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1、专题0 3 原函数与导函数混合还原问题【考点预测】1.对于林 ()+f(x)0(0(0 (0 (0(0(0(0(0(0(0(0(%(0(0.则不等式x3/（x）-（l+2x）3/（l+2x）0 的解 集 为（）.A.x|-3 x -l B.x|-l x -C.x x -l D.或x-g【答案】D【解析】先通过mf w+f（x）o得到原函数g（x）=警 为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数g（x）=?,则 g（X）=/（X）+?/,（X）=X2/（X）+/（X）由题可知/（x）+/（x）o,所以8（力=智 立 在 XN0时为增函数；由V 为奇函数，X）为奇函数，
2、所以g（x）=为 偶 函数；又x3/(x)-(1+2x)3/(l+2x)0,即 x3f(x)(1+2x)3/(l+2x)即 g(x)g(l+2x)乂 g(x)为开口向上的偶函数所以|x|l+2 x|,解得x-g故选：D【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.例2.设函数f(x)是定义在(7,0)上的可导函数，其导函数为尸(x),且有(司+(月 /则 不 等 式(x+2019)2f(x+2019)-4-2)0的解集为()A.(-2019,-2017)B.(-2021,-2019)C.(-2019,-2018)D.(-2020,-2019)【答案】B【解析】【分
3、析】令尸(x)=x 7(x),确定尸(x)在(-8,0)上是减函数，不等式等价为尸(x+2019)-爪-2)0,根据单调性解得答案.【详解】由 2/(x)+V(x),得 2V(X)+X2/,(X)X3,即*2/(切1。，令则当x 0时，得F(x)0,即尸(x)在(田,0)上是减函数，.F(X+2019)=(X+2019)2X+2019),F(-2)=4/(-2),即不等式等价为尸(x+2019)-R(-2)2,即x 2021,X x+20190,解得xc-2019,2021 x 0恒成立，且/(应)=1,则使V 2成立的实数x的集合 为()A.夜)1 _(及,+8)B.卜母,垃)C.卜D.(V
4、 2,+o o j【答案】c【解析】【分析】根据x f(x)+2 f(x)0 的特征，构造M x)=d/(x),研究其单性，又f 网=1,得到(&)=2/(&)=2,将 x 2 f (x)0 时，都有x/(x)+4(x)0恒成立，所以 (x)0,所以/2(力=犬/(力 在(0,+8)上是增函数，又因为函数/(x)是定义在R上的奇函数所以(力=必/(力也是定义在R上的奇函数所以(X)=X 2 X)在(9 ,0)上是增函数，又因为函数/(X)是定义在R上，其导函数为尸(X)所以函数/(X)是连续函数所以(力=f 力 在 R上是增函数，又因为/(板)=1,所以(力)=2/(夜)=2,又 因 为 x2
5、f (x)2,即/7(X)0,则不等由3式-(-x -+-2-0-2-0-)5f-(-x-+-2-0-2-0-)-2 0 1 7 B.x|x -2 0 1 7)C.x|-2 0 2 0 x 0 D.x|-2 0 2 0 x o),根据导数的运算和题设条件，求得函数g(x)在(0,+8)上为增函数，把不等式转化为0+2 0 2 0)2 f(x+2 0 2 0)v 3 2/(3),即g(x+2 0 2 0)0),则 g(x)=(x 2 y.x)+x 2.r(x)=x 2/(x)+2 V(x),因 为 是 定 义 在 区 间(。,物)上的可导函数，且满足所以g (x)0,所以函数g(x)在(0,+8
6、)上为增函数，又由。+2。2。)y+2。2。)湍,即(X +2 0 2。万。+2。2。)32,八3),即 g(x+2 0 2 0)g(3),所以0 x+2 0 2 0 3,解得一 2 0 2 0 x 2 0 1 7 ,即不等式的解集为幻-2 0 2 0 V x o)是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力.例 5.已知“X)是定义在(Y,O)U(O,E)上的奇函数，且x 0 时，f (x)+*0 的解集为()A.(1)B.(2 0,1)u(l,+c o)C.(，-l)U(O,l)D.(-l,O)o(l,)【答案】c【解析】【分析】令 g(x)=x)f(x),则 g (x)=H (x
7、)+2 f(x),由题设易知x 0 上犷(x)+2/(x)0、x 0 的解集，即为/(力 0 的解集.【详解】令 g(x)=x2f(x),则 g(x)=x2f(x)+2xf(x)=xxfx)+2f(x),由 x 0 时，r(x)+0 知：矿(x)+2/(x)0 上，g(尤)0,g(x)单调递减，乂(9,o)U(。,”)上F(x)为奇函数，g(-x)=(-x)2/(-x)=-x2f(x)=-g(x),故 g(x)也是奇函数，r.g(x)在 x 0 的解集，即 g(x)0的解集为(Y,-1)U Q 1).故选：C【方法技巧与总结】1.对于(x)+f(x)0(0(0,则不等式4/(x +2019)-
8、(x +2019)2/(-2)0,变换得到F(x+2019)*-2),根据函数尸(x)的单调性和奇偶性得到|%+2019|0(尤0),得 0,进而得到*(”2如)0.令尸(x)=,则尸，(加立”尹 立 0,尸(_ 2)=牛，尸(尤+2。=；二默).2/(x +2019)/(-2)由”(x+2019)-(x+2019)/(-2)0,，F(x)在(o,+e)上是增函数.函数是偶函数，.尸(力=/学也是偶函数，且尸(x)在(,0)上是减函数，.|x+2 0 1 9|2,解得-2 0 2 1 x-2 0 1 7,又.X+2 0 1 9 W 0,即 x W-2 0 1 9,.x e(-2 0 2 1,-
9、2 0 1 9)U(-2 0 1 9,-2 0 1 7).故选：B.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，构造函 数 厂(司=坐，确定其单调性和奇偶性是解题的关键.例 7.已知/(X)是定义在R上的奇函数，/(2)=0,当X H 0 时，则不等式/(幻 0 的解集为X()A.(-8,-2)。(0,2)B.(-2,0)U(2,”)C.2)U(2,+o)D.(-2,0)U(0,2)【答案】A【解析】【分析】根据题意，构造出函数g(x)=，则/(x)0 0 g(x)0,进而结合题意求得答案.【详解】设 8(犬)=号立，则/(x)0 o g(x)-f(x)xfXx)-2f(x)Q,则 g
10、 (x)0,即 g(x)=/学 在(0,+8)上单调递增.因为/(X)是 R上的奇函数，/(2)=0,容易判断，g(x)=写在R上是奇函数，且g(2)=o,则函数g(x)在(-8,0)上单调递增，且 g(2)=0,所以g(x)0 的解集为：(,-2)口(0,2).于是八 幻 0 时，/(x)-x)0,则使得f(x)0 时，#,(x)-/(x)o 时，r(x)o,即尸(x)在(o,+8)上单调递减.由于“X)是奇函数，所以尸(-x)=D =&D =F(x).尸(X)是偶函数，所以尸(X)在(-8,0)上单调递增.X X又/(l)=f(T)=。，所以当 x l 时，/)=乎 0；当T x 0 或0
11、 0.所以当-l x l 时，/(%)0.故选：B.例 9.已知定义在(0,+oo)上的函数f(x)满 足 矿(x)-/(x)(H?-2022)/(l),则 实 数 胆 的 取 值 范 围 为()A.(0,2022)B.(2022,+oo)C.(2023,+oo)D.(2022,2023)【答案】D【解析】【分析】构造函数g(x),使得g(x)=D：x)0,然后根据函数g(x)的单调性解不等式即可.X【详解】由题设g(x)=四 n g(x)=(H；/(力 g(l)n 机 一 2022 m 0 n?2 0 2 2,综上可得：2022/0 (0),构造 g(x)=&2,X2.对于月外4/X x)。
12、(-e-(x),/(0)=1,则不等式/(x)告2的 解 集 是()e+A.(0,+8)B.(l,+o o)C.(-o o,0)D.(0,1)【答案】A【解析】【分析】构造函数g(x)=(e，+l)/(x),通过求导判断函数g(x)的单调性，利用函数g(x)的单调性解不等式即可.【详解】令 g(x)=(/+1)/(x),则 g(x)=ef(x)+ex+l)/(x),因为 f(x)+f(幻 -e-(x),所以/(x)+(1+e、)/(x)0,化简可得 e (x)+(e +1)/(x)0,即g(x)0,所以函数g(x)在 R上单调递增，因为/*)告，化简得(+l)/(x)2,因为 g(0)=2/(
13、0)=2,g(x)=(/+l)/(x),所以 g(x)g(0),解得x 0,所以不等式/(%)J 的解集是 +8).e+1故选：A【点睛】本题考查通过构造函数、利用导数判断函数的单调性解抽象函数不等式;考查运算求解能力、知识的综合运用能力和转化与化归能力;构造函数g(x)=(e*+l)/(x),并利用其单调性间接解不等式是求解本题的关键;属于抽象型、难度大型试题.例 11.若“力在R 上可导且0)=0,其导函数尸(x)满足/(x)+/(x)0,则 x)0的解集是【答案】(0,+8)【解析】【分析】由题意构造函数g(x)=e (x),利用导数判断出g(x)单调递减，利用单调性解不等式.【详解】设
14、 g (x)=e，(x),则 g x)=ex/(x)+et/,(x)=e*(/(x)+/(x),因为 x)+r(x)0,所以g(x)0在R上恒成立,所以g(x)单调递减,又 0)=0 得g(o)=o,由 x)0等价于g(x)0,即 x)l,0)=4,则不等式/(x)挤+l(e 为自然对数的底数)的解集为()A.(。,+8)c.(,o)u(o,+8)【答案】A【解析】【分析】B.(-oo,()5 3,+QO)D.(3,+oo)把不等式/(无)子+1化为e (x)3+e*,构造函数令/尤)=0 (力-，-3,利用导数求得函数尸(x)的单调性，结合单调性，即可求解.【详解】a由题意，不等式+即e*x
15、)3+e，令尸(x)=e (x)-，-3,可得尸(x)=e (x)+e (x)-e=e (x)+r(x)l ,因为f(x)+/(x)l 且e，0,可知产(力0,所以尸(力在R上单调递增，又因为尸(0)=e/(0)/3 =/4 =0,所以F(x)0的解集为(0,+8).故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及导数的四则运算的逆用，其中解答中结合题意构造新函数，利用导数求得新函数的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.例 13.若函数“X)的定义域为R,满足 0)=2,X/x e R,都有/(x)+/(x)1,则关于x的不等式 力 尸+1的解 集
16、为()A.x|x 0【答案】AB.x|x e C.x|x l D.(x|O x l,/(x)+/(x)-l 0,.-.g(x)0,即g(x)在R上单调递增，乂/(0)=2,.g(0)=e/(0)-e-l =2-l-l =0,故当x 0 时，g(x)g(0),即 e (x)-e -l 0,整理得e (x)e、+1,f(x)e-x+的解集为 x|x 0,故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数分析函数单调性的性质及其应用，并求解抽象不等式，综合性较强，关键在于根据题意构造合适的函数，求所构造的函数的导函数，研究构造的函数的单调性，运用其单调性求解不等式.【方法技巧与总结】1.对于 r(x)+f
17、(x)0(0(0 时，尸(x)2.f(x),则不等式e 2 (2-x)0 时,f(x)2f(x),所以 g(x)0,8口)=冬 是(，2)上单调递增，所 以g(x)=4 3是(2)上单调递增，因为 g(l)=4 =3=1 ,由/(2-%)/可得 e(2-x)/B|J g(2-x)1=g (1),f(x 2 2 x 2由g(x =竽是(-2 上单调递增，可 得。,解 得：l x 4,e 2 x 1所以不等式/(2-x)/(x)+l,r(x)=r(6 x),3)=1,例6)=5,则不等式l nx)+2 x+l o的 解 集 为()A.(0,1)B.(0,3)C.(1,3)D.(3,6)【答 案】A
18、【解 析】【分 析】构 造 函 数8(幻=驾 之，得 到g(x)也 是R上的单调递增函数.，分析得到函数f(x)关于点(3,1)对称.由ef(l nx)+2 x+l 0得至lj g(l nx)0,所以g(x)也是R上的单调递增函数.因为/(力=/(6-力，所以f(x)关于直线x=3 对称,IUJf(x)dx=jf(6-x)d x,f(x)+c,=-/(6-X)+C2,(q q 为常数)，./(X)+/(6-X)=C2-C,令X=3,所以2/(3)=0-，.J(3)=&因为f(3)=l,所以，2-G=2,所以/U)+/(6-x)=2,所以函数f(x)关于点(3,1)对称.由 3)=1 J(6)=
19、5 得到 f (0)=-3,因为/(In x)+2x+1 0,二 x)+1 -2x=-2eln x,所以一 3 +1所以 g(ln 尤)2=g(0)=,e所以 g(lnx)g(0),所以 In X 0,0 x 0,=驾 关 于直线x=lx-1 e对称，则不等式，(:;1时，r u)-/u)o,贝(g(x)0,判定出g(x)在(1,中功上单增；据e =华关于直线x=I 对称，将不等式中的抽象函数符号去掉，解出X即可.ex【详解】令g(x)=华，e,如)=小 20,ex-1当x l时，尸(X)-f(x)0,则g (x)0,，g(x)在(1,+0 0)上单增；当 x l 时，f X x)-f M 0
20、,则 g (x)0,；.g(x)在(-0 0,1)上单减；.-g(o)=f(o),不等式与 三 义 f(0)即为不等式g,-x)8(0),尸 华 关 于直线x =l对称，e0 x2-x 2 ,解得-I v x v O 或 1 V X V 2,故选：C.例1 7.已知“X)的定义域是(0,+8),尸(X)为“X)的导函数，且满足x)-2 2)的解集是()A.(2,1)B.(0 0,2)|J(1,+0 0)C.(-1,2)D.(-3 0,-1)U(2,+0,所以函数无在区间(0,田)上单调递增，所以eA e,1exf (x2+x)e/-2/(2)，(：，)彳)=可/+x)(2)=丁+x 2，解之得
21、 x l,即原不等式的解集为(-8,-2)U d,y),故选：B.例 1 8.已 知 函 数 的 导 函 数 为/(x),若对任意的xe R,都有x)/(x)+2,且 1)=2 0 2 2,则不等式/(x)-2()2 0 ei 2的解集为()A.(0,+e)B.C.(!,+)D.(f l)【答案】C【解析】【分析】设函数g(x)=，(2-2,根据题意可判断g(x)在R上单调递减，再求出g(l)=名”，不等式e ef (x)-2 0 2 0 ei 2 整理得了(切 一2 陋,所以g(x)/，(力+2 ,所以r(x)-/(x)+20,即g (x)0,所以g(x)在 R上单调递减,因为 1)=2 0
22、 2 2,所以g =1)-2=陋,因为/(力2 0 2 0 e”2,整理得“)一2 陋,e e ex e所以g(x)l.故选：C.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.例 19.己
23、知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为/(X),满足r(x)/(x)且/(x+3)为偶函数，/(6)=1,则 不 等 式 的 解 集 为()A.(-3,+o o)B.(l,+o o)C.(0,-K)D.(6,+o o)【答案】C【解析】【分析】构造函数g(x)=华，求导g(x)=f ，):x)0,从而得g(x)在定义R 匕单调递减；又/(x)e oe e9半，从而有g(x)g(0),利用g(x)的单调性即可求解.e e【详解】令g(x)=华，ee g(x)在定义R上单调递减；又/8 +3)为偶函数，.-./(3+x)=/(3-x),.-./(0)=/(6)=1,二华八e贝 IJ不等式要 型，
24、即g(x)0,故选：C.例 20./(x)是定义在R上的函数，尸(力是/(x)的导函数，已知r(x)/(x),且/=e,则不等式 2x l)e 2 i 0 的解集为()C.D.(|,+8)【答案】C【解析】【分析】根据不等式r(x)/(X)构造函数g(X)=翌，然后利用函数g(X)单调性解不等式即可.6【详解】由 r(x)x),得，-y(x)o构造函数g(x)=y,g(x)所以函数g(x)在XW(Y O,X)上单调递增，因为l)=e,所以g(l)=l不等式 2 x-l)-e 2 i 0等价于，(#)1即 所以2x l lnx e(l,M)故选：C.【方法技巧与总结】1.对于尸(x)-f(x)0
25、 (0(0)，构造 g(x)=1 g l题 型 五：利 用sinx、tanx与/(x)构造型例21.函 数y=/(x)对 任 意 的xw7i n5 万满 足x+2/(x)+/。)sin 2x=(其 中/(X)是 函 数/(%)的导函数),则 下 列 不 等 式 成 立 的 是()【答 案】D【解 析】【分 析】B-何 小 周D-何(f)0,所以尸知 部,所 以F(x)在x 上单调递增因为 所以51TI兀tan,12故 0,则不等式cosx-f(x+5j+sinx-/(-x)0的 解 集 为()A.C.兀2【答 案】D【解 析】【分 析】构造函数s i n (x),并依据函数s i n 4(x)
26、的单调性去求解不等式c o s r/X+一兀2+s i n x-f (-x)0 的解集.【详 解】当时，/(x)+/,(x)t a n x 0,则 8s V(x)+/(x)s i n x 0上的奇函数则xe时，不 等 式c o s x./(x +/J+s i n r -x)0可化为 s i n (x +)/(x +s i n (-x)/(-x)又由函数s i n好1(x)在(0,日 上单调递增，且x+e f o,-则有+T 0,解之得-卜0,则不等式c o s x(x +s i n x-f(-x)0 的 解 集 为()【答 案】CB.71 7 U1,2【解 析】【分 析】构造函数g(x)(x)
27、s i n x,则经变形后得g (x)=/(x)+/t a n A C IQ S X,进 而 得 到g(x)在XG 0.1时单增,上的偶函数，再去了 即可求解【详解】令g(x)=/(x)si n x,g(x)=f(x)cosx+fx)si nx=f(x)+f x)tan x cosx,当 xe 0，1 时，x)+f(x)ta n x 0,.g(x)0,即函数 g(x)单调递增.又 g(0)=0,xe 0,1J 时，g(x)=/(x)si n x。，/(x)是定义在(一e)上的奇函数，.g(x)是 定 义 在 上 的 偶 函 数.不等式cosx-/x+y +si n x-/(-JC)0,即 si
28、 n x+g)/x +D s i nV(x),B|J L r+y j (x),7 1x+2l X I,X 一7,4又一g x+g g,故-4 X 0的式子，先构造函数(x)=/(x g(x),再设法证明/?(x)的奇偶性与增减性，进而去了解不等式【方法技巧与总结】1 .对于 s i n x(x)+cosx f(x)0(0(0),构造 g(x)=J )si n x3.对于正切型，可以通分(或者去分母)构造正弦或者余弦积商型题型六：利用cos X与/(X)构造型例2 4.己知偶函数/(*)的定义域为卜夕|,其导函数为八x),当0 x时，有,f(x)8Sx+f(x)si n x 0成立，则关于x的不
29、等式八 幻&,尼 卜。sx的解集为()【答 案】B【解 析】【分 析】由题意，设g(x)=A，利 用导数求得g(x)在 上 单 调 递 减，且为偶函数，再把不等式转 化 为g(x)g(结合单调性，即可求解.【详 解】由题意，设g(x)=3,则g，(M 也*电g驾cosx cos-X当Ovxv时，因 为fr(x)cosx+/(x)sinx 0,则 有g(x)0,所 以g(x)在(。，上单调递减，又 因 为/)在上是偶函数，可 得g(-x)=-a=/8=g(x),2 2)cos(-x)cosx所 以g(x)是偶函数，由 f(x)夜f Cs x,f(-)可 得 上8 夜 三)，即“。_,cosx 4
30、 cosx 兀cos 一4即 g。)皆，则有I*吟,/a兀 _ p 7C 4解 得 一7 x 一:或:x s in x,则 不 等 式/(可/一x)2cosx-sinx的 解 集 是()A.71-0 0,4B.71,+84C.兀0 0,6D.兀-.4-0 06【答案】B【解析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项.【详解】设=/(%)cosx,/(x)+/(-x)=2 c o s x,即/(X)-cos X=cos x-/(-x),即 F(x)=-由于函数 力 在 R上存在导函数r(力，所以，函数/(可 在 R上连续.,在 0,4oo)上有/(x)-s
31、in x,；尸 (x)=/(x)4-sinx0,故厂(x)在(),”)单调递增，又二尸(力是奇函数,且尸(力在R上连续，尸(x)在及上单调递增,*/(x)-/-x l c o s x-s in x,/(x)-c o s x /1-s in x =/y-c o s 1-x ,即*x)2 F(-x),A x j-x,故故选：B.【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，属于较难题.尸(-力，故尸(X)是奇函数，,则函数尸(可在R上连续.构造合适的函数是解决问题的关键,例 2 6.已知函数“X)的 定 义 域 为 句，其导函数是/*).有/式 何(x)2/(|c o s
32、x 的解集为()A篇)B.C.1高【答案】B【解析】【分析】令尸(=鉴，根据题设条件，求得F(x)0,得到函数尸(x);把不等式化为这 一 ，结合单调性和定义域，即可求解.cos X 4(x)cos X+f(x)sin X 0,则关于工的不等D1(71 7r=幺 立 在 内的单调递减函数，再COSX 乙乙)【详解】由题意，函数f(x)满 足(x)8 s x+x)s i nx o,令 网 卜忠，则尸，(加以 以 但 0,关于X的不等式/(X)2/f j l c o s X可化为以义 g,解得V o 7 2 2 6 2 6不等 式 何(X)v 2/图c o s x的解集为你故选：B【点睛】方法点睛
33、：构造法求解f (力与/(X)共存问题的求解策略：对于不给出具体函数的解析式，只给出函数f(x)和f(x)满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数,再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：(1)f (x)g(x)/(x)g(x)型；(2)才(x)+叭x)型;(3)W(x)/(x)。为常数)型.例2 7.已知偶函数/*)是定义在 T 上的可导函数，当x e-l,0)时，_f(x)c o s x+/(x)s i nx 0,若c o s(a +1)/()f(a+l)c o s a ,则实数。的取值范围为()A.-2,-1 B.-1,-C.-,0 D.-,+f(a+l)c o s
34、 a可得F(a|)F(|a +l|),列t H不等式即可求解.【详解】令 F(x)=,x e-l,l j,则当 I W x W l 时，尸(一幻=上央=3=F(x),c o s x c o s(-x)c o s x所以函数尸(X)是 定 义 在 上 的 偶 函 数.当 x e-l,0)时，尸(x)J(x)c o s x y(x)s i n x0,COS X所以函数尸(x)在-1,0)上单调递增，在(0,1 1上单调递减.又c o s(a +l)0,c o s a 0,所以由 c o s(a +1)/(0)/(a +l)c o s a ,可得/处 *+?、,c o s a c o s(a +1)
35、眄 业+1|即 F(a)2 尸(a +1),所以 F(|a|)2 F(|a +1 1),所以 一1 4。41 ,-a Q ,2-l d+l 0 (0 (力-2,且/(1)=3,则不等式“X)-2 产 的解集为()A.(-a,l)B.(l,+o o)C.(-c o,e)D.(e,+o o)【答案】B【解析】【分析】依题意原等价于不等式 吟 工 1,构造函数8。)=俱 匚，利用导数说明函数的单调性，即可得到e eg(x)g ，从而得解;【详解】解：不等式x)-2 e、T,等价于不等 式 空F|,e构造函数 g(x)=2?，则 g U)J (x)_(x)-2),e e若对任意实数X都有fMf(x)-
36、2,则g(x)0,g(x)在R上单调递增，又8。)=华”故 借 工1即g(x)g，故不等式的解集是(1，位)，故选：B.例 2 9.已 知/(x)为/(X)的导函数，且满足/(0)=1,对任意的总有2尸(x)-/(x)2,则不等式/(x)+23e5的解集为-【答案】0,田)#x|x20【解析】【分析】构造新函数g(=,利用已知条件2/(尤)-力2,可以判断g(x)单调递增，利用g(x)的单调e，性即可求出不等式的解集【详解】设函数g(加甘r(x).-:.$y(x)+2则g，G卜-f-2;(x)-x)-2X2-X v 2/(x)-/(x)2 .-.g,(x)0所以g(无)在R上单调递增,又g(O
37、)=/(O)+2=3故不等式/(x)+2 N 3 1可化为g(x)Ng(。)由g(x)的单调性可得该不等式的解集为0,田).故答案为：0,+8)【方法技巧与总结】对于 r(x)-/(X)k(2时，有 矿(x)+x)2/(x),苟(1)=1,则不等式/(力2 时，g(x)=(x-2)/(x),g，(x)=(x-2)r(x)+/(x),又由当 x2 时，xf(x)+f(x)2f(x),即当 x2时,g(x)0,即函数 g(x)在区间(2,”。)为增函数，由/(x)二可得(x-2)/(x)l,即 g(x)l=g(3),x-2.,.2x3,函数g(x)的图象关于(2,0)对称，函数g(x)在区间(-0
38、0,2)为增函数，且g(x)l,即g(x)l,此时x 不存在.x-2综上：不等式解集为(2,3).故选：A【点睛】构造函数，利用函数单调性和奇偶性进行解不等式，是经常考察的一类题目，需要对已知条件进行分析，还要熟悉掌握一般的构造技巧，比如当出现导函数与函数相减的情况，一般是构造函数除法形式，而出现了导函数与函数相加的情况，此时要构造的通常是函数乘法形式例 3 1.定义在(1，+)上的函数/(x)的导函数为/(X),且(-1)八龙)-/(犬)/一2 对任意*(1,+/7 +1的解集为()A.(1,2)B.(2,+oo)C.(1,3)D.(3,+oo)【答案】B【解析】【分析】由题目中的条件(x-
39、l)r(x)-f M x2-2x变形为(1)尸 量”T)_10,进一步转化为(色匕构造函数g(x)=/空 4-X,利用导数和函数之间的关系处理单调性即可求解.I x-1)X-1【详解】由(X 1)/(x)-/(X)X2-2X,即(x-1)fr(x)-/(x)+l(x-l)2,即，二 1)/丁 建-1)-1 0,即(Z W z l_ x 0 对Xe(1,+8)，恒成立，G T)I x-1 J令g(x)=里 -x,则g(x)在(1,物)上单调递增，x-1./(2)=3,A g(2)=0,由 /(x)4 -x+1,即 T-x 0,即 g(x)g,X-1因为g(x)在。,位)上单调递增，；.X 2故选
40、：B.例 32.已知定义在R 上的函数“X)满足 x+l)为偶函数，且当x l,有 矿(x)+x)r(x),若 2)=1,则不等式 x)0,进而构造函数g(x)=(x-l)/(x),易得其关于点(1,0)对称，在R 上单调递增，再分工 1时和X l,有 矿(x)+/(x)If(x),B p(x-l)/(x)=(x-l)/(x)+/(x)0,故令 g(x)=(x-l)f(x),则 g(x)=(x-l)/(x)在(1,e)上单调递增，因为 g(l+x)+g(l-x)=V(l+x)-V(l-x)=。，所以g(x)=(x-l)/(x)关于点(1,0)对称，所以g(x)=(x T)f(x)在R 上单调递
41、增,因为 2)=1,所以g(2)=(2-1)2)=1所以，当X1 时，y(x)o(x-l)x)g(x)l=g ，所以 1cx2.x-当x l时，=g，所以x 2,即无解.所以，不等式f(x)一的解集是(1,2)X-I故选：A例3 3.设函数f(x)在R上存在导函数尸(x),对任意实数x,都有 x)=-x)+2 x,当x 0时,f(x)2x+,/(2-)/(-o)-4 a+6,则实数。的最小值是()A.1 B.1 C.!D.22【答案】A【解析】【分析】构造函数g(x)=/(x)-根据等式x)=-x)+2x可得出函数y =g(x)为偶函数，利用导数得知函数 尸g(x)在(,0)上单调递减，由偶函
42、数的性质得出该函数在(0,+。)上单调递增，由f(2-a)f(-a)-4a+2,得出g(2-a)4 g(-功，利用函数 =8(外 的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.【详解】构造函数g(x)=/(x)-、T,对任意实数x,都有x)=/(x)+2x,则8 )=/(司-%2-%=/(7：)一%2+2*一 _=/(一切+()2-(一 )=8(-%),所以，函数y=g(x)为偶函数，g(x)=g(|x|).当x 0时，g,(x)=/,(x)-2x-l 0,则函数y =g(x)在(r o,0)上单调递减，由偶函数的性质得出函数y =g(x)在(0,+8)上单调递增，：f(2-a)/(-a)-4 a+
43、6,B P /(2-67)-(2-a)2-(2-a)0 时“X)+x l n x(x)4 f (x)的解集为.【答案】(，1)=(0,1)【解析】【分析】依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可.【详解】当x 0 时，.f(x)+x l n x-/(x)0 =+l n (x)0 o l n x.y(x)0,/(x)0 ,当x e(l,伊)时，g(x)0,/(x)4/(x)o x)肘-4 0,而a(x)=/(x 4 区.4 为奇函数，则当x 0 时,当 。小-可 0 的解为0 x 0 的解为 或 0 c x 4/(力 的解集为故答案为：(口,1)=(0,1)例 3 5.已知是
44、定义在(v,0)U(0,E)上的奇函数，f(x)是/5)的导函数，/*0,且满足：(x).l n x +&2 0,则不等式(x-l)-/(x)0 的解集为()XA.(1,+0,则 g，(x)=r(x)l n x+2 2 0 得 0 x l,而 l n x 0,则 x)0,由 g(x)1,而 l n x 0,贝 i J/(x)0,又 1)0,于是得在(0,+8)上，f(x)(),由(x-l)/*)0 ,fx-1 0/(幻 0|X 1 x。或x。解得x l 所以不等式(x -l /(x)0(0),构造g(x)=l n x-/(x)x2.写出y =l n(fcv +6)与y =/(x)的加、减、乘、
45、除各种结果题型十：复杂型：基础型添加因式型例36.定义在R上的函数f(x)满足八x)-/(x)+e x e、的 解 集 为()A.(-,2)B.(2,+x e*转化为整式不等式即可解决.【详解】设 g(x)=x，则 g(3)=牛 一 3=0,所以/(x)x e*等价于 g(x)0 =g(3),ex e、由 f(x)-fx)+ex ev 0则 g(x)J):e所以g(x)在R上单调递增，所以由g(x)g(3),得x 3.故选：D例37.定义在R上的函数/(x)满足r(x)2 x)6 0,且/=e2 3,则满足不等式/(力*?*3的x的取 值 有()A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析
46、】【分析】有题干条件构造函数尸(力=驾 二，得到其单调性，从而进行求解.【详解】构造函数尸(x)=，则 F，a)=,因为/(x)2/(x)6 0,所以 F(x)e2 x-3变形为 工 绊 3 1,即尸(x)尸,e由函数单调性可得：x l故选：D例 3 8.已知可导函数.“X)的导函数为尸(x),若对任意的xe R,都有了 (x)-f(x)2022e的解集为()A.(-a?,0)B.(0,+ao)C.(-0 0,/)D.【答案】A【解析】【分析】构造函数尸(力=，(：)+1,通过导函数研究其单调性，利用单调性解不等式.【详解】构造函数外 力=曾 之，则造(6=(-】)+1，,=/(一)_.因为r
47、(x)_ x)i,所e e e以F(x)2 0 2 2 e,变形为所以尸(0)=萼担=2 0 2 2,所以尸(x)尸(0),解得：x 2 0 2 2 ,又/（0）=2 0 2 1,ev：（-，0）.且x N O 时，:（x）N 3-co s x 恒成【分析】结合已知不等式，构造新函数g(x)=/(x)3x+s i n x,结合单调性及奇偶性，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，当x N O 时,/(x)2 3-8 s x 恒 成 立,即逝(x)-3+8S x N O恒成立,又由 f(x)-/(-x)-6 x+2 s i n x =0,可得/(x)3x+s i n x =/(-x)+3x-s
48、i n x ,令 g(x)=x)-3x+s i n x,可得g(-x)=g(-x),则函数g(x)为偶函数,且当x N O 时，g(x)单调递增,结合偶函数的对称性可得g(x)在(-8,0)上单调递减,由+6 x +/2 co s x+I 4化简得至l J/(x)-3x +s i n x*/(T-x J-3(|-x)+si n(m-x),即 g(x)*g(1-x),所以解得即不等式的解集为(，+故选：B.【方法技巧与总结】在本题型一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度题型十一：复杂型：二次构造例 4 0.已 知 是 定 义 在(0,+8)上的可导函数，./(X)是 x)的导函数，
49、若犷(可+丁/(x)=,/(1)=e,则 f(X)在(0,+8)上()A.单调递增 B.单调递减【答案】A【解析】【分析】C.有极大值D.有极小值构造函数尸6(x)=e -F(x),可得出/(力=幽，利用导数分析函数e(x)的单调性与最值,可得出了 (X)的符号，由此可得出结论.【详解】构造函数尸(x)=(x),则 F(x)=X)+矿(x)=,所以，x)=W，则/=,设9(x)=，一尸(x),则(1)=0,d(x)=e*-F(x)=e，-C=e(xT),X X当0 x l时,9 (x)l时，夕(力0,此时函数9(X)单调递增.所以，(x)(l)=0.(3 =-尤)=观 立2 0对任意的.0恒成
50、立,X X因此，函数/(X)在(0,+8)上单调递增.故选：A.【点睛】结论点睛：四种常用的导数构造法：(1)对于不等式f (x)+g (x)0 (或 0 (或 0),构造函数尸(x)=f(x)-g(x)；(3)对于不等 式 矿(x)+。(或 0 (或c 0)(其中c为常数)，构造函数尸(x)=*).例4 1.定义在(。,+8)上的函数/(X)满足矿+八万卜21!，且/(+=-*，则”X)()A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值【答案】D【解析】【分析】=0,然后再判断=亡 左右两侧导数的符号，从而确定 的 极 值 情 况.【详解】因