《2023年高考数学一轮复习重难点专题突破：专题09 函数零点问题的综合应用（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考数学一轮复习重难点专题突破：专题09 函数零点问题的综合应用（解析版）.pdf（50页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题09函数零点问题的综合应用【方法技巧与总结】1.函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x轴(或直线y=A)在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.【题型归纳目录】题型一：零点问题之一个零点题型二：零点问题之二个零点题型三：零点问题之三个零点题型四：零点问题之m a x,m in问题题型五：零点问题之同构法题型六：零点问题之零点差问题题型七：零点问题之
2、三角函数题型八：零点问题之取点技巧【典例例题】题型一：零点问题之一个零点例 1.己知”0,函数/(X)=2G?-3(+l)x?+6 o x-2 .(1)讨论/(x)的单调性；(2)若f(x)在R上仅有一个零点，求”的取值范围.【解答】解：(1)由题可知：/X x)=6ax2-6(a2+l)x +6a=6(x-a)(ax-1),令 T(x)=0,则=L当4 a,即O a 0 ,此时，f(x)在(YOM),(L+8)单调递增，/(x)在(a 2)单调递减；a a当。=1时，r(x).O恒成立，所以/(X)在R上单调递增.当 即 以 时，或x卜时/(x)0 ,此时，/*)在(f),3y)上单调递增，
3、f(x)在(L a)单调递减.aa综上，当0 l时，/(x)的增区间为(7 一 和(。,田)，/(x)的减区间为(L a).I a)a(2)由题可得:f (a)=-a4+3a2-2 =(a2-1)(2-a2)；由(1)可得：当0 a l时，/(a)0,/(-)1时，/(3 0，又 f(x)在 R 上仅有一个零点，则/(a)0,即2-/o,解得 a 0 时，(x)0=0 x 0 时，(x)在(加，+,令 g*)=0,可得x=0 或 x=2.2e 2exw(-co,0)时，gx)0,xw(2,+oo)时，gx)o,%-8 时，g(X)-+002.3？-2-7或 3 加一2=0.e2 2T 2.心+
4、彳，或机=7 9 7所以，相的取值范围(；+5，y)U g 例 3.已知函数/(x)=(x-l)eA-ax1+b.(I)讨论了(幻的单调性；(II)从下面两个条件中选一个，证明：/J)恰有一个零点.1 e2 一 2。；2 2 0 a o 时，,r u)o,当0时，/V)0 时，令/。)=0,可得x=0 或 x=/(2a),当 0 0 或 x0,当/”(2a)x0 时，f(x)_1时，2当 x/”(2a)时，f(x)0,当 0 c x e 历(2a)时，f(x)0,/(x)在(F,0),(/(2a),+8)上单调递增，在(0,/“(2a)上单调递减.综上所述：当6 0时，/(X)在(7),0)上
5、单调递减；在(0,”)上 单调递增；当0。，时，/(%)在(f,/(2 a)和(0,包)上单调递增；在(/(2 a),0)上单调递减；2当4 时，f M 在R上单调递增；当时，f M 在(-w,0)和(历(2 a),用)上单调递增；在(0,/(%)上单调递减.(H)证明：若选，由(I )知，/(x)在(9,0)上单调递增，(0,/n(2 a)单调递减，(ln(2a),+8)/(x)单调递增.注意到/(-，)=(-e-l)e E 2 a-l 0 ./(x)在(-R o 上有一个零点；/(/n(2 a)=(/n(2a)-1)-2a-a-In2 2a+b 2aln(2a)-2a-aln22a+2a=
6、aln(2a)(2-/(2 a),i /由上0,当 x.O 时，此时/(x)无零点.综上：fM在 R上仅有一个零点.另解：当事 时，有加(2 a)e(0,2,ff f(x)=b-l a-l=O,于是f(ln(2a)=(ln(2a)-1)-2 a-alir(2d)+b=ln(2a)(2 一 ln(2a)+(b-2d)0 ,所以f(x)在Q”)没有零点，当xvO时，G(0,1),于是/(X)-加+bn/(-2)0,所以y(x)在(p,0)上存在一个零点，命题得证.aV a若选，则 由(I)知：f(X)在(-8,/吟)上单调递增，在(见2。)，0)上单调递减，在(0,y)上单调递增.f(/n(2a)
7、=(ln(2a)-l)2a-aln2 2a+b,2aln(2d)2a alrr2a-2a=aln(2a)(2 ln(2d),/0 6?,ln(2a)0 ,aln(2a)(2-/(2)0 ,/.f(ln(2a)0 ,2.当 M,0 时，/(x)/(Z n(2a)0时，/(x)单调递增，注意到“)=2-L,2-l 0,取 c =J2(l-b)+2,-：b2a V 2 1,又易证 e c +l，f(c)=(c-l)ec-ac2+b (c-l)(c +1)ac2+b=(l a)c2+b-c2+Z?-l =l-Z?+l +/?-l =l 02二/(X)在(0,c)上有唯一零点，即/(X)在(0,+o o
8、)上有唯一零点.综上：/(x)在 R上有唯一零点.题型二：零点问题之二个零点例 4.已知函数/(x)=(x-2)e*-a(x-l)2,a e R .(1)讨论/(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求。的取值范围.【解答】解：由/(x)=(x 2)/-a(x-l)2,可得 f(x)=(x -l)e -2a(x-l)=(x-1)(/2a),当4,0时，由尸(x)0,可得x l；由r(x)0,可得x 0时，由广(x)=0,解得x =l或x =为，若。=5，则r(x).O恒成立，即有/(X)在R上递增；若0。0 ,可得x l 或x/n(2a)；由 f(x)0 ,可得ln(2a)x 0,可得x
9、/(2a)；由尸(力0,可得l x 0时，时，/(x)在R上递增；0 a 时，/(x)在(-c o,加(功)，(1,物)递增，在(/(2a),1)递减；时，/(x)在(砥 2a),+8)递增；在(1,加(加)递减.(2)由(1)可得，当a0,故/(x)在(1,2)上存在 1 个零点,取6满足0 0,且6 -2)-a(b-1)2=-ab(b-1)0 .故/(X)在3,1)是也存在1个零点，故0时，若“=时，f(x)在R递增，/(x)不存在2个零点，不合题意；若O c a v ,/(x)在(1,+o o)递增，又当用,1时，/(x)0 ,f(x)不存在2个零点，不合题意，当时，f(x)在(-8,1
10、)单调增，在(1,/(2)递减，在(/“(2a),+0 0)递增，/(x)极大值=/(1)=-e0,此时/(x)在(0,转)上单调递增；当a0时，由_ f(x)0解得0 x 且，由r(x)亚，此时/(x)在(0,也)上单调递增，aaa在(五,+O 0)上单调递减；a综上，当 凡0时，f(x)在(0,+o o)上单调递增；当。0时，/(x)在(0,近)上单调递增，在(也,+8)上单调递减；a a(2)由(1)知，当4,0时，/(x)在(0,+o o)上单调递增，函数/(X)至多一个零点，不合题意；当a 0时，/(X)在(0,也)上单调递增，在(江,+8)上 单 调 递 减，则a a=/(逅)=/
11、3一:。3尸 二 一:/(+1)，c i y/a 2 y/a 2当a.2时，f MnKIX=/()=-ln(a+1)0 ,函数/(x)至多有一个零点，不合题意；e a 2当0 a 0,ea 2由于 1 w (0,且 f(1)=Ini ,P =0 ,由零点存在性定理可知，f(x)在(0,J=)上存在唯一零点，由于且/(2)=/2一.a.(2)2=加2 _ 2 2 _ 2=o (由于袱 0,贝！Jx 0 时，r*)0 时，f(x)0,在(0,+oo)递增，当 a 0 时，由.(x)=0 得%=/，x,=0,若。=1,则1(x).0,故 f(x)在 R 递增，若0 a 1 ,则当 x 0 时，f(x
12、)0,痴 x0 时，f x)0,故 f(x)在(-oo,/a),(),+)递增，在(/也,0)递减；综上：4,()时，/(x)在(9,0)递减，在(0,+oo)递增，0 a l 时，/(x)在(-oo,/w),(0,4)递增，在(/“a,0)递减：。=1时，/(x)在 A 递增；(2)a=l 时，/(力在R 递增,不可能有2 个零点，当 0 a v l 时，,f(x)在(fo,/a),(0,+oo)递增，(/w,0)递减，故当x=时，/(x)取极大值，极大值为/(/，M)=-a(a+2)+2a/，M 0,此时，/(x)不可能有2 个零点，当 4=0 时，f(x)=e*(e*-2),由/(x)=
13、0 得 x=/2,此时，f(x)仅 有 1个零点，当a )递增，故 f(x)min=f(0)=-1-2a,/(x)有 2 个零点，/./(0)0,解得：,/.-6 Z 0,取 6 eh-(a +1)2.0 ,2a故f(x)在(-0 0,0),(0,+o o)各 有1个零点，综上，4的取值范围是(-L,0).2题型三：零点问题之三个零点例 7.已知函数/(x)=a(/n x +3，a w R .X(1)求f(x)的极值；(2)若方程2/(x)-讥x +x +2=0有三个解，求实数a的取值范围.【解答】解：(1)/(x)的定义域为(0,),/,(x)=a(l-4)=-X X X当a0时，/*)在(
14、0,1)上递减，在(l,+o o)上递增，所以在 =1处取得极小值a,当a =0时，/(x)=0,所以无极值，当av O时，/(x)在(0,1)上递增，在(1,例)上递减，所以在x=l处取得极大值(2)设(x)=2/(x)/t r +x +2,B P h(x)=(2a-V)bvc+x +2,x,2 7-1 2a(x-l)(x+2a)h(X)=-7-i-l =-(x 0).x x x若a.O,则当冗w(O,l)时,hr(x)0 ,/(x)单调递增，力(幻至多有两个零点.若=一,，则 x w(0,+o o),h x).O (仅 h(1)=0),2力。)单调递增，以工)至多有一个零点.右，v a 0
15、 ,则 0 v 2 2 2当 X (0,-26?)或 X (1,+0 0)时，h x)0 ,/?(x)单调递增；当工(一2,1)时，h x)0 ,0)单调递减，要使h(x)有三个零点，必须有 产)：成立.0由(1)0,得。一3,这与一,。0 矛盾，所以/?(x)不可能有三个零点.2 2若。1.当X(0)或不(一2,+00)时，hx)0 力(x)单调递增;2当xw(l,-2)时，(x)0,*)单调递减，要 使 有 三 个 零 点，必须有八 成立，n(-2a)0,得 ，21p由 h(-2a)=(2a-l)/?(-2a)-1 0 及 a _,得 a 一上，2 2/.-a -.并且，当-3 a，时，0
16、 2-2a,2 2 2 2h(e-2)=4+e-2+2a(e2-2)4+e-2-e(e2-2)4+l-5 e e2-3(e-2+2)=e2-6-3e-2 r-7 0.综上，使/?(x)有三个零点的a 的取值范围为(-3,，).2 2例 8.已知函数/(x)=x/nr-(a+l)x+l,aeR.(1)求函数/(x)的单调区间和极值(2)若方程(2。-1)(四+a+l)+,+x+2=0 有三个解，求实数a 的取值范围.X X【解答】解：(1)函数的定义域(0,“o),fx)=bvc-a,当xe时，fx)0,函数单调递增，当0 c x v e 时，.尸(x)v 0,函数单调递减,故当x=e“时，函数
17、取得极小值/(e“)=l-e ，没有极大值，(2 由)(2。-1)(+1)+工 +穴 +2=0 整理可得(1-2。)3 加+1)=(%+1)2,x x令 y=xlnx4-1,则 yf=lnx+1 =0 可得x=,e易得当XJ.时，函数单调递增，当 函 数 单 调 递 减，e e故工=时，函数取得最小值1 一！0 即 y=xlnxH-1 0,e e故原方程可转化为1-2“=,xlnx+l令 g(x)=M，则 g，(x)=(x+吗可|/),xlnx+1 (xlnx+1)因为x 0,易得当x e或O vx vl时，g x)0 ,函数单调递增，当Ivx ve时，gXx)0 ,函数单调递减,故当x =l
18、时，函数取得极大值g (1)=4,当x =e时，函数取得极小值g (e)=e+,由题意可得，y =l-2a与g(x)3个交点，则e+1 vl-2t z4,解可得，-a 0时，令/(x)0,解得：x 卡或,令F(x)o,解得：-辱x 0时，f(x)在递增，在(-岛递减，在(A，内)递增；若/(X)有三个零点，k 0只需。(曲0 ，解得：0 *0),讨论/i(x)零点的个数.【解答】解：(1)f(x)=3x2+a.设曲线y=/(x)与x 轴相切于点尸(3,0),则/(%)=0,f(xo)=O,31,V +0 +-=0 1 4 3xJ+。=0解得毛=g,a=一 1,因此当 时，X轴为曲线y=/(%)
19、的切线；4(2)F(x)=f(x)-()=+0+Inx,4导数为 Fr(X)=3x2+6 7 +,X由题意可得3犬+a+L.O 在 1,+8)恒成立，X即有-3 f+1 的最小值，X由次+J的导数为6 x-V 0 在 X.1递增，X X即有最小值为4,则 4,解得口 .4；(3)当 x (l,+oo)时，g(x)=-bvc 0,函数h(x)=min f(x),g(x),g(x)。,故h(x)在 X (1,-B X)时无零点.当 x=l 时，若 a.3,则/(1)=a+.O,4 47z(x)=min f (1),g(1)=g(1)=0,故x=l 是函数/z(x)的一个零点；若 则/(1)=6 Z
20、 4-)的零点；当 x (0,1)时，g(x)=-Inx 0,因此只考虑了(%)在(0,1)内的零点个数即可.当6,一3或a.O时，/(%)=3/+。在(0J)内无零点，因此f(x)在区间(0,1)内单调，而/(0)=1,f (1)=a+-,4 4.当4,-3时，函数f(x)在区间(0,1)内有一个零点，当a.O时，函数/(幻在区间(0,1)内没有零点.当-3。0，B P 6 7 0,则/(x)在(0,1)内无零点.4即4=-巳，则/(X)在(0,1)内有唯一零点.3 1 5)0,0P-3 a -t 由/(0)=，f (1)=+己，V 3 4 4 4当 二 -士时，在(0,1)内有两个零点.4
21、 4当-3 0),讨论力(x)零点的个数.【解答】解：(1)若函数g(x)的定义域为R,则任意xwR,使 得 了二/+依+工。，4所以=一 4 x l x 1 0 ,所以一2,1,且f (I)0,即，,1,且 1 +4 +，0,24解得q _ 3,4所以“的取值范围为(-*，+0 0).4(3)因为当x l时，g(x)=T n x v O,所以 h(x)=minf(x)，g(x),g(x)0,即。一1 时，令/(%)=0,解得玉=-,x2=-，且0 苦 1,4 2 20 0).若 函 数 在(0,+oo)上恰有2 个零点，求实数。的取值范围.【解答】解：fx)=3x2-3a,当 凡 0 时，/
22、r(x).O,/*)在 R 上单调递增，当 0 时，fM =3(x+-fa),当不(一00,-6),(yfa,+oo),/r(x)0,f(x)单调递增，当不(-，?,右)，fx)0,(x).g(x)0,(x)在(0,e)无零点，当 x=e 时，g(e)=0,f (e)=e3-3ae+e,/+若/(e)0,即。，则e 是/?(x)的一个零点，3/+右/(e)0,即。,则e 不是人(幻的零点，当xw(e,+oo)时，g(x)3e2-3a,当q,/时，/(了)0,/(x)在(e,”)上单调递增./I 所以：(i)当 a,，3 时，f (e).o，f(x)在(e,+co)上无零点；+1(ii)当一-a
23、,一时,f (e)X f (2e)=8e3-6ae+e.8e3-6 e2+eQ,所以此时 f(x)在(e,+oo)上恰有一个零点；当a e2时，由(1)知，f(x)在(e,石)递减，(6 ,+8)递增，又因为 f (e)=e3-3ae+e e3-3c1+e 8a2-6a2+e=2a2+e 0,所以此时/(x)恰有一个零点.题型五：零点问题之同构法例 1 3.已知函数f（x）=1+x-/（ax）-2（a 0）,若函数/（x）在区间（0,+oo）内存在零点，求实数a 的e取值范围【解答】解：方法一：由/（%）=刍+%-加（必;）一 2（。0）可 得/（幻=土口_（-a）,e e x、exl设 y=
24、-a,x%o,ao,则 y=-，令 y =0=x=l,y 在工（0,1）单调递减，在 x（l,+oo）单调递增，故为=y（1）=1 a.当O v a v l时，令 r（x）=0 n x =l,当x c（O,l）时，/（九）单调递减，当x（l,+oo）时，/（力单调递增,/.f(x)m in=f(1)=a-l-/n a 0,此时f(x)在区间(0,+a)内无零点;当a =l 时，f(1)=a-l-lna=O,此时/(x)在区间(0,+oo)内有零点;Y 1 PX-当a I 时，令 f (x)=-(-a)=0,解得x =x,或 1 或占，且0 为1 为，e x此时 f(x)在单减，xe(x,1)单
25、增，单减，xe(x2,+a.1 .方法二：由题意可得=历(的一x +2 ,即 e-C -x +1 +/n(a r)J-l=0,因为e，.x +l 当x =0 时等号成立，所以-x+l +/(a r)=0 ,即 a r =e i,常 人/、,、1 (x-l kva =-,令 g(x)=_ ，g(%)=-x-x x e x易知g(x)在(0,1)单 减,在(1,物)上单增，所以g(x).g (1)=1,又 x 趋近于0和正无穷时，g(x)趋近于正无穷，所以a.1.例 1 4.已知 f(x)=x/n x+x 2 +1.(1)若函数8(丫)=，()+氏(犬-$指-工/祝-1 在(0,)上 有 1 个零
26、点，求实数a的取值范围.(2)若关于x的方程x e=/(x)-晟*2+以一1 有两个不同的实数解，求的取值范围.【解答】解：(1)g(x)=；x 2+x c o s x-s i n x ,x e (0 ,y 所以 g (x)=x(a-s i n x),当a.l时，a?s i n x.O,所以g(x)在(0,工 单调递增,2又因为g(0)=0，所以g(x)在(0,自 上无零点；当0 。0,即a 卫 时，g(x)在(0,。上无零点，8 4-2若”?1,0,即0 自,乂 时，g(x)在(0,马上有一个零点，8 71 2当6,0 时，gx)=a-xsinxvO ,g(x)在(0,上单调递减，g(x)在
27、(0,9上无零点，综上当0 0),即加1=功 优+如，即64口=/加+，贝!)有exa+(x-d)=x+lnx,令 h(x)=x+Inx，x 0,则 h(exa)=exa+(x-a),h x)=1 +-0,所以函数(x)在(0,+oo)上递增，x所以靖一=/,则有 x-a =/n r,即 a=x-/n r,x0,因为关于X的方程此=/(幻-?丁 +3 _ 有两个不同的实数解，则方程4=犬-伍，X0有两个不同的实数解，1 Y 1(px=x-lnx,贝 ij d(x)=l =:-,x x当 0 v%v 1 时，“(X)1 时.，d(x)0，所以函数Cr)=x-如:在(0,1)上递减，在(1,例)上
28、递增，所以0(初加=0(1)=1,当 X 0 时，夕(工)-4-00,当 X +8 时，(p(x)-+00,所以。|。1.例 1 5.己知函数,f(x)=ae-加(x+l)+/o-l.(1)若。=1,求函数/*)的极值；(2)若函数/(幻有且仅有两个零点，求。的取值范围.【解答】解析：(1)当。=1 时，/(x)=ex-ln(x+1)-1 ,fr(x)=ex-,x -,x+1显然r(x)在(-l,+oo)单调递增，且 八 0)=0,.当一 Iv x v O 时，r(x)vO,/(%)单调递减；当x 0 时，/(工)0,单调递增.(%)在 x=0 处取得极小值/(0)=0,无极大值.(2)函数/
29、(幻有两个零点，即/*)=0 有两个解，即馥+加(1G =/(x+l)+(x+l)有两个解，设a)=，+/,则=1 +1 0,单调递增，t.,4=l+l(x-1)有两个解，即a=-有两个解.ex令 s(x)=(X一 1),则 5J(X)=一 1，ex ex当 xw(-1,0)时，5r(x)0 ,s(x)单调递增；当 x e(0,+o o)时，s，(x)0 时 5(X)0 ,.,.0 6 7 y=g(x)与 h(x)=Ax +b(Z ,/?c R)在区间。上恒有/(x)i(x)g(x).(1)若/(幻=工2+2 x ,g(x)=-x2+2 x,)=(-o o,4-c o),求(%)的表达式；(2
30、)若/(x)=f 一 工 +i ,g(x)=khvc,h(x)=kx-k,D =(0,+o o),求 A 的取值范围；(3)/(X)=X4-2X2,g(x)=4/8,h(x)=4(r3-t)x-3 r4+2 r2(0 0,夕(x)单调递增，在(0,1)上，(x)vO,(x)单调递减，所以.夕(1)=0 ,所以当(幻-g(x).O时，k.O ,令 P(x)=/(x)(幻所以 p(x)=x2-x 4-1 -(kx-k)=x2-(k+l)x +(1 +Z).0 ,得，当x =1 +L,0时,即 鼠 一1时，/(x)在(。，y)上单调递增,所以 p(x)p(0)=1 +左.0 ,所以攵=1,当k +1
31、 0时，即&-1时，0,即出+1)2-4(2 +1),0,解得一1 鼠 3,综上，keO,3 .(3)当1 期 及 时，由g(x),(x),得4%2 8),4(r t)x 3 r4 +2t2,整理得 d-t)x+七 L,o,(*)4令 =(/一。2-(3-2 产一8),则4=产 _ 5/+3 产+8,t 己/(f)三产一5 f，+3*+8(1 张 7 2),则 岫=6?-2 0 f 3 +6 r=2 r(3 产 一 1)(产-3)0 ,恒成立，所以/(/)在1,上是减函数，则 以友)轰飒f)(p(1),即2 领步7,所以不等式(*)有解，设解为占领k因 止 匕 一?领 k?占=J Z址.当0
32、r l 时，/(-I)-h(-l)=3?+4/-2 产 一 4 f -1,设%)=3 +4 尸-2/-4 7-1 ,则 叭f)=1 2 尸+1 2,=-4 =4=+1)(3*1),令 M(r)=O,得 f =3,3当飞(0,亭)时，/(r)0,M)是增函数，v(0)=-1 ,v(1)=0 ,则当 0 v f v 1 时，v(r)0 ,则/(_ l)i(_ l)v0,因此-1 史(北),因为。,k-夜,V 2 ,所以-叫,收+1 将，当-也 6.【解答】解：(I )当。=。=一3 时，f(x)=(x)+3x2-3x-3)e-x,故 广(x)=-(x3+3 9 -3 x-3)e+(3 x2+6 x
33、-3)e-=(V _9x)=_x(x_ 3)(x+3)-*当x -3 或0 x 0;当-3 x 3 时，r(x)0 .从而/(x)在(-oo,-3),(0,3)单调增加，在(-3,0),(3,yo)单调减少；(I I )f x)=-(x3+3x2+a x +h)ex+(3 x2+6 x +a)ex=-e lx3+(a-6)x +b-a.由条件得：f(2)=0,即 23 +2(a-6)+-a =0 ,故 6 =4 a,从而 f x)e +(Q 6)x +4 2a.因为r(a)=r(0 =0,所以 x3+(a -6)x +4 -2a =(x -2)(x-a)(x-13)=x-2)(x2-(a +f
34、J)x+a0).将右边展开，与左边比较系数得，a+j3=-2,a/3=a-2.故尸-a =yj(j3+a)2-4a/3=12-4a.,又(7 一2)(a-2)0,即必一2(a +4)+4 0 .由此可得a 6.例 1 8.已知函数,f(x)=g a e -x?-a r,a&R .(1)当a =l 时,求函数g(x)=/。)+丁的单调区间；4(2)当0 a-j ，时，函数/(X)有两个极值点X ,x2(x,2.e 1【解答】(1)解：当。=1 时，f(x)=e2 r-x2-x,g(X)=fx)+-x，g(x)=e2-1 ,令 g，(x)0,可得 x 0,令 g，(x)0,可得 x 0,所以g(x
35、)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(r o,0).(2)证明：函数/(x)=Le -ax 的定义域为 R,f x)=ae2x-2x-a,令 h(x)=f x)=ae2x-2x-a,因为函数/(X)有两个极值点%,%2(%0,可得令（x）0,可得2 a 2 a所以力（幻在（-O 0,L/）上单调递减，在（1/!，+8）上单调递增，2 a 2 a所以王 ln,2 a 2 a41 1 1 -1由 ，可得一加一 一/-0 ,/-1 2 a 2 4因为瓜0）=0,所以须=0,所以要证W-须 2,即证工2 2,只需证力（2）0 ,4因为0 a F，e4-l4所 以%（2）=ae4-4-a =a（
36、e4-l）-4 -（e4-l）-4 2,得证.题型七：零点问题之三角函数例1 9.已知函数/（x）=si n x-/（1+x）,八工）为 了（%）的导数.证明：（1）r（x）在区间（-i）存在唯一极大值点；（2）“X）有且仅有2个零点.【解答】证明：（1）f（x）的定义域为（-1,0）,.1（x）=co s x-J-，f（x）=-si n X +1,21 4-X （1 4-X）127T令 g（x）=-si n x +-,则 gr（x）=-c osx-r 0在（一1,一）恒成立，（1+x）（1 +x）2.（x）在（-1，9上为减函数，又/（马=-1 +!-i +i =o,由零点存在定理可知，2（
37、1+铲函数/“（x）在（-1段）上存在唯一的零点看,结合单调性可得，/（幻 在 上 单 调 递 增,在（,）上单调递减，可得r（x）在区间（-1 e）存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当xw（i,o）时，尸。）单调递增，r（x）r（o）=o,/（幻单调递增；由于尸（x）在（%,&）上单调递减，且广*0）0,/（）=-ru1）=o,幻单调递增；当了金（大,时，r（x）单调递减，r（x）r（X ）=o,7 单调递减.当工（石，4）时，c osx 0 ,-0,于是r（x）=c osx-1一加（1 +甘）=1一妨2.6 1 历6 =。，f （兀）=一 加（1 +%）-/M3 0.于是可得下表：X(-
38、1,(）0(0,X)X1a，二-)巴/271r)f(x-0+0一/(X)单调递减0单调递增大于。单调递减大于0调递减小于0结合单调性可知，函数/（X）在（T,上有且只有一个零点0,由函数零点存在性定理可知，/（x）在 弓，）上有且只有一个零点七,当 x +8）时,si n天，1 ln（l+x）,则 f（x）=si n x-ln（+%）v 0恒成立,因此函数/。）在 国，+8）上无零点.综上，/（外有且仅有2个零点.例 2 0.已知函数/（x）=/t r-x +2si n x,证明：（1）“X）在区间（0,万）存在唯一极大值点；（2）/（幻有且仅有2个零点.【解答】证明：（1）函数/（x）=/m
39、x+2si n x,x（0，f x）=-1 +2c os x，x令g（x）=-l +2c osx，XG（0,-），Xg，(x)=-士 -2sin X 0时，g(x)+oo,而 g(工)=2-1 0,即 f x)0,函数 f(x)单调递增；当入(玉，万)时，g(x)0,即 ff(x)/(y)=/y-y +2=y+y 0 又,当 x 0时，/(x)-oo；/(4)=历一%0,.在区间(0,%)内存在一个零点，在区间(%,T)上存在一个零点，当 x (肛+oo)时，设 h(x)=lnx-x,则 h x)=-1 =-0，X X/2(x)在(应+00)上单调递减，/.h(x)h(7T)=ln7C -7T
40、 0,当上(万,2万)时，sinxvO,.当工(4,2万)时，/(x)0,无零点，X(2,北)O)时，h(x)h(27r)=ln(2/r)-2TI Ine3-2r -2,又 一 2款tsinx 2,.,.当 x(2;r,+x)时，/(x)0,无零点，/.当 时，f(x)=lnx-x+2sinx0，.二 函数/(x)在区间(,-K O)内无零点，/.函数/(%)有且仅有2 个零点.例 2 1.已知函数/(x)=s in x-e i,求证：(1)F(X)在区间(o,g 存在唯一极大值点；(2)f(x)在(0,E)上有且仅有2 个零点.【解答】证明：(1)因为f(x)=s in x-e i,所以尸(
41、x)=c o s x-e-,设 g(x)=x)，则 g(x)=-s in x-e 2，则当 xe(O,今 时，g(x)0,/,(-)=-e2 20 ；当 x e(c,g 时，f x)0 ,所以/(x)在(0 0)内递增，在(a e)上递减，故/(%)在(0,y)上存在唯一极大值点.(2)因为/(x)=si n x-e*-2,所以/(x)=c osx-e*”,设 g(x)=r(x),贝(g，(x)=-si n x-e*”，则当x e(0,;r)时，g，(x)0,所以 g(x)在(0,乃)内单调递减.由(1)知，f(x)在(0,a)内递增，在(a,)内递减，又/(0)=-e-2 0，所以/()/(
42、1)0,又f(x)的图象连续不断，所以存在玉e(0,a),使得/.)=0；当x e 弓 内时，r(x)0 ,f(x)在 弓 内 递减，又因为/=-0,且/(x)的图象连续不断，所以存在/e g/),使得/(毛)=。；当 3,+oo)时,ex2 1,si n A;,1,所以/(x)v O,从而 f(x)在(肛+0 0)上没有零点,综上，/*)有且仅有两个零点.例 2 2.已知函数/(XQCOSX+L?一 14(1)证明：/(x)0,X G -p (2)判断y =/(x)的零点个数，并给出证明过程.【解答】解：(1)证明：因为/(X)=C O S X +%2+1 ,X G-,y ,所以为偶函数，不
43、妨设 g(%)=COSX +；x 2+1 ,X G 0 ,g,所以 g(x)=_s in x +g x,X G-,y ,所以 g(x)=-co s x+f当了 0,0)时，g(x)v o,当 g 时，g(x)v。，即函数g(x)在 0,为减函数，在，为增函数，又g，(o)=o,g，(g=?_ i 0,4即函数y =/(x)在 3 ,+8)无零点，当X G(,3)时，fx=-co s x +；0,即函数尸(x)=s in x +gx为增函数，又/(马=；_ 1 0,即存在与使得r(x 0)=0,T T即当一v x v 4时,f x)0 ,当天)v x 0 ,即函数f(x)在 彳，X。)为减函数，
44、在(%,3)为增函数，T T T T?S又/=1 0,2 1 6 4即函数f(x)在 弓，3)只有1 个零点，又函数y =/(x)在 R 为偶函数,综合可得：函数在-3,-生)有1个零点，在(Y O,-3)无零点，在-&,0)无零点，2 2故函数/(%)在R上有3个零点.题型八：零点问题之取点技巧例23.(2022.黑龙江双鸭山一中高二 期 末(理)已知函数 x)=orlnx(1)当 =1,求函数“X)的单调区间；(2)若g(x)=r(x)+x-(/+a)有且只有一个零点，求实数。的取值范围.【答案】(1)单调递减区间为(0，单调递增区间为&，+)；(2)-10(0,4).【分析】(1)求导函
45、数f(x),结合定义域由f(x)0得单调递增区间；(2)求得g(x)=alnx+x-q2,xe(0,+oo),分a0,a=0,a 0时，g(x)单调递增，由零点存在性定理可作出判断；当。=0时，可直接代入判断；当。0时，g(x)有最小值g(-)=a ln(-a)-l-,再分。=一1,一1。0,。0),则1(x)=lnx+l.由 f(x)0得0 x0得x Le e所以，函数/(x)单调递减区间为(0,J),单调递增区间为(2)依题意得g(x)=a ln x+x-/,xe(0,+oo),gf(x)=-+l 当a 0时，g(x)0恒成立，g(x)单调递增，g(e)=e 0,取且,则 g(Z?)=ln
46、b+力 一/ainh0,所以，存在唯一x0e(O,+8),使g(W =0,符合题意；当a=0时，g(x)=x,xe(0,+oo),.g(x)无零点,与题意不符;当avO时,由 g(x)=O得x=-a,当xe(O,-a),g，(x)0,g(x)单调递增.所以8(司5=8(-a)=aln(-a)-l-a.(i)当。二 一1时，g(-67)=O,有唯一零点飞=1,符合题意.(ii)当aw(-l,O)时,令p(x)=ln(-力一1 一x,xe(-l,0),则”(x)=g-l=9 0,所以p(x)在(1,0)单调递减，由 P(T)=O，所以P(x)0,所以g(x)无零点，与题意不符.(iii)当a G(
47、-o。,-1)时，显然g(x)1 1 11 n =g(-a)0,又0 e v l o,*1 e(e,-4),使 g(%)=0；/j(x)=e2 -3X2(X 1),则 h(x)=2e2x-6x,令 m(x)=h(x)=2 e2 -6x(x l),则加(x)=4 e2 1-6 4 e2-6 0 ,所以函数巩x)即方(x)在 单 调 递 增，从而h(x)=2 e2-6 0,所以/i(x)在(1,位)单调递增，又 a l,g(e-2a)=e-2a-3a2=h(-a)/(1)=e2-3 0 ,.叫 e(F,e 0),使得g(w)=O,.g(x)有 2 个零点,与题意不符.综上，实数。的取值范围是-1
48、=(0,y).【点睛】关键点点睛：第(2)问在讨论a 0 时，X W1-8,)时，0,.f(x)单调递增，xe(g,+o o)时，/x)0,“X)单调递增；综上，当 0 时，“X)单调递增区间为,8,；),/(X)单调递减区间为(g,+00);当 0 时，X)单调递增区间为付,+,“X)单调递减区间为,00,；(2)由题意可求得，3 33)+2=(2 润-町 ex e，因为x=2 是函数g(x)在(0,+?)上的唯一的极值点，所以e,-o r =0 在x 0,母)内无变号根或无根.设#(x)=e*-o r,则 d(x)=e*-a,当a 4 1 且“H O 时，xe(0,+o o),(p x)=
49、ex-a 0 ,所以夕(x)在(0,+?)上单调递增,9(0)=1 0,符合条件.当。1 时，令9(x)=e*-a =0 得x=l na,xe(O,l na),(p(x)=ex-a (x)=e*-a 0,(x)递增.所以9(工而=9(l na)=a-“l na N0,g J 1 a 0,则(x)=l nx-a,所以/(可入,+2x-l .e x 7因为2工-1 0,0,所以(力 0,因此力在(1,+?)上单调递增.(ii)当 xw(O,l)时，lnx1,0 c x ,BP-l,又 2 x-l l,X X/2x 所以 (x)=e-2*+2x-l/z(l)=-e2-,因为函数(x)=|lnx|-：
50、/(x)-a +l 有两个不同的零点，所以网1)=一/一。-e 且。W 0,而当且。0 时,当 x G(l,4-oo)时，(x)=In x tz In X +l lnx 1 6f,故力(x)在(idM)内有1 个零点；当 x e(0,1)时，/z(x)=-In x-a -n x-(e +a j -ln x-1-a ,故M x)在卜 )内有1 个零点；所以当a-e-2且a W0时，人(可有两个零点，故的取值范围为(4,0 川(。,+0 时由/心)的符号研究/(x)单调性,进而根据极值与0 的关系，结合零点存在性定理，即可知/(x)的零点个数：(2)由题设，若尸(x)=f(x)-g(x)e=e*-