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1、专题0 5 极值点偏移问题与拐点偏移问题【考点预测】1.极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数/(X)在X =无。处取得极值，且函数y=/(x)与直线y=。交于A ,b),B(x2,b)两点，则AB的中点为例(生/),而往往不。红产。如下图所示。极值点偏移的定义：对于函数y=/(x)在区间(。力)内只有一个极值点与，方程/(%)的解分别为X 、兀 2，且/，则函数y=/(x)在区间(x”W)上极值点X。左偏，简称极值点X。左偏；(3)若笑 受 x；，则令F(x)=/(x)-/().X 判断单调性，即利用导数讨论尸
2、(x)的单调性.(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出/(x)与/(2 玉)一幻的大小关系.(5)转化，即利用函数/(x)的单调性，将/(%)与/(2 x0-x)的大小关系转化为x与2/-x之间的关系，进而得到所证或所求.【注意】若 要 证 明 尸 二#-的符号问题，还 需 进 一 步 讨 论 上 也 与X0的大小，得 出 土 玉 所 在的单调区间，从而得出该处导数值的正负.构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，
3、那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效2.应用对数平均不等式际 a +.【解答】解：(1)函数/(x)=x-/n r-aX当 x e(0,l)时,f(x)o,/c o为增函数，故当X =1 时，函数/(%)=不一以一4取最小值1 一。，若函数/(X)=x-/n r -a有两个不同的零点七，气.则 1 avO,即 a l；证明：(2)若函数/(x)
4、=x-/加-。有两个不同的零点X 1 ,x2.不妨设O v 内v l v 无 2,则玉-ln x=a，R.x,-ln x2=a ,若证 西 +期 a +1 即证 W 1 -0 必，构造函数 g(x)=/(%)-/(1 一。优)，0 x l,所以 (x)=x-ln x-(l-In x)4-ln(-In x)=x-+ln(l-In x),所以 g (尤)=1-!-，0 x 0 ,所以 h(x)单调递增，所以0 3)力(1)=1,所以 gx)g(1)=0,即 f (x)f(l-bvc)，0 v%v 1,又 0 工 1 1 /(I -bvc)因为f(x)在区间(l,+o o)上单调递增,所以 1-故原
5、不等式得证.例 2.(2 0 2 2 汕头一模)已知函数/(x)=x-历x-a 有两个相异零点不，x2x 0),X当0 x l 时，r(x)i 时，r(x)o,f(x)单调递增；要使函数f(x)=x-阮c-a 有两个相异零点，必有/(1)=l-a ,当。1 时，且/(e-)=e-0,.函数/(x)在(0,1)有一个零点-.eal,f(ea)=ea-2a 0,函数/(x)在(1,+(功 有一个零点，a的取值范围为(l,+o o).(2)由(1)知，0%1%，,?%bvc 。=0,/.a =x,-In x1,.L F,4Q+2 4 a+2 4(玉 一/g)+2 x-4 ln x+2n.l.与 +J
6、 C y 3 f X,v 3 -X j=3 -=3 ,故构造函数g(x)=土等整，(0%1),v-A则/(%)=上 二 g(1)=1.3 x/.x2 1 ,玉-4/g +23构造函数 Z i(x)=/(x)-/(.-4,+2),(0 *o,即证明阮 空 生 二 D o,4 x+2构造函数“()=加 _0 +5(*7),(0 x 0 在(0,1)上恒成立,(2 x+l)2x因此”(x)在(0,1)递增，从而(1)=0,:.h(x)0,(x)在(0,1)递增,h(x)1 时，尸(幻 0,f(x)单调递增,X y 4/g +2.工 2 -例 3.(海淀区校级月考)已知函数/*)=2)e、+(x 1)
7、2,a c R.(I )求曲线y =/(x)在点P(l,f(1)处的切线方程；(I I)若 a.0,求/(元)的零点个数；(0 1)若/(K)有两个零点七，X?,证明：xA+x2 2 .【解答】解：(I )/(力=(1-1)(/+2。),f(1)=e,甘 二0，故切线方程是：y +e =O；(I I )由已知 f x)=一 l)(e”+2 a),.-.xe(-oo,l),fx)0,/(x)单调递增，=f=-e 0,当 X f +oo 时，/(X)f +00,故函数f(x)有 2 个零点；(I I I)由(II)3 x,e(-oo,l),x2 e(2,+oo),使得/(%)=()=0,/.X y
8、 1 X2,要证玉+x2 2,即证玉 1 ,：.2-X y f又 王/(2-)，/()=/(x2)=0,即证/(*2)/(2-超)，Xj 1由(H)知 x l 时，(x)=f(x)-/(2 -x)0./(X2)-/(2-X2)0,./(%)f (2-电)得证,/.西+/2.例 4.(2022江 门 一 模)已 知 函 数=-4,a e R 是常数.X(I)求曲线y=/(x)在点(2,f(2)处的切线方程，并证明对任意a e R,切线经过定点;(H)证明：2.【解答】(I)解：根据题意，函数/(x)=/w|x-l|-g,X当 x 1,则于(x)=ln(x-1)-,则 fx)=-F =，x x-l
9、 x(2)=1+-,f(2)4 2则切线的方程为y +j =(l+q)(x -2),变形可得：y-x +2 =(x-4),联立,得 产；x-y-2 =0 y =2切线经过定点(4,2)；(I I )证明：函数=1 色的定义域为 x|x x O 且x*l,X曲线/(X)在在各定义域区间内是连续不断的曲线，当a 0.f(+ea)=a一 一 二=7V 0,./(X)在区间(1+e ,2)上有零点再，2 1 I e 1 I e在区间(0,1)匕/(x)=/n(l-x)-1/f(x)=+4 2,kea-,WO f(-em)=n a-=a(n)0.2 1-e 血 -ea./(彳)在区间(1-d ，1 6
10、“)内有零点与，由/(x)单调递减知，/(x)在区间(0/)内有唯一零点X”/1 2 ,/.0 2-x,0 =/小),2 玉 玉 2%斗 (2 X)由/(x)单调递减知，2 -为 2 .题型二：极值点偏移:减法型例 5.(2 0 2 2 七星区校级月考)已知函数/(幻=封心一/+.(1)若/(x)在(0,+oo)上单调递减，求。的取值范围；(2)若/(x)在 x =l处的切线斜率是;，证明f(x)有两个极值点与，且3/2|历 修-/叫|0),f i x)在(0,+oo)递减，.-.f M,0 在(0,+oo)上恒成立，&.”里 在(0,+oo)上恒成立，XA/、/n x +l 、In x令 g
11、(x)=-，g(x)=r，x x.,.XE(O,1)时，gf(x)0 ,g(%)递增,X(l,+oo)时，gf(x)0),令 f (x)0,解得：x 2,故f x)在(0,2)递增，.1(x)在(2,+0 0)递减，又(2)=/2 0,/,(-)=-0,f(e2)=3-e2 0 .e 2 e 2故/(X)分别在d，2)和(2,e?)有零点石，x2,(不妨设为 )，e.0 x 玉时，/Xx)0,f(x)递减，石 0，f(x)递增，元时，r u)0，于，(一)0，X)0,/3)0,.4 x2e2 r-1 ln x -ln 2 ,2 ln 2 ln x2 2 ,/.3 ln 2 ln x2-ln x
12、x 1 时，/(X)g(X)；(2)设/(x)=/(x)-g(x)e ，K 0a X0,证明：3 x0-xt 2.1 y _ 1【解答】(1)解：h(x)-/(x)-(x)=Inx-a(x-l)/zr(x)=1 =-，x x当x l时，(x)v O,所以*)在(1,go)上递减，又力。)在1,+O 0)上连续，所以当 x l 时，h(x)l 时，/(x)由 0 0,且 G(/n-)=1-a(ln-)2-=1-(/-)2-0.a a a a a故G(x)=O在(0,x)有唯一解，从而(x)=0 在(0,内)内有唯一解,不妨设为玉)，则a当x e(O,/)时，维=0,所以尸(x)在(0,x0)内单
13、调递增：X X当x e(%，+8)时，9(x)=5 2 奥 2=0,所以尸(X)在(后,+8)内单调递减,X X因此X。是尸(X)的唯极值点.由(1)知从而尸(/,)=/L-a(/2 一l)e =?/！一/1+1 =人(/，)0,a a a a a a又因为(1)=0,所以尸(x)在(%,+8)内有唯一零点.又尸(x)在(0,%)内有唯一零点1,从而尸(x)在(0,+l时，lnx 占 1,故 e&f%d)=片,X -1两边取对数，得/-项 Inx1,于是 2lnx 2.例 7.(2022黄州区校级模拟)已知函数/(x)=OY/nx-(a+l)/nx,/(x)的导数为/(x).(1)当a -1时
14、，讨论尸(x)的单调性；（2）设 0,方程=有两个不同的零点X I,x2（xl 电+.e e【解答】（1）解：/（幻=（祇+1）-四，/（制=4 1 二欠+g+D .X X X x若 I v av O,则当0 0，;（X）单调递增：当x 也时，r（x）0 时，F （x）o,r（x）单调递增.故当T a 0,g(x)单调递增.又 g d)=-+(+1)+-=a(l-)+(1 -)0e e e e e e3 3g(e)=a e-a +V)+e =a e-1)+(-1 )0,3g(l)=l 0e所以 x2 x2+.e e例 8.（2 0 2 2 道里区校级二模）已知函数/（x）=/n /n x-（M
15、+1）加 x ,/*）为函数/（x）的导数.（1）讨论函数/（X）的单调性；3（2）若当机0时，函数/a）与 g（x）-x的图象有两个交点4%，y），B i%，%）（尤求证:e1%2 +-玉+e 【解答】解：（1）f x）=mi n x4-i n xx m+-mi n x4-m m+,x x x设 h（x）=mi n x+m-，x一，、m 7?i +1 i n x+/n +1/（%）=+=-w，X X X当机.0 时，/）在（0,+oo）单调递增；当一 1 根0,x0 x，/、m m+(p(x)=H-0 恒成工，x x知函数尸(x)在(0,K O)上为增函数且9(I)=0,X(0,1)1(1,
16、+0)Fx)0+F(x)递减极小值递增3 e-3F(1)=1-=0.F(e)=/n(e-l)+e(1)-3 0.e e e e知尸(x)在区间(L 1)以及(l,e)内各有一个零点，即为为e d，1),&G(l,e),e e知 x,-x,e-1，B P x,+-e.【解答】解：(1)函数的定义域为(0,+oc)，当 0时，/(x).O，/(%)在(0,+oo)单调递增；当a 0 时，由f(x)=O得X=1，a则当时，f(x)o,力在 d,y o)单调递减.a a(2)(i)法 1：函数f(x)有两个零点即方 程 限-or=0在(0,E)有两个不同根,转化为函数y=a 与函数y=的图象在(0,+
17、co)上有两个不同交点，如图：可见，若令过原点且切于函数y=优图象的直线斜率为3只须0 v a v Z,设切点4天)，伍马)，所以左=y L=&=%=，玉)又加=她，所以_ 1 =也，解得x 0 =e,玉)与于是k=L所以0 a0，此时/(X)皿=/(-)=/-1-a a需 In 1 0 解得 0 v a v，a e从而L e,-a a a又/(!)=_i _ W e ,则 g (1)=1 0 x故g(x)在(e,+oo)单 调 递 减/(7)=()/ln x+ln x2 2 ,不妨 设%0 ,/(芭)=0，/(2)=0 ,/g -a x=0 ,ln x2-a x2=01/.ln xx+ln
18、x2=a(X +x2),ln x-ln x2=。(玉-x2),f,、/bvc.-In x,2 ,x 2(x,一片)bvc+ln x2 2 =a(x+%)2 o !-=In !-,x-x2%+占 x2 x+x2令%=f,则f i,于是/2(J-)丝二D,设函数g )=/一8二。(/1),x2 x2 x+x2 Z+1 t +l求导得：gt)=-=1)0 ,t Q +l)2 W +l)2故函数g 是(1,+0 0)上的增函数,.g(r)g(1)=0,即不等式布 型 二 成立，故所证不等式玉x,e2成立.，+1例 10.(2022攀枝花模拟)已知函数f(x)=/nr+2 _ a(aeR力wR)有最小值
19、M,且.O.X(I)求 尸 一5+1的最大值;(II)当dT _ 万+1取得最大值时，设 尸(b)=-m(w e7?),尸(x)有两个零点为百，h明：x,-x22 e3.【解答】解：(I)有题意广(=!一 与=a。)，X X X当6,0时，_f(x).O,f(x)在(0,+00)上单增，此时显然不成立，当b 0时，令/(x)=0,得x=b,此时/(x)在(0,加上单减，在(上”)上单增，:.M=f (b)=lnb+l-a.O,即加A.a-1,所以A/T,ea-h0.所以-b +1的最大值为1.(II)证明：当 e -匕+1 取得最大值时，a 1 =Inb /恒成立等价于/g +21nx2 =f
20、wc1 4-2rwc2=mxx+2x2)3,加五两式相减得In=m(x-x9)=zn=玉，x2%一 加五 3(2-1)带入上式得(+2为)工 3=/3(/占)=一,xx-x2 x2 x+2X2%2X2令 五=o f l),则g(r)=/f-,(0 t0,x2 t+2 t(t+2)-x2(x1 x2),证所以函数g 在(0,1)上单调递增，g(f)7 【解答】解：(1)由题意可得，力(x)=加工=-a/(_/)=O有2个零点，令 t x=xex,则 t x)=(x+l)ex 0 在 x 0 时恒成立，故t(x)=xex在(0,+0,g单调递增，不可能有2个零点，当。0时，由g )0可得f 1,g
21、单调递增；g 0可得0 0,此时g(/)0恒成立，没有零点，若a =e,则g (a)=0,有一个零点，若a e ,则g (a)vO,因为 g (1)=1 0,g(ea)ea-a2 0,所以g 在(l,e),(e,e )上各有1个零点，符合题意，综上，。的范围(e,+oo)；(2)证明：要证王%等 ，只要证西 6 *8 e?,即证仇(为炉)+ln(x2eX 2)2 ,由(1)可知，乙=xex y t2=x2eX 1,所 以 a(ln t2-加4)=弓 一 G，a(ln t2+g)=q+J，(2+1)危所以 ln tx+ln t2=+1(ln t2 ln t)=-,，2-1 -殳_(与 +1)/4
22、只要证-上 2,匕一1;设令E =),1,所以只要证/加 二 D 即证/加+/-2 0,，+1，+14令 h(t)=In t 4-2 ,Z 1，+1()2则力)=-7 =2t(+1)2 r(r +i)2 0,/.h(1)=0,4即当，1 时，)=l m+-2 0,所以 ln ti+ln t2 2 即(xg )(工 2，)/，故 X|X j e&+&-例 12.(2 02 2 武进区校级月考)已知函数/(xX/n r +g f-o x.(1)若函数/(x)在 x=l 处的切线与x 轴平行，求 a的值；(2)若存在f -1,1,使不等式f(x),a一(a-l)/n r 对于xe l ,e 恒成立，
23、求 a的取值范围;(3)若方程f(x)=1 d 有两个不等的实数根为、与，试证明王【解答】(1)解：f x)=-+x-a,.函数/(x)在 x=l 处的切线与x 轴平行,Xf (1)=2 a =0,解得 o=2.(2)解：X G1,e,不等式/(x),t r-(a-l)/n r 化为：-x-a(l-)t 2 x,存在1,使不等式/(%),比 一(一 1)状对于 方 口，e 恒成立，1 2 1n x 彳工7一x t z(l-),I,化为：a-=g(x)2 x x-ln x(X-1)(X+1-/2 X)令 h(x)=x+1-In x，hf(x)=-=-0,2 2 x 2 x函数依工)在xw l ,
24、e 上单调递增，h(x).h(1)=-+l-0 0.20,因此函数g(x)在 xe l,e 上单调递增.e2-2 e/.a.g(e)2 e-2，的取值范围 是 会(3)证明：方程/(x)=；%2,即依一儿 =0，x 0 .(%)令 h(x)=ax-Inx，hf(x)=a =.-.x x可得：函数力。）在 时 单 调 递 增，在0 x v L时单调递减.a a/.x=!时，函数（工）取得极大值即最大值.a=1 +Ina.a方 程 有 两 个 不 等 的 实 数 根百、%.lnx+lnx2=a（x+x2）=,要证明：xx2 e2.只要证明：（药十七）2 即可.不妨设0X，则2一玉J，由于函数（幻在
25、 时 单 调 递 增,a a a a7 7 7因此只要证明：/（之一百）一4（一斗）0即可得出%上一百，a a a、2 2设函数 g(x)=方(-x)-a(x)-(Inx-ax),a a“、1 1 2(or-l)2g (x)=-z-+2 a =-2 x x(ax-2)X-a可得在（o,2）上g，（x）o,且gd）=o.a a1 2 20%)0,即 Z w(寸)a(%)(ZMV|uxl)0 2 2即/(石)-a()0.a a2Xy-X y,xx2 e1.例13.已知函数/(x)=x-e”3 0)有两个相异零点司、x2,且 不 X 2，求证：0,得 x v a ln a ,由 f x)a ln a
26、 ,/./(x)在(-OOM/W)上单调递增，在(a ln a )上单调递减，二.(x)在x=a加7处取得极大值，且为最大值等 f a ln a)=a ln a -a .由函数/(x)=x-e 3 0)有两个相异零点大、可得a，w-a0，即 a e ./f(a)=a e0/.X j a a ln a .e 2 -x,a ln a-a =-a ln，ae即 -9 0 ,1 5 (x _；)(_ 2)rw=-+x=-2-x 2 x令 r（x）0,可得0vx；或 x 2,令/（幻0,可得g x2,所以“幻 在 畤，（2 收）上单调递增，吗2）上单调递减./八、X2-6LX+1(2)/(x)=a +x
27、=-X X因为不，工 2）为函数了（幻 的两个极值点，所以石，龙 2 是方程V-以+1=0 的两个根,所以现 二 竺 半 三aa-yja2-4，可得:a +a2-4 a2-l+a yla2-4a-yja1-4因为a.卡，所以2 为增函数,y =a为增函数且大于0,y =J“2 4为增函数且大于0,所以y=止2t此 三 为 增 函数,所以土=x2a2-2 +a y/a2-4回2 +号33=3,22222令t=%(t.3),则 丁 =2*_ 例%=忙 _/也，x2X +工 2 ，+1令 g)=2(r-l),c 4 ,-In t =2-In t ,r +11+1或）=看1 =缶/。，所以g 在+8）
28、上单调递减所以g 的最大值为g（3）=1-历3.例 1 5.（2 0 2 1 春湖北期末）已 知 函 数=+从”1（。/?）.（1）当2e时，讨论函数/（x）的单调性:（2）若函数/（X）恰有两个极值点内，x2（x,）,且芭+丹,(2 e+)ln 2 e2 e-l，求生的最大值.【解答】解：（1）函数的定义域为（0,钙），f M =-a e-+-=-x xex当6,0 时，/（x）0 恒成立，/（x）在（0,+0 0）上单调递增,当 0/加 时，g，(x)0,g(x)单调递增,/.gM g(ln a)=eln a-a ln c i =a(l-In a)0 ,r(x).O,f(x)在(0,+o
29、o)上单调递增，综上，当时，/(x)在(0,+o o)上单调递增.(2)依题意，尸(玉)=尸(七)=0,贝一度=e 2-a x2=O两式相除得，泊一马二匹，设%=/,则f l,X,=r x,e T g=r,In t t i n t.=:厂、小，/、(r 4-)ln t .、设 h(t)=-Q I),t-lt -2 n t则 ht)=(Ifi i 2 (r 1)2设(p(f)=t-li n t,贝(I(p t)1 +=-0,所以9 在(1,+o o)单调递增，则(p(t)(p(1)=0 ,.-./(r)0,则/。)在(I,+o o)单.调递增，又不+毛,2 e-一lln le,且 (2 e)=二
30、 比 产 ”(2 e),.-.ze(l,2 e ,即出的最大值为2 e.例16.(2 0 2 2 宁德三 模)已知函数/(幻=四一,+/心-1(4/?).(1)当&e时，讨论函数“X)的单调性:(2)若函数f(x)恰有两个极值点用，毛(为0 恒成立，/(幻在(0,“。)上单调递增；当 0 4,e 时，令/(x)=0,贝!e*-a r =0,设 g(x)=e*-a r,贝 ij g (x)=e*-a ,易知，当0 x /a 时，g (x)/w 时，g，(x)0,g(x)单调递增,g(x)瞳(/“)=en a-a ln a =(1 -In a)0 ,:.f x).O,/(x)在(0,+o o)上单
31、调递增;综上，当a,e 时，f(x)在(),+1,x2=t xl,(t +V)ln tt-li 2 lm设加党。川则册个i i 2 (t I)2设(p(t)=t-2 1mq 1),则“(r)=+-=-7 0,.0 在(1,+0 0)单调递增，则夕(1)=0,.。)0,则人在(1,+0 0)单调递增，又与 +x2 2/3 ,即 “2 1n 3，h(3)=2 1H3,.-.r e d ,3 ,即三的最大值为3.王题型五：极值点偏移:平方型例 17.(2 0 2 2 广州一模)已知函数/(x)=x/n x a +M a w R).(1)证明：曲线y=/(x)在点(1 ,f (1)处的切线/恒过定点；
32、(2)若 f(x)有两个零点X,x2,且 x,2 X,证明：Jxf+2 .e【解答】证明：(1 )fx)=xlnx-ax1 x=lnx-l-2ax+l=lnx-2ajc+2,甘(1)=2-2 a,又/(1)=l-a,曲线 y=/(x)在点(1,f (1)处的切线方程为 丁 一(1一 )=(2-2a)(x-l),即 y=2(1-a)(x 一 3)，当 x=g 时，y=0,故直线/过定点(，0)：2(2)V X j,超是/(x)的两个零点，且工 22与，xlnx-ax 4-Xj=0 可得 y g+=Q X x2lnx2-ax+x0=0 bvc2+=ax2lnx+1 _ lnx2+1 _ ln(x1
33、x2)+2 _ lnx2-lnx.=-,X1 x2 X+x2 X2-Xy(x(+x2)ln-令2),.3+2 =二 _ =0空，X x2-x t-i(、/t-21m构造函数g(r)=3警，g()=J八，t-(r-l)令/7(力=，-；-2/小 则 (。=-0,则的)在(2,+00)上单调递增，1 7而(2)=2-2/n 2 =-2/n 2 0 .g )0,则 g(f)在(2,物)上单调递增,Qg(t)g(2)=3ln2，可得阳%也)+2 31n2，则加(牛%)In，夕即%与，则J、+、亚 不/.例 18.(2022浙江开学)已知QWR,/(x)=x-eS(其中e为自然对数的底数).(I)求函数
34、y=/(x)的单调区间；(I I)若0,函数y=/(x)-。有两个零点x,x2,求证：x；+2 e.【解答】解:(/)/3 =-以 3=9(1-奴),/as R，.a v 0 时，fx)=eax(l-ax)0=x fafx)=eax(-ax v 0=x 一,.,“0,，。=0 时，增区间为：(-0 0,+0 0)；a 0时，f x)=e-a x(-a x)Q x -,afr(x)=于3(1 -a x)x ,a时，增区间为：(-0，减区间为：(-,+0 0)；a a综上：QV0时，增区间为：/,”)，减区间为：(-0 0)；a a4 =0时，增区间为：(-o o,+o o)；。0时，增区间为：(
35、-0 0，减区间为：(L,+8)；a a(I I)证法一：由(1)知，a0时，增区间为：(-0 0,1 ,减区间为：(L+0 0)；a a函数y=/(x)的大致图像如下图所示:不妨设X X,则0 即 i l l:：N /，a a因为王上i，所以7士?a a a a a 2 1又/=/,所以即证：f(X,)f(-X2),七 一，a a令函数 F(x)=/(x)-/(-x)X G(,+oo),a a则 F(x)=/奴(-a x)+e-2+a x1-a(士-x)=(l-a x)-e-2+M，a因为%,所以 uxvov 2,1 av 0,a函数 F(x)=f(x)一 /(2 幻在(士+00)单调递增，
36、所以 F(x)F(-)=0,a a ai a 7因为w ,所以，f(与)y(%,)即X+w,a a a所 以*+*标 2e.(n)证法二：因为a 0 时，函数y=/(x)-a 有两个零点 ,x2,则两个零点必为正实数，f(x)-。=0 n =el,ux 0),问题等价于/n r-a r=/w 有两个正实数解；令 g(x)=I破-a x-ln a(x 0)则g，(x)=L-a(x 0)，g(x)在(0)单调递增，在(,卡)单调递减，且 0VAi 一1-2 a =0,x 2 x(2 -a x)1 x-a a所以 G(x)在(L+oo)单调递增，G(x)G(-)=0.a a 2 i又%一，故 8(/
37、)且(一一为)，G(-,+00),a a a2又 g(XI)=g*2)，所以 g(X1)g(-X)，a1 2 1乂0 玉 V 2,a a所以 x：+*a W)2 马 2e.2a例 19.(2021秋泉州月考)已知函数/(%)=蛆LCIX(1)讨论/(九)的单调性；(2)若()应=(%)再3是自然对数的底数)，且 玉 0,%2 0 ,工 尸 工 2，证明：+X22 2.【解答】解：(1)函数/(幻=色 出(0),则/(x)=空，a x a x令/(x)=0,解得 x =l,若 a0,当0 c x 0,则/(x)单调递增；当x i 时，/。)0,则/(X)单调递减，所以/(X)在(0,1)上单调递
38、增,在(1,+0 0)上单调递减；若 a 0,当0 x l 时，f(x)l 时,/(x)0,则f(x)单调递增，所以/(x)在(0,1)上单调递减,在(l,+o o)上单调递增.综上所述，当a 0 时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(l,+o o)上单调递减；当a 0,x2 0 ,X 1 X 超，满足/(X 1)=/(X 2)；由(1)可知，当4=1 时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+0 0)上单调递减，不妨设再 x；.4 2 成立；若(1,2),则 2-/(0,1),记 g(x)=/(x)一 于 Q x)二处 +一,0 x _ 也 一 加(2-x)=,/-U-l)2+l&x2
39、(2-x)2 x2 x2 V u，所以g(x)在(0,1)上单调递增，则 g(x)g (1)=0,即 f(x)/(占)=/()，因为孑e(0,l),所以2-%1 ,又%1,/(外在(1,+0 0)上单调递减，所以 2-X 2,又占2 +1.2&；.1 =2%,+1.2-J x=2/，以上两式左才 分别相加，可得x j +1 +x；+1.2(芭+x2),即 xy+x .2(.+X)2 2，综合可得，劣+42 2.例20.(20 22开封三模)已知函数/(幻=丝.mx(1)讨论f(x)的单调性；(2)若m=2,对于任意X 0，证明：(X；，/(百)一后(九2)X；+)内工2 一 .【解答】解：(1
40、)/。)=驾 的 定 义 域 为(0,丑)，尸()=上 义 可，mx mx当相0时，/(1)0=0%右，此时/(x)在(0,G)上单调递增，f X x)x ,此时/(x)在(&,+8)上单调递减”当mv0时，/(x)0 n x 五，此时/(%)在(五,+8)上单调递增，(x)0 nU x 0时，/(X)的增区间是(0,&),减区间是(&,+C O);当机工2 0，所以为%2-E 0.设，=%1,A故：(片 /(%)一月(工2)(%；+%)七 九2 一考=/叫一加为 2(”卓 )有+不2(1)In -=In t (r 1)In t -0。1),“1 +(五尸 1 +厂 1 +广工2令加)=历一狞
41、，则2-呼：尸,1 +r t(r+1)2由于”1,故*，Q)=心驾士亨 o,“+1)2则夕=In t-改二?在(1,y)上单调递增，1 +r故(p t)(p(1)=0,即：所证不等式(X；/(%)-X；/(),(X；+X；)中2-成立.题型六：拐点偏移问题例 2 1.己知函数 f(x)=2 ln x+x2+x .(1)求曲线y =/(x)在点(1 ,f(1)处的切线方程.(2)若正实数不，满足/(为)+/(工2)=4，求证：%十%2.2.【解答】解：(1)f(x)=2 ln x+x2+x ,x 0 ,f(x)=+2 x+l,xf(1)=1 +1 =2,f(1)=5,故曲线 y =/(x)在点(
42、1 ,f(1)处的切线方程为丫一2 =5(工 一1),即5 x-y-3=0；(2)证明：因为尸(x)0,f(x)在(0,”)上单调递增.由/(1)=2,正实数内，与满足/(占)+/但)=4,所以不妨设0百 蒯/，记 F(x)=f x)+f(2-x)-4,()0时，讨论函数/(x)的单调性；(2)当时，设g(%)=/(x)+6x,若正实数玉，x2,满足以石)+冢工2)=4,求证：N+/.2.【解答】解：(1)r(x)=-(x+-)-(i+-!r),(x o)a x a./,(x)=-u+-)-(i+-!r)在(o,i)递减，在(i,+o o)递增，a x a且 r*)m m=f(l)=-d1)2
43、，。a.当a =l时，r(x).O恒成立，此时函数f(x)在R上单调递增；当4 W 1时，f(x)=0的根为L,aa时，函数/(x)在(0M),(-,物)上单调递增，在(。)单调递减；a aa l时，函数/(x)在(0-)，3,转)上单调递增，在小，a)单调递减：a a证明：(2)g(x)=2 ln x+x2-5 x,x 0 .由 g(x)+g(X 2)=4,即 2 1n xi+西 +2 ln x2+x2-4=0 ,从而(+/)2+(苦+%)4=2 3%一2/(中2)，(8 分)令二大马，则由G(r)=r-碗 得：G,(r)=l-y可知，G(r)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,内)上单
44、调递增.:.G(t).G(1)=1,(1 0 分)(X1+%2)2 +(玉 +X 2 )4.2 f二(%+,+3)(5+/2).0 ,又x2 0 /.+x2.2 .例2 3.已知函数,f(x)=历 +2%一以2,Q GR.(I )若/(幻在=1处取得极值，求。的值；(I I )设g(x)=/(x)+(a-4)x，试讨论函数g(x)的单调性；(I I I)当。=一2时，若存在正实数%,超满足/(%)+/(尤2)+3工1%2 =X+l 2,【解答】解：(I)m f(x)=ln jc +2 x-a x2,所以尸(x)=2+2-2 o r，X7因为/(x)在x =l处取得极值，所 以:(1)=1 +2
45、-2 4=0,解得：a =-.验证：当 a =3 时，f x)=-+2-3 x=-(3%+1)(%-1)(x 0),2 x x易得/(X)在X =1处取得极大值.(I I )因为 g(x)=/(x)+(Q-4)x=ln x-a x2+(a-2)x,所以 g(x)=-土I X生二1 2 a o),X若.()，则当尤(0,g)时，g(x)0,所以函数g(x)在(0,；)匕单调递增；当 X (；，+0 0)时，g，(x)0),求证：玉+工2；.当a -2时，易得函数g（x）在（0,）和（L +8）上单调递增，在（-1，1）上单调递减:a 2 a 2当a=-2时，g，（x）.O恒成立，所以函数g（x）
46、在（0,内）上单调递增；当一2。上单调递减.(H I)证明：当 a=2时，/(x)=/nx4-2x+2x2,因为/(X j)+f(x2)+3xx2=%+9,所以 lnxx+2玉 +2x；+lnx2+2x2+=玉 +/，即 lnxx2+2(x；+*)+(玉 +x2)+3X,X2=0,所以 2(玉 +x2)2+(%+x2)=x1x2-/nx1x2,令r=xx2，(p(t)=t-lnt(t 0),则 0），当 w(0,l)时，0）在（0,1）上单调递减;当 (1,+8)时，(pt)0,所以函数叭1）=f-0）在（1,物）上单调递增.所以函数/（/）在7 =1时，取得最小值，最小值为1.所以 2(x1
47、+x2)2+(玉 +电)一1，即 2(x1+x2)2+(内 4-x,)-l.O ,所以玉+吃.g或菁十七，一 L因为大，多为正实数，所以当芭+=工时，入多=1，此时不存在芭，满足条件，所以 +A?【过关测试】1.（2022天津河东二模）已知函数/（犬）=工 21nx（a e R且4 7 0）.（l）a=2,求函数x）在（2,/（2）处的切线方程.（2）讨论函数/）的单调性；若函数/（x）有两个零点占、多（为 2 e.【答案】y=x-2 ln 2；(2)答案见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)利用导数求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；(2)求出导函数，对a分类讨论：a0分别讨论
48、单调性；(3)本题属于极值点偏移，利用分析法转化为只要证明火2e-X2)0,山/(2 e-)=4-+21nx,-2l n(2e(孰2),构造函数8)=4-生+2111-2111(26-。/(&26)，利用导数证明e e出g在(e,2e)上是递增的,得到g g(e)=O即为#2e-X2)0.(1)当a=2时，/(x)=y-2 1 n x,所以 2)=2-21n2.所以r(2)=2-i.所以函数“X)在(2 J(2)处的切线方程为y-(2-2 1 n 2)=x-2,即y=x-21n2.f(x)的定义域为(0,+0 0),广(此=宁-：.当a0时，/。)o时，r(X)=.在(。,/)上，/(%)o,
49、所以F(X)单调递增.(3)当a=e2,f(x)=/2 1 n x.由知，x)在(0,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增.由题意可得：X(0,e),X2 e(e,+oo).由 F(2e)=2-21n2 0 及/(S)=。得：&w(e,2e).欲证x/+K2 2e,只 要 2eX2,注意到 工)在(0,e)上单调递减，且 x/)=0,只要证明/(2e口)0即可.由 /(%)=与 一21nx2 =0得；=2e2 1nx2 .所以/(2 e-x2)=21n(2e-x2)e e=4J_ 2 1 n(2 e f)e_ 4e2-4ex2+2e2 In x2一 工_ 2 In（2e x?）=4-+21
50、n x,-21n(2e-x,),x,e(e,2e),eA t 4 2 2 4(e-八 2令 g )=4-+2I n f-21n(2e-w(e,2e)则g(f)=-+-+-=-0,则 g )在(e,2e)上是递增e e t 2e -/e r(2e-r)的，,g(r)g(e)=0 即 f i 2 e-X 2)O.综上 x/+x2 2 e.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导