《2023年高考数学一轮复习重难点专题突破：专题06 双变量问题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考数学一轮复习重难点专题突破：专题06 双变量问题（解析版）.pdf（42页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题0 6双变量问题【方法技巧与总结】破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.【题型归纳目录】题型一：双变量单调问题题型二：双变量不等式:转化为单变量问题题型三：双变量不等式:极值和差商积问题题型四：双变量不等式:中点型题型五：双变量不等式:剪刀模型题型六：双变量不等式:主元法【典例例题】题型一：双变量单调问题例1.(2 0 2 2苏州三模)已知函数=,其中a e R.(I)函数f(x)
2、的图象能否与x轴相切？若能，求出实数a ,若不能，请说明理由；(I I)求最大的整数a,使得对任意X|W R,x2 e(0,+oo),不等式/a+X 2)-f a-)-2为恒成立.【解答】解：(I )r(x)=x e*-a x.假设函数/(x)的图象与x轴相切于点Q,0),则有M b，即(了=0td -a t显然 HO,d=a0,代入方程8 1)/一产=0中得，t2-2 t+2 =0.=Y (x(-x2)-(x,+x2)f(x+X2)+(XX+x2)/(x,-W)+(玉一 工2)恒成立.设 g(x)=/(x)+x，则上式等价于 g(X 1 +%2)g(X|，要使g(%+毛)-%)对任意占e R
3、，xi e(0,+8)恒成立，即使g(x)=(x-l)e*-+x在R上单调递增,g(x)=xe*-or+L.O在 R上恒成立.,.g(I)=e-a +L.O,则“，e+1,./(幻.0 在 尺 上成立的必要条件是：出 e +1.下面证明：当=3 时，3%+1.0恒成立.设 h(x)=ex-x-则 h x)=eA-1 ,当xvO 时，(x)0 时，厅(x)0,(幻 而”=。，即 Vxw/?，ex.x+1 .那么，当 x.O时，+工，xev-3x+112-2 x+1 =(x-1 )2 0：当 x0 时，ex 0,.、炉 一3工 +1.0 恒成立.x因此，。的最大整数值为3.例 2.(2 02 0秋
4、龙岩期中)已知函数g(x)=x-H/tx.(1)讨论g(x)的单调性；(2)若。2,且/(x)=-g(x)存在两个极值点%,%2(%(。-2)(玉 一 9)【解答】解：(1)g(x)=x H nr的定义域为(0,+8),z(x)=l-=x x 若 4,0,则 g(x).O,所以g。)在(0,+Q0)单调递增；()若 0,当 X(0,4)时，g x)v 0；当 X (a,+00)时，g(x)0.所以g(x)在(0,。)单调递减，在(a,KO)单调递增；证明：(2)因为人处存在两个极值点且。2,X2 一奴+1f(x)=-所以f(x)的两个极值点百，满足Y-依+1 =0，所以可 工 2=1，不妨设不
5、 1，则 小)-毛)=_J_ _+J g司一 9-I nx.-I nXi-一 2/碎=-2 +a!-=-2 +a-工%-工2 _x人2%要证,3)一”6七一2,只需证-一X2+2/以，1),x则，(幻=一 支 (),X知(x)在(1,+oo)单调递减，又 力(I)=0,当(l,+oo)时，h(x)0,故+2/nx,0,即/(%)一/3)(。-2)(5-x2).例 3.(2022辽宁)已知函数/(3)=(+1)桃+加+1(1)讨论函数/(幻的单调性；(2)设a v-l.如果对任意X，x2 G(0,+O O),|/(XI)-/(X2)|.4|XI-I,求。的取值范围.【解答】解：(I)/(X)的定
6、义域为(0，+00)/(x)=+2办=2 k +a+1 .X X当a.O时，r(x)0,故f(x)在(0,内)单调递增；当4,一 1时，广 0，故/(%)在(0,+oo)单调递减：当一 1。o；故f(x)在(0,)单调递增，在9,内)单调递减.(II)不妨假设方.七，而QV 1，由(I)知在(0,+oo)单调递减,从而D 石，x2 e(0,+oo),|/(X1)-/(X2)|.4|X1-X2|等价于 D%，x2 e(0,+oo),/(Xj)+4X2.,f(xl)+4x,Q)令 g(x)=f(x)+4x,则 g 0.X(1)当m=e(e为自然对数的底数)时，求/(x)的极小值;(2)讨论函数g(
7、x)=/(x)-x 的单调性;(3)若加.1,证明：对于任意匕 a 0,八 吁。).b-a【解答】解：(1)当“=e 时，/(x)=2/nx+-,八尤)=与，XX当X时，r u)o.所以，元=|时,/(X)取得最小值/昌=2加2+2=4-2 加 2.(八/、6/、,m,2m-x2+2x-m -(x-1)2+l-m(2)g(x)=f(x)-x =2bvc+x(x 0)，g(x)=-y-l=-=-;-X X X X X1m.i2时，g(x),03,g(x)=/(x)x4在(0,+oo)5单调递减.证 明：0 o,g o i T+/i7”一 7,X当 0 V X V 1 -J1 一 2 时,g x)
8、vO；当 1 -J1 一?,X V 1 +-加 时,g，(x).0;当.1 +Ji-m 时，g(x),0.即 O vm vl 时，g(x)=/(x)x 在(0,1 和 l+V T,+oo)上单调递 必在 1 -在一一,1+Jl m)上单调递增.由(2)知，当机.1时，g(x)=/(x)-x 在(0,+oo)上单调递减,所以，当“.1 时，对任意 b Q 0，f (b)-b a 0,/(吁f(a)i.b-a题型二：双变量不等式:转化为单变量问题例 5.(2021春海曙区校级期中)已知函数f (x)=-x+Hnx.x(1)讨论f(x)的单调性；(2)已知a 9,若 f(x)存在两个极值点为，x2,
9、且 王)上单调递减，若 a 2,令 h(x)=0,解得：玉=4 0,x2=_ 。，2 2 一J/4故 x (0,-)时，/i(x)0,即/(X)0,即 fr(x)0,+J n 4x G(-,+oo)时,h(x)0,fx)0,故f(x)在(0,纥 或 三)递减，在(匕 应 三，丝 叵 工)递增，在(竺 或三，y)递减，2 2 2 2。-2 时，令人(幻=0,解得：X)=-4 0,=+&4 0,2 2故 x e(0,+a)时，h(x)0,即 fx)2时，/Xx)在(0,9电三)递减，在(伫 世 三，”也 三)递增，在(竺 或 三，+00)递减.2 2 2 2(2)若/(x)存在两个极值点与，x,且
10、ex2，则玉+工2=，x(x2=l(x2 1),由 a V ,可得 l w 2,则2 2+为=2-考-4+(考-与 山,%!X2 X2 X2令 g(x)=2-九2 -+(x2 -)/tr(l x 0,所以g(x)单调递增，所以g(x)o,引2-:故管+等的取值范围是喧心例6.(2021春江宁区校级期中)已知函数f(x)=ar/nr,a e R.(1)当 a=l 时,求/(X)的极值;m若对任意的x.e 都有/(外 e ,m 0 9求 m 的最大值；x(2)若函数g(x)=/(x)+x2 有且只有两个不同的零点七 ,”,求证：xx2 e2.【解答】解：(1)。=1 时，f(x=xlnx f x)
11、=I nx4-l(x 0),令r a)o,解得：x-,令r(x)o,解得：o x 0,故一 0,故x由知f(x)在(L +00)单调递增，tnin故x.*,可得0,即功式.根，X当寸，/(X)的最小值是/(e)=e ,故m 的最大值是e；(2)证明：要证司 工 2 ，只需证明加(%/)2 即可,由题意内，公是方程欠仇r+d=0 的两个不相等的实数根,/x 0,a lnx+X!=0 消去 qa lnx2+x2=0 、%+1整理得：/”(X 9)=/%土 一W A _iX2不妨设片 x,令五，则/1,X2故只需证明当，1时，lnt-2,即证明/，”也二r-1 r+1设%)=%-处3,则(。=1一2
12、/+1 tr+i-a-i)a-I)2Q+l)2 W+l)20,于是)在(1,”)单调递增，从而 力(1)=0,故 I nt ，故 xx2 e2.r+1例 7.(20 22德阳模拟)设函数 f(x)=-|e 2、(x-l)e (a e R).(1)当 时，求 g(x)=r(x)r 的单调区间(广。)是/(x)的导数);e(2)若 f(x)有两个极值点玉、3.【解答】解：(1)当时，f(x)=-e2 x+(x-)ex e2 e则 f x)=ex-ex+e x),g(x)=-ex+e x,/.g x)=-ex+e,显然/(%)递减，且 炉(1)=0,故当工,1 时，g x).O,%1 时，g x)0
13、,解得：x J故2(x)在(-00,1)递增，在(1,+8)递减，故加(X),m(1)=-,而 x 8 时，m(x)T 0,e故。的取值范围是(0，-.e故菁 +2X2 3 u 3 a ex 4-2 a e=3一马(/i +2 2)=%-(e -&+2),ex -e 一 1令 f =%一 9，则/v 0，3 v%+2赴 o 3 v -(d +2),r 0 在f v O 时成立,令=(3 -2,一 3(t 0),=(2 r)d 2(/0,故”)在，v 0 上单调递增，即)(0)=0,故 在，(0)=0,故原不等式成立.例 8.(2022潮州二模)已知函数 a，g(x)=x2-ox(6 f 0).
14、(1)讨论函数(x)=/(x)+g(x)的极值点；(2)若石，电(西 4a.X X【解答】解：(1)h(x)=/(x)+(x)=/nx+x2-ax(x 0)(a 0),一、1 3 2X2-ax+1h(x)=l-2x-a=-x x令 2/一 +1 =0,=/一 8,当02夜时，令 212_以+1=0,解得：x=-,4当 XW(0,-8),(4+J/g,+8)时，(X)O,做工)递增，4 4a a-8 o+VtT-8 H。、系,甘x e(-,-)时，A(x)0,(x)速减，4 4故(X)极大值点是 伫 五 m,极小值点是 史 五 m：4 4综上：0 2立 时，(x)极大值点是丝出三，极小值点 是
15、近三；4 4(2)由 f(x)驾+=/我 一 +工=0,即/nr+=0，X X X X X令 k(x)=Inx+=(1 0,4 0),x2kx)=-=,令 kx)=0,得x=y2a，x x x当0 c x e 伍 时，K(x)0,.MQ)在。痴)递减，在(痴，”)上递增，又.Z(x)有 2 个零点，(疝)0,B|J/nV2+0.解得：0 a 2a 2e且lnx1+=0芭 ，两式相减得：/砾一祇|=二 一 二l.n xa A x x,y+=0 勺-看设 Z =受。1),Int=:一-工,X%GX：二卷(1 一;)，要证明 X；+4，即证明(1 +产)与 2 4a,(l+z2)(1一 -)4a,I
16、nt r*(1+2)-r(l-5)2，即证明 21m2 -t2+5 vO Q l),q(x)=2ltvc-x+(x)x(x)=_(x_,D 0,X.q(x)在(l,+oo)上单调递减,/.q(x)q(1)=0,.e.21nx x H 4。.x例 9.(2022浙江模 拟)已 知 a w R,函 数/(外=/-以+。.(I)若/(x).0,求。的取值范围；(H)记 石，x2(其中x v 乂)为/(x)在(。，+)上的两个零点，证明：%)0,/*)在 R 上递增，又/(幻=0,故 4=0 符合题意，当 0 时，/(X)在(YO,痴0 递减，在(/w,+oo)递增，/.f(lna)=elna-aln
17、a+.()，故加一alna.0，又。0,:.2-lna.0,解 得:0 0,/在 R 上单调递增，当 x -8 时，-0,-a x+a -o o ,/./(x)-co ,不符合题意，综上：0领 h e1.(2)证明：令/(x)=0,则=一(尤 0 且 x w l),x-1记 p(x)=x 0 且 。1)，由 于(x)=y r ，故尸 在(0,1)和(1,2)匕 递 减,在(2收)上递增,且当 X-0+时，p(x)-1,当 X-时，P(九)一 -O 0,当 X-1+时，p(x)-+00,当 X-+8 时，p(x)f”,根据题意可知，a e1,H 1%2 x2,先证，_6不，即证八 6%,显然成立
18、；a -e7再证X 1,lna 0,2只需 证,-,玉-1,:。(工 -1)=e*,I na =-Z n(X1-1)，2 1?/.只需证 ln(xl-1)-,即证 I n-%,X 1 Xj 1 Xj 1又 I n!-1 ,%1 1%11 o 1二.只需证-1 -%，亦即%一 1-,BP(%)-1)2 1 ,%-1%!1 X1-1由知，1AJ2,.,.0XJ-1 1,故(3 -1)2 0；当 1 时，/(x)0.(2)若 存 在 两 个 极 值 点 斗，x2,证明：/(XJ 7(X 2)0,2 xra)2 =一(x,“o 在定义域上恒成立，x 2 2 x 2 x2所以/(x)在(0,+o o)上
19、单调递减，当0 x f(1)=0，当x l 时，/(%)f(1)=0，原命题得证./c、/，/、/,、a x+2x 1八 幻=75(7)=-若存在两个极值点，则，八，解得0 07 1由韦达定理可知，x+w=,玉/=(*),a a、(/叫 一/5)一:(X|一 工 2)+)(/7 1 1/(xl)-，原命题即证：/土-二土 l,x2%石 +尤 2 2 2 xt 2X2 x,原命题即证：/加一上口一工+，l)r +1 4 4r r +1 4 4ft Q +l)2 4 4*4 +l)2当，1 时，g(f)0,g 在(1,+8)上单调递减，g(f)g(1)=0 原命题得证例11.(2 0 2 1 春浙
20、江期中)已知函数f(x)=4 x+a 底.X(1)当“=0 时，求函数/(x)在点(1,0)处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若/*)存在两个极值点王，x,证明：如)二苞)0),X-f +QX 1则/(%)=当 a =0 时，=x所 以/(1)=-2,则/(x)在(1,0)处的切线方程为y =-2 x+2；(2)解：函数的定义域为(0,+o o),且 八 用=一 _+产 7，X-令 g(x)=-d+OX-1，且 g(0)=-l,当小。时,g(x)0 恒成立，此时尸(x)0 时.，判别式=/-4,当 0 2 时,令 g(x)0 ,解得-勺 犬 一，令 g(x)0 ,解得 0 x +
21、-，,2 2所以f(x)在(二4三，+2 4)上单调递增,在 空 考 三)和(竺*三，y)上单调递减.综上所述，当4,2 时，,f(x)在(0,+8)上单调递减；当a 2 时，/(x)在kA,“+，-4)上单调递增，在(0/74)和(a +J；-4,田)上单调递减.(3)证明：由(2)可知，a 2 0 X j 1 ,%/=1,则/(x,)-/(x2)=-x1-a lnx-4-a lnx2%X2=(九 2 -)(1 +)+a(J曲i -I nx,)N Z=2(%)+a b ixx /5)，则/(X)一/(F)=2 i/5),X1-x2 百 一 x2故问题转化为证明啊 二 也 x-x2 则/叫 一
22、/,玉 一,即证加X 1 +/3 斗-，即证2/g x-在(0,1)上恒成立，令/z(x)=2 lnx x+(0 x 其中(1)=0 xXX X X故(x)在(0,1)上单调递减，则 h(x)h(1),即 2 1nx-x+0 x故 2 lnx x x所以/(X j _/a 2)q _ 2.七一 W例1 2.(2 0 2 1秋武汉月考)已知函数/(工)=伍 +犬2-(Q+DXMCR.(1)讨论函数/(x)的单调区间；设 为，工2(。西 0,得Ov xv l,令r(x)1,所以/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+0 0)上单调递减，当O v a v l时，令/(%)0,得O v x v l或
23、,a令/7(x)0 ,得 1 无 l时，令/(x)0,得0 c x或x l,ar(x)o,得Lx i,a所以/(x)在(0)，(1,g o)上单调递增，在d，1)上单调递减，a a综上所述，当4,0时，在(0,1)上单调递增，在(1,物)上单调递减,当0 a l 时，f(x)在(0-)，(1,+o o)上单调递增，在(L 1)上单调递减.a a(2)证明：g(x)=f(x)+x=b vc+x2-a x 则 g(x)的定义域为(0,xo),，/、1 a x2-a x+lg (x)=_ +a r _ a =-，x x若 gW有两个极值点玉，x2(0 jq 0 ,且 +=1，匕 W =0 a解得a4
24、,又0%工 2，所以工；不 占=!，H P 0 X j -j=所以 g(xy)-g(x2)=lnx1+-a x-lnx2 x2+3=lnx-ln-3c xx+工2)(玉-x2)-a(x1-x2)a x 2=I nx、+/(办)-学 2 玉-1)=lnx+)+-a x设 h(t)=I nt+b i(a t)+2 一 G,其中 f =2 4.7 7 2由=4 。=0,解得f =士，又士 t a a所以人在区间(0,-)内单调递增，在区间(2,内单调递减,即h(t)的最大值为f t(-)=2 ln2 -I na+-2 -I na ,a 2 2所以g(X)g*2)0,证明：当0 X/(-x)；a a
25、a函数y =/(x)的图象与X 轴相交于A、B 两 点,线段45中点的横坐标为飞,证 明/(天)0 时，则由尸(x)=0,得*=l，a当 x w(O)时，/,(x)0,当 xed，+8)时，f(x)0 恒成立,./(X)在(0,z o)单调递增；设函数 g(x)=/(-+x)/(-x),a a则 g(x)-/(+x)a(+x)2+(2-a)(+x)-ln(-x)-a(-x)2 4-(2-a)(-x)=/?(1+ax)-ln(-ax)-lax,a a a a a a,a a 2 a Jg(x)=E 匚晟一 2 叫 匚 市当x e(O)时，g(x)0,而 g(0)=0,a.,.g(x)g(O)=O
26、，故当0 x/(-x)；a a a由可得，当心 0 时，函数y =/(x)的图象与x 轴至多有一个交点,故a o,从而f(x)的最大值为/己)，且/d)o，a a不妨设 A(芭，0),8*2，0)，0 x,/(X1)=/(A2)=0,a a a又/(X)在d，+8)上单调递减，a2 工.日 芭+为 1.x,a2 a由知，f(x)0.例 1 4.(2 02 1 秋山西期末)已知函数f(x)=2 x+(l-2 a)lnx+-.X(1)讨论f(x)的单调性;(2)如果方程/(x)=加有两个不相等的解否，x2,且与 0.【解答】解：(1)r(x)=2 +-3=2厂 +(1;2a)x a=(x 4)(2
27、、+1)(.。),X XT X X当 4,0 时，x e(0,+o o),f (x)0,/(x)单调递增；当 a 0 时，x e(0,a),/,(x)0，f(x)单调递增，综上，当4,0时，f(x)在(0,丑o)单调递增；当a 0 时，f(x)在(0,a)单调递减，在(a,g o)单调递增.(2)由(1)知，当&0 时，/(x)在(0,+o o)单调递增，f(x)=m至多一个根，不符合题意；当a 0 时,f(x)在(0,a)单调递减,在(a,M)单调递增,则 4(a)=0.不妨设0 0,即证 与 三 a,即证七+蜀 2,即证w 2 a-x-因为/&)在(,”)单调递增，B Pi i E f )
28、f (2 a-X j),因为/(尤 2)=/(%)，所以即证/(西)/(2 a 耳)，即证/(a+K)v/(a-x)，令 g(x)=/(a+x)-/(-x)=2(。+x)+(1 -2 a)ln(a+x)4 -2(a-x)+(l-2 a)ln(a -x)+a+x a-x=4 x +(l -2 a)ln(a+x)-(l -2 a)ln(a -x)+-a+x a-x，,1 -2 z -2 a a ag (x)=4 +-+-7-7a +x a-x(a+x)(a-x)4 +2。(1 2 a)2 a(矿+x )4 x2(x-ci-c i)a2-x2(a +x)2(a-x)2(a-x)2(a-x)2当x w
29、(O,a),时，g (x)0，g(x)单调递减，X g(0)=f(a+0)-f(a-0)=0,所以 x (O,a),时，g(x)g(O)=O,B P f(a +x)/(2。一 次)，又不 (0,a),所以/(N)/(2 a-X 1),所以/(；)().例 1 5.(2 02 2 沙坪坝区校级开学)已知函数/(x)=f2 ar +2/i r(4 0).(1)讨论函数/。)的单调性；(2)设 g(x)=/R T-b x-C/,若函数/(外的两个极值点X ,天(与 W)恰为函数g(x)的两个零点，且y =a-马 尔(土 也)的 取 值 范 围 是,+00),求实数a 的取值范围.【解答】解：(1)函
30、数/(x)=V -2 a +2/x(a0)的定义域为(0,+o o),o 丫？_nx 1又/(x)=2 x-2。+=2-(。0,x 0),X X对于方程x2-a r 4-1 =0,=e z2-4(a 0),若=6 4,0,即Ov a,2时,则广(x).O恒成立,所以在(0,+o o)上单调递增；若=2 4 0,即a 2时，令/(x)=0,解得x ,或+彳,当x e(0,纥 斗 三)和(竺 岑三，+8)时，f(x)0,当xe(空三，小4)时，尸(幻0,所以f(x)在(0,空 当 三)和(+,+o o)上单调递增，.c i lci 4 a+，c厂 4、在(-，-)上单调递减.2 2综上所述，当0
31、2时，/(X)的单调递增区间为(0,右 冲二A和(亚;二 4,+8),单调递减区间为(竺咚二a +y/a2-4-2)；(2)由(1)可知，当 2时，xK+x2=a ,xx2=1(0),x故g，(：%)=-b-c(xx+x2),2 X j +x2由 g a)=g(2)=。，可得lnx-b X _ c x)2=0lnx2-h x2-cx=0两式相减，可 彳？/=Z?(X 工2)+C(X；石),所以 y =a-W)g()=2(4一)X 1 +x2-b(xt-x2)-c(x-X j)=2(西一)X j 4-22(-1)一/五=-/土,J *2Y令=飞(0,1),%所以y =二r +1则”土1 4 2,
32、故实数a 的取值范围是P?,+o o).题型五：双变量不等式:剪刀模型例1 6.(2 0 2 2 日 照 一 模)已 知 函 数/(x)=(x +b)(e2 a)(b 0)在 点(_ 3,/(_ J)处 的切线方程为 (e-l)x+e y+=0 (1)求。，b；(2)函数/(x)图象与x 轴负半轴的交点为P ,且在点P处的切线方程为y =K x),函数尸(x)=/(x)-h(x),x eR，求尸(x)的最小值；(3)关于元的方程/(%)=m 有两个实数根西，方，且工 )(a)=0 ,解得 b =i&a =,2 2 2 e 2 e又 r(x)=e2，(2 x +2 ft+l)_ a ,所以,2
33、e e e若=，贝 i j b=2 z f(舍去)；e 2所以A =,则a =1 ；2(2)由(I)可知，a =l,h =-,所 以/。)=(%+；)(6 2，一1),令 f(x)=0,有 x =-1 或 x =0,故曲线y =f(x)与x 轴负半轴的唯一交点尸为(-；,0),曲线在点P(-g,O)处的切线方程为y =/?(x),则力(x)=r(-；)(+；),因为 F(x)=-(x).所以尸(x)=/(%)-广(一 g)(x +；)，若 用，-1,Ff(x)所以 2(x +G(0,),F(x),X+1 G(,+co),e2 x G(-,+o o),2(x+)e2 x G(-,-K O),F
34、x)0 ,所以 y=F x)在(-,-+o o)上2 2 e e 2单调递增，尸(x)尸(_ g)=0,.函 数 尸 产(x)在(_；,+O 0)上单调递增.所以尸(力.=尸(-；)=0；(3)证明：ft(x)=(-1)(%+).设/?(*)=?的 根 为 则 为=+,e 2 2 1-e又y =(x)单 调 递 减,由(2)知/(x)./7(x)恒成立.又 T H=h(xr)=f(x,)./?(%),所以 xr X,)设曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y =t(x)，则r(x)=x,令 7 a)=x)T(x)=(x +*m=2(x +M y,当,一1 时，T(x)=2(x+l)e
35、2 -2,-2 l时,r(x)=2(2 x+3)e2 x0,故函数y =T(x)在(l,+o o)上单调递增，又(0)=0 ,所以当x e(-o o,0)时，7(x)0,所以函数y =T(x)在区间(TO,0)上单调递减，在区间(0,小功上单调递增,所以 T(x).7(0)=0 ,即 f(x).t(x),设 t(x)=m 的根为 x2.,则 x2.=m ,又函数y =x)单调递增,故加=心2.)=/(w).*2)，故 心.此“,z 1 m e.l+2 i以&_ xp,x=m (+-)=-meTe例 17.(2 02 1春道里区校级期中)已知函数f(x)=o r-，+l,比 3 是/(x)的极值
36、点.(I)求。的值；(H)设曲线y=/(x)与x 轴正半轴的交点为P,曲线在点P 处的切线为直线/.求证：曲线y=/(x)上的点都不在直线/的上方；(I I I)若关于X的方程/*)=机(加0)有两个不等实根X,x2(xt X j),求证：Xj-X,2-.【解答】(I)解：f(x)=a-e 由题意知，f(ln3)=a-eM=0；a=3；(H)证明:设曲线y=/(x)在 尸(王)，0)处切线为直线/:y =(3*)。一天)；令 g(x)=(3 靖)。一田)：4(x)=/(x)-g(x)=3x-e*+1-(3-e*)(x-xQ)；k(x)=3_ e _(3_ e&)=/_/；.1F(x)在(-8,
37、%)上单调递增，在(%,+co)上单调递减；尸(工)“田=尸(为)=/()-gOo)=0；,F(x)=,fx)g(x)0,f(x,g(x),即 y=/(x)上的点都不在直线 1 的上方；(I I I)由(I I)设方程g(x)=%的解为；则有(3-e&)(x2,-x0)=m,解得汇=言+玉,；由题意知，hii x2 0)；/(x)=ex-l 0；.,(X)在。+00)上单调递增；r(x)r(0)=0；.y=2 x的图象不在/(x)的下方；.y=2 x与 y=机交点 的 横 坐 标 为=；则有0 x J X v/3 ,即 0%玉 I ni x2 x2r；,m m.w 玉 内=7?+%一,.关于x
38、 0 的函数y =+X。-葭 在(友 3,2)上单调递增:m.W 玉37m m m 7 m+2 -+2=2-2 2-7 2 1 0例 1 8.(2 0 2 2 江西校级二模)已知函数/(x)=6 x-d,X GR.(I)求函数f(x)的极值；(I I)设曲线y =/(x)与x 轴正半轴的交点为P,求曲线在点P 处的切线方程;(HI)若方程x)=a(a 为实数)有两个实数根为，%且王 ，求证：-巧，6$-1.【解答】解：(I)由己知得：f(x)=6(l V)由/0)=0得：x=又当x 0,f(x)单调递增，当x l 时，/X x)0 ,当 X (X(),+8)时，F x)0 ,./)在(-8,%
39、)单调递增，在(X。，+O 0)单调递减，:NX JR、F(x)F(xo)=O ,即 Vxe R,都有/(x),g(x)；设方程g(x)=a的根为芍，.,工 2 =6 5 -4.g(x)在R单调递减，且 g)./(%)=。=g(x2f):、“/，设曲线y =f(x)在点原点处的切线方程为：y =M x),则易得h(x)=6x,V x eT?.f(x)-h(x)=-x6 0,即/(x),(x),设方程(x)=a的根为x j,则；0时，求证：状.(3(其中。为自然对数的底数);e(3)若a0,h 0求证：/(x)+(a +b)ln2.f(ci+b)-f(b).【解答】解：(1)f x)=+b vc
40、(x 0)-(1 分)令/(x).0 得：I nx.1 =I ne”,x.A ；e令 r(x)0 得：0 x 0 时，有/(b)./,=/(-)=-(6 分)e ei i 1 i 1/.b lnb.，即：lnbb./n(-)，-(8 分)e e e(3)将/(a)+(a +b)ln2.f(a +b)-f(b)变形为：f(a)+/(b).f (a +b)(a +b)伍2-(7 分)即只证：f(a)+f(a +b-a).f(a +b)-(a +b)ln2设函数 g(x)=/(%)+/(4一X)(%()-(8 分)/.g(x)=xlnx+(k-x)ln(k-x),:.0 x0,得：A 1=x0)恒成
41、立，求(左+1)机的最小值人(的最大值.【解答】解：(I )函数/(九)的定义域为(0,+o o),甘 日 将 冷 ,，/、e x-1)x-e x-X)x其导致力/(x)=a-3-=-彳(a -).x-x x eY由 J(x)=。=1=1 或，ex设(元)=三，uf(x)=，e e，当 x w(0,l)时，u x)0；当 x (l,+o o)时，ur(x)0时，(x)-0,当 x f+8 时，(%)-0 且(%)0 恒成立.当0或时，方程“=二 无根，函数X)只有x =l一个极值点.e ex当“=时，方程=土 的 根也为=1,此时广。)的因式”-3.0恒成立，e ex ex故函数/(x)只有X
42、=1 个极值点.1X当0 a 0成立，这与小戏,0恒成立矛盾;当;:+10时，因为“(X)在(0,+oo)上一为减函数，且e(一)=0,k+1：.函数以x)在区间(0,)上单调递增，(,+oo)上单调递减，k+1 k+夕(x),(p(-)=-/伏+1)z,攵+1若对Wxw(0,+oo),都有V%),0成立,则只需-妨(攵+1)-1-%,0成立，Ink+1)庞一1 2 =4+1 e ,当 0 时，则(A+V)m 的最小值 h(m)=,/hr(m)=elm(I-n i),.,.函数(在(0,1)上递增，在(L+Q0)上递减,h(m),士，即(Z+1)6的最小值人(帆)的最大值为二；e e综上所述，
43、依+D，的最小值以利)的最大值为e例 21.(2 02 2微山县校级二模)设函数/(x)=x/nx.(I)求f(x)的极值；(I I)设g(x)=(x+l),若对任意的x.O,都有g(x).,nx成立，求实数机的取值范围;(I I I)若 0 a b,证明：0 f(a)+f(%)-2/(；)0)令r(x)=o,解得：x=,且当x w(o,3时，r(x)oe e e因此：f(x)的极小值为/(4)=-e e(II)(x)=f(x+1)=(x+l)/n(x+1)令 h(x)=(x+V)ln(x+1)一 如,则 (x)=ln(x+l)+l-m注 意 到:(0)=0,若要Cr).O,必须要求 (0).
44、0,即1一 团.0,亦即m,1另一方面:当犯,1时，(%)=历(%+1)+1-加.0恒成立;故实数机的取值范围为：n,l(7/)构造函数 F(x)=alna+xlnx-(4-x)ln a +x,x a,Fx)=+b ix-lnCl+A-1 =In，2 2 a+x,：x a,.0va+xv 2 x,Fr(x)0,/(x)在(a,+oo)上是单调递增的；故 尸(b)尸(a)=0,即：/(a)+/0)-2/(|)O另一方面，构造函数 G(x)=alna4-xlnx-(a-Vx)ln-(x-a)ln2,22x xG(x)=In-ln2=In 0，a+x a+xG(x)在(a,+oo)上是单调递减的故G
45、(b)G(a)=0 即：fa)+f(b)-(b-a)ln2综上，0 /(a)+f(b)-2/()b-a)ln2.【过关测试】1.(2022辽宁抚顺市第二中学三模)已知函数/(x)=x-；(2-a)r-g a r 2 1nx(e=2.71828)(1)当a=-g 时，证明函数/(x)有两个极值点；(2)当 0 a l 时，函数 g(x)=f(x)-g b x 2-6 x 在(0,+)上单调递减，证明 62 1 +j【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)构造函数R x)=1-x +gxlnx,求导，利用零点存在性定理,判断根的分布，进而可得函数的单调性,即可得极值.(2)分
46、离参数.转化为b*上三二半B 恒成立，构造函数,利用放缩法和分类讨论即可求解.X+1(1)定义域为(。，+8)当。=-时2f(x)=x-x2+x2 In x,/z(x)=1-x+xlnx+x=l-x +xlnxV 7 8 4 4 2 4 2令/(x)=_ x+g xln x,F(x)=g(ln x _ l).,xe(O,e)时,r(x)0,尸(x)单调递增/&僵=虫)=1-为。,尸(n=1 所 以 马e(0,e),3x,伯+00)使 尸(%)=尸(%)=0此时x O，X)时，F(x)0,/(x)单调递增，x w(4 W)时,尸(x)0,/(x)单调递增二x“w是函数x)的两个极值点.(2)g(
47、x)=x-；(2-a)x2 -；/I n x-p f-b x在(0,+8)上单调递减g(工)二1一 工 一0111工 一6：一。4 0恒成立,-x-a x n x b-怛成立x+1 x N l时，令G(x)=l-尤-odn尤0 a 1,G(x)=-l-6fln x-a。.12比山0,.4。x+1 O v x v l 时，lnx 0 1 0 tz 1,J.ax xn x,/-a xn x-xln x-x-a x n x l x xnx又，.I r i x l n x/T-x l n xX+1 x+1,/l-x-x n x/八八,/、-x-3-ln x令 M x)=-r-i，x o,i),(x)=
48、X+1(x+1)令夕(x)=_%-3Inx,/.(px)=-4(5)=一(0,/?(x)0,A(x)单调递增(%1)时,(x)0,(x)0,/2(x)单调递减力皿=(%)=一%-x()I n x 0,7()为 力 的导函数.(1)当相=1,求f(x)在点(1J )处的切线方程;(2)设函数力(力=/3,且(x):恒成立.eA 2求”的取值范围；设函数“X)的零点为看 ,/(X)的极小值点为4 ,求证：X0 X.【答案】(l)y =2ex-e详见解析【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义即可求解.(2)先对函数f(x)=e(l+?lnx)求导,得到 f (x)=e 1 +mlnx|,推出 6(
49、x)=,)=l +，lnx ,(：l)(x 0),解对应不等式，得到网力单调性，求出其最小值，再根据人力2 T恒成立，即可得出结果；先设g(x)=r(x)=e“+W+/nlnx),求导得g，(x)=e，(l+*-?+M jlnx 设”(x)=l+?-g +初 nx(x 0),对其求导，判定单调性，从而得到函数g(x)单调性，得到巧是函数g(x)的极小值点，得到*2=%，再由得 =|时，/7(x)z|,推出所以，l n x+?W，得至l g(x)N g(x J 0,得到函数/(x)在区间(0,+8)上单调递增，再由题意，即可得出结论成立.(1)加=1 时，/(x)=e%l+lnx)J(x)=e“
50、+lnx +J j(I)=2e.l)=e,所以函数在x =l处的切线方程y-e=2e(x-l),B P =2er-e.(2)由题设知，/(x)=e(l+；+mln”(x 0),/、/(x)i m i I。、z n(x-l).小h(x)=-=1 +Fw t lnx ,h(x)=-r-(x 0),e*x x由/x)0,得x l,所以函数力(x)在区间(1,物)上是增函数：由(x)o,得o x 0),x 厂则(x)=-卫+M +以上可辿 0，厂 X X X3故 函 数 在 区 间(0,+8)上单调递增，由 知，2所以(1)=a +1 0,/7 =l-wln 2 /2 0,故存在电别，使得”(电)=0