ ,FQ-CQ-2 PE=1,FQ=I，点F在 以Q为圆心，以|为半径的圆弧上移动，P F P Q-FQ,当且仅当P,Q,F三点共线时，P F取得最小值，过点 Q 作 QHJ.CG 于 H,在 Rt HQG 中 Z.QHG=90,Z.QGH=60,HG=-Q G =-,HQ=V3HG=,PH=PC+CG-HG=3+22 x 3 x 3 3 3.PQ=y/PH2+HQ2=等，.P F的 最 小 值 为|.9.【答案】(1)如图，v AB=AC,:.乙ABC=Z.ACB,M是B C的中点，AM 1 BC,在 R
32、t ABM 中，.MABZ.ABC=90,在 Rt CBE 中，Z.EBC+Z.ACB=90,Z.MAB=乙 EBC,v MB=MN,M B N是等腰直角三角形，/.乙MNB=乙MBN=45,Z,EBC+乙 NBE=4 MAB+乙 ABN=乙 MNB=45,:,(NBE=L A B N,即 BN 平分 Z.ABE.(2)设 BM=CM=MN=a,四边形D N B C是平行四边形，.DN=BC=2Q,在A A B N和AD B N 中，AB=DB,乙NBE=B N,BN=BN,皎OBN(SAS),AN=DN=2a,在 Rt ABM 中，由 AM2+M B2=A B2.可得：(2a+a)2 4-a
33、2=1,解得：Q=等(负值舍去)，BC=2a=.5(3)TF是 4 8 的中点，在 Rt MAB 中，MF=AF=BF,NMAB=a FMN,v 匕MAB=乙CBD,乙FMN=(CBD,MF=MN-=1 n n 即MF一=MN一,AB BC 2 BD BCM F N s BDC,乙MFN=乙BDC.1 0.【答案】(1)抛物线过原点，贝IJ b=0,%=2 =1，解得：a =p2a 4故抛物线的表达式为：y =令 y =-x2 x =0,解得 =0 或 4,故点D的坐标为(4,0).(2)线段PE,P F的数量关系为PF=V5PE,理由：如图1,设A C的中点为G,则点G(2,2),贝lj A
34、E+EG=GC,GE+GE=GE+GC-AE=EC-AE=2,故 EG =1,则 点 E(l,2),.BE=2 1 =1 过点E作E”上工轴于点H,Z,FEH+乙HEP=9 0,乙HEP+乙PEB=9 0 ,.乙FEH=乙PEB,乙 PBE=乙 FHE=9 0 ,PBEs FHE,=故 EF =2PE,EF H E 2在 R t P EF 中，PF2=PE2+FE2=PE2+(2 P E)2=5PE2,即 P F =遥PE.由 y=ix2-x =i(x-2)2-l 知：点 M(2,1),则 点 N(l,0),当FM=F D时，如图2,在&MND 中，MD=/MN2+DN2=V l +22=V
35、5,在 4MNF 中，设 F M =F C=k,由勾股定理得：NF2+M N2=MF2,即(2-f c)2+l =/c2,解得：k=：,故 F M =F D=3 NF=2-=,则 O F =O N +N F =2 +三=U,4 4 4 4 4故点F (芳,0)；点 P(O,t),则 PB=2-t,而 B E=1,在&PBE 中，PE2=BP2+BE2,即 P E2=1 +(2 -t)2,而 PF=y/5PE,则 PF2=5+5(2-t)2,在 APOF 中，OP2+OF2=PF2,即产+(?)=5(2-t)2,解得：t =J;o当DF=D M时，如图3,连接M G,由知 D M =V 5=D
36、F,则 O F =4-V 5,故点 F(4-V 5,0),由知，P E2=1+(2-t)2,P F2=5+5(2 -t)2,2在 R t A O P F 中，。2 2 +。产=。产，即 t2+(4 -V5)=5(2-t)2-解得：t=当乂；当F M =D M时，根据抛物线的对称性，则 点 F,0重合，即 点 F(0,0),P E L E F,则 点 P 在 4c的上方，这 与 点 P(0,t)为 线 段OB上的点矛盾，故这种情况不存在；综上，t =?或 器.8 211.【答案】(1)如 图 1,作 D K14B 于 点K.将线段E A绕 点E逆时针旋转a得到线段EF,Z.AEF=a,AE=EF
37、.在 R t DA K 中，v c os DAK=c o s a =箓=5，且 A D=1 3,：.AK=5.DK=JAD2-A K2=,1 3 2 -52 =1 2.S 平行四边形=4 8 x DK=2 5 x 1 2 =3 0 0.如 图 2,延 长C D至H,作 乙4 HD=a./.AHD=/.ADH=a,AH=AD=1 3.过 点A作A M L D H于 点M.由(1)知 A M =1 2.A D M =/AD2-A M2=5.DH=1 0.v Z-FEH=乙DEA 4-乙a=Z.F +a,Z.DEA=Z F.在A A E H和 E F C中，Z-AEH=Z F,4 H=Z.C,.AE
38、=EF,4 EHg Z i EF C(A A S).EH=CF,CE=AH=1 3.DE=CD-CE=12,BF=CF-BC=22-13=9.BG/CE,FBGs FCE.BF B G 曰 n 9 B G =，.C F C E 22 13(3)如图 3,延长 CD 至 P,使 ZP=ADP=a,过 点F作F M/B C,交C D于 点M,过 点FN L C D,交C D于 点N.由(2)可 知AEP=乙EFM.在A E A P和A F E M中.=乙 FME,AEP=4EFM,(AE=EF,.EAPg AFEM(AAS).EM=4P=13,FM=EP.设 DE=x,则 FM=EP=10+x,C
39、M=25-(13+x)=1 2-x.FN-FM-sina=|(1 0 +x),MN=FM cosa=卷(10+x).CN=CM+MN=1 2-x+(10+x)=13 13在 Rt CFN 中，CF2=CN2+NF2=(208x2-416x+56836).对称轴 x -=1.2a 2X208 当x=l时，C F的值最小，C F的最小值为誓.1 2.【答案】(1)当 点A 在对角线B D上时，如 图1.AB=4,CB=3,.BD 5.由折叠性质，AD=AD=3,AP=APf Z,A=Z.PAD=90.BA=2.设 4P=%,贝lj BP=4-x.,BP2=4 5+4炉，.(4 x)2=%2 4-2
40、2,解得%=|.AP=-；当 点 A 在对角线A C 上时，如 图 2.根据折置的性质可知DP 1 AC,DAP ABC.AD _ ABAP-BCAP=ADBC 3X3 A P 长为:或 I2 4 如 图 3.设 AP=x,则 BP=4-x,根据折叠的性质可知：P4=P 4=x,PB=PB=4 x.=2,4-%=2.=1,即 AP=1；如 图 4.设 A P=%,贝 lj BP=4 x.根据折叠性质可知：PA=PA=x,PB,=PB=4 x.v AB1=2,x (4 x)=2.,=3,即 AP 3.4 P 长 为 1 或 3.F 到 B C 的距离为【解析】(3)如图 5,作 FH 1 CD
41、于 H,作 F/1 BC 于 I.根据折叠性质可知：AD=DF=3,BG=GF,G,F,D 三点共线.设 BG FG=xf在 Rt GCD 中，(X+3)2=42+(3-X)2,解得 x=.13 5.DG=DF+FG=匕 CG=BC-B G =3 3v FH/CG,FH DF-=-.CG DG易知四边形F IC H为矩形,FH=IC.GI=G C-IC =在 Rt FGI 中，FI=yjFG2-GI2=.图51 3.【答案】(1)如图1,-A C为直径，/,ABC=90,Z,ACB+乙BAC=90,v AB=BCf UCB=乙BAC=45,Z.ADB=Z.ACB=45.(2)线段EA,CF,E
42、 F之间满足的等量关系为：EA2+CF2=如图 2,设 Z.ABE=a,(CBF=B，：AD/BF,乙EBF=Z.ADB=45,又乙ABC=90,a+4=45,过 B 作 BN 1 B E,使 BN=B E,连接 NC,v AB=CBf 乙ABE=LCBN,BE=BN,:4 AEBq CNB(SAS),AE=C/V,(BCN=乙BAE=45,.理由如下:/.FCN=90.Z.FBN=a+0=Z.FBE,BE=BN,BF=BF,BFE BFN(SAS),EF=FN,v 在 Rt NFC 中，CF2+CN2=NF2,EA2+CF2=EF2.如 图3,延 长GE,H F交 于K,由(2)知 EA2+
43、CF2=EF2,.-EA2+-CF2=-E F2,2 2 2*S“GE+S&CFH S&EFK，+S4CFH+S五边形BGEFH=F K +S五 边 形BGEFH，即 SABC=$矩 形BGKH ShABC=5 s 矩 形 BGKH*,S&GBH=S&ABO=S&CBO S&BGM=S 四 边 形 C0MH，S&BMH=S 四 边 形 /2,CF=V2(k+3),EF=V2(8fc-3),EA2+CF2=EF2,2 2 2(3V2)+V2(fc+3)=V2(8/c-3),整理得：7k2一6卜一1=0,解得：fcj=-2 (舍去)，k2=1.AB=12,1.AO=与AB=6V2,.O O的 半
44、径 为6V2.1 4.【答案】(1)当 =0 时，y=ax2 4-hx 4-6=6,贝!J C(0,6),设抛物线的解析式为y=a(x+l)(x-6),把 C(0,6)代入得 a-1-(-6)=6,解得 a=-1,抛物线的解析式为y=(X+1)(%-6),即y=-x2+5%+6.(2)设P点坐标为(x,-x2 4-5%+6),作0 D 1 A C于0,过0作P,D L y轴交抛物线于P 点,如 图1,.(JA=0C=6,0 A C为等腰直角三角形，CD=AD,D(3,3),当 y=3 时，/+5%+6=3,整理得%2-5x-3=0,解得,x2-s-7,此 时P点坐标为(当亘,3),若(咨亘,3
45、)时，即P点坐标为(史弃,3),若(士咨,3)时，以0为圆心，0 D为半径的O 0与4 C相切.如 图：PC2=x2+(-x2+5x)2,p A2=a _ 6)2+(-/+5x+6)2,AC2=62+62=72,当 Z.PAC=90,PA2+AC2=PC2,(x-6)2+(-X2+5x4-6)2+72=/+(-x2+5x)2,整理得x2-4%-1 2 =0,解 得Xj=6(舍去)，x2=-2,此 时P点坐标为(-2,-8).当/.PCA=90,PC2+AC2=PA2,72+x2+(x+5x)2=(x-6)2+(一 久2+5x+6)2,整理得x2-4x=0,解 得 =0(舍去)，x2=4,此 时
46、P点坐标为(4,10),(%6)2+(x2+5x+6)2+x2+(x2+5x)2 72,整理得%3 10 x2+20%+24=0,x3-10 x2+24x-4x+24=0,x(x2-10 x+24)-4(x-6)=0 x(x-4)(x-6)-4(x-6)=0,(x 6)(/4x-4)=0,而 x 6 0,x2 4x-4=0,解得 x1=2+2V2.x2=2-2A/2止匕时P点坐标为(2+2或,4+2鱼)或(2 2鱼,4 一 2四)，综上所述，符 合 条 件 的 点P的 坐 标 为(-2,-8)或(4,1 0)或(2+2V2.4+2V2)或(2-2A/2,4-2V2).15.【答案】(1)y=-
47、|x2+x+2.(2)&PAC的周长有最小值，作 C 关于对称轴的对称点C,C(0,2)对称轴为直线x=1,C (2,2),AC=J(l+2)2 +2 2 =V1 3,AC=Vl2+22=V5,APACmin=A C +AC=VT3 +V5 设直线4 C 的解析式为y=kx+b,得：，;QK；解 得 卜=12k+b=2,U =直 线A C的解析式为y=|x+|，当 x=1 时，y=g，(3)v C(0,2),W(1,O),CH=2+2 2 =Vs,CD=m,DH=y/5 m,DE/BC,H D H E *-=-，H C HBDC2 V5 BE=SAHDE=(,)2 S“HCB=(等)2 X 2
48、 =|十 一 誓 血 +2,rS A ppp=-1 BnEr.,PniHJ =1、x，25 m,x f2 =2 x/5m,FEB 2 2 5 5,：S“c H=p H O H=)H P Q,.pn-PH9H _ _ 延 一C H 一遍 一 1 5 c1 6 n n c 1 居 2/5 SRCDP=-C D PQ=-m x =m,S&PDE=S&CHB S&HDE SMDP SBEPc 2 2 i 4伤 Q 2V5 4A/5=2 m d-m 2-m-m5 5 1515=2 m7 -.-2-近-m一5 5=I(m2 V5m)=I(m2 y/5m+：)+g当 租=争 s 取得最大值，最大值为【解析】
49、(1)由已知，得:b y一 元=1，Q b+c=0,c=2.解得/2a=3,4b=3，/3-l)x.2在 RtZkABE 中，由勾股定理：W AB2=AE2+BE2=(AD-x)2+(V3x),2综 合 ，得 4。2 +4。.(W 一1卜=(4。一)2 +(,切，化简整理，得A D =2(3-l)x,AD _ 2(V3-1)X _ C=(V3-l =【解析】(2)方法2：设。为B C D 的外接圆，连 接 OB,OC.由切线的性质，知/-ABO=90.匕ADB=60,/.Z-CDB=120.乙C D B 为圆周角，其所对的圆心角为240,Z,BOC=360-240=120.OB=OC,乙OBC
50、=乙OCB=(180-120)=30,乙48c=90-30=60,/./-A=180 45-60=75.1 7.【答案】(1)由题意可得假二:算，解得抛物线解析式为y=-x2+2x+3.(2)y=-x2+2x+3=-(x-I)2+4,F(L4),C(0,3),)(2,3),CD=2,且 CD/x 轴，4(-1,0),1 S 四边形 ACFD=SM C D+S“CD=2X2X3+-X2X(4 3)=4；(2)点P在线段A B上，/-DAQ不可能为直角，当&A QD为直角三角形时，有Z.ADQ =9 0 或 乙4 Q D =9 0。，i.当 AADQ =9 0 时，则 DQ 1AD,.(-1,0)