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1、专题07不等式恒成立问题【方法技巧与总结】1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.2.利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：(1)V xe D,/n /(x)wf(x)mf(x)n m；(3)玉
2、e。，加/(力2；(4)玉e。，1 r tl i.3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数 y=/(x),xea,b,y=g(x),xe c,J .若 也 w a,0 ,有/(3)g(动 成 立,则/(x)2 g(x)1 r tn；(2)若v为w a,可,3 x,e c,J ,有/(与卜8优)成立，则 了(力皿 g(x)1 m x;(3)若 肛 。,可,叫e c,d ,有/6)0,/(x)和 g(x)在(YO,A)与(A”)上可导，且 g (x)H。；f(x(3)111117=/,g(x)/(x)f(x)那么 l i m-=l i m j =/。E g(x)工 T8 g
3、(x)法 则3若 函 数/(X)和g(x)满足下列条件：(l)lim/(x)=oo及limg(x)=oo；x-x a 在 点a的去心邻域(a-a)=(a,a+)内，/(x)与g(x)可 导 且g x)*0；(即空=x-ag(x)那么 lim=lim=/g(x)f g(x)注 意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意:(1)将上面公式 中 的x f a,1一母/一 8,X f /，X /洛必达法则也成 立。(2)洛必达法则可处理O-oo,f,8 ,0,8-8型。(3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足蓝，?，08,10，00，0，8-8型 定 式，否则滥用洛必达法则
4、会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。lim/舁=lim g 4 =l i m g 2,如满足条件，可继续使用洛必达法则。【题型归纳目录】题 型 一：直接法题 型 二：端点恒成立题 型 三：端点不成立题 型 四：分离参数之全分离，半 分离，换元分离题 型 五：洛必达法则题 型 六：同构法题 型 七：必要性探路题 型 八：max,min函数问题题 型 九：构造函数技巧题 型十：双变量最值问题【典例例题】题型一：直接法例 1.已知函数，(处=出%-2+(2 a-l)x,(a.O)
5、.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若 x),0,求。的取值范围.【解答】解：(1)/(x)，-2 x+(2 a -1)=-2(%-1*-J _(2x 1)。三),X X X a =0 时，r(x)0 时，由广(x)0,解得：x 0 ,解得：0 x a ,故f(x)在(0,a)单调递增，在(a,”)单调递减；(2)由(1)可得，当a =0 时，/(x)在(0,+o o)单调递减，f(x)=-x2-x 0 时，/(幻在(0,a)单调递增，在(a,内)单调递减，f(x)lliax=f(a)=alna-cr+(2a-1)=alna+a-a=alna+a -1),令 g (a)=I na+a -1,a
6、 0 易知函数g (a)在(0,+o o)单调递增，又 g(1)=0,.当 0 1 时，g(a)0,即一。),皿 0,不满足题意，综上所述的取值范围为 0,1 .例 2.已知函数/(x)=a2/wx-x2+o r .(1)讨论/(x)的单调性：(2)若 f(x),0,求 的取值范围.【解 答】解：(1)/(x)=a2lnx-x2+ax,定 义域为(0,+0 时，xe(0,a),fx 0 ；xe(a,+o o),f(x)0；XG(-,+0 0),f(x)0 时，f(x),3=f(a)=crlnii-a1+a2=a2lrui 0,解得()自,1 ：2。当 a=0 时，/(x)=-x 2,0,在(0
7、,)上恒成立；3。当 a 0 时，f (初四=/()=叫)=/加(一乡一 手,0，即加(-4,-,解得-2e,a 0,故 r(x).O,f(x)递增，当a 0 时，令r(x)0,解得：xln2a,令 fx)0.解得：x故/(x)在(Y)1 2 4)递减，在(/2q,+oo)递增；(2)f(x).O,即(e，)2+(l-4a)e、-2ax.O,a=0 时，f(x)=(e)2+e递增，f(x)0 恒成立，a 0 时，=fln2a)=(2a)2+(1-4a)2a-2aln2a.0,故 1-2。-/”2a.(),令g(a)=-2a-lri2 a,g(a)=-2-0,a故 g(a)递减，又 g(g)=O
8、,l!lk 0 。和r a)1,令/(x)=0 n x i=1,=lna,讨论le a v e 的情况即可求出.(1)2当a=时，f(x)=(x-2)ex-+x+2,=,令广(x)0 n x l,0 n 0 x 01.xe(0,l)时：/(x)0 J(x)单调递减n/(x)l时:令尸(x)=0=x=1,)=lna,若 l a ，令/(x)0=0 x l,/,(x)ln fl x-2【分析】(1)根据/(x)=a l n x+/zx,求得/。)=g +人，再根据/(%)=a l n x+b x(a,Z?R)在xX =g处取得极值，求得。，的关系，然后由曲线y=/(x)在点(1,1)处的切线与直线
9、x-y+l =O垂直求解.(2)将不等式F(x)4(机-2)x-恒成立，转化为I n x4/M(x-L)恒成立，由x=l时,X X恒成立；当x l时，机2里恒成立，令力(x)=普，求得其最大值即可.x-l x2-l(1)解：=f(x)=anx+bx,-f(x)=卜 b;x函数/(x)=l n x+Z?x(o,Z?e R)在五=；处取得极值，/(；)=2。+8=0；乂.曲线y=/(尤)在点(1,/)处的切线与直线“-y+i =o垂直，f(l)=a+b=-l；解得：a=i,b=-2；(2)m M J不等式/(X)(m-2)x-恒成立可化为I n x 4 优,x xH J nx m(x-)；x当I时
10、，恒成立；当0时，於若恒成立,令 h(x)=xl n x则。)=(l n x+l)(，x2-一)-2x-xnxT_ x2-x2 nx-nx-U2-1)2m(x)=x2-x2 l n x-l n x-1 ,m i “、c c i I x2-2x2 l n x-1则a(x)=2x-2xlnx-x=-x x令H(X)=x2-2x2 l n x-1,则 n*(x)=2 x 4 xl n x-2 x=-4 xl n x0 ；得(x)=/-2 x2l n x-l 在(L+o)是减函数，故”(x)几=0 ,进而M(x)0(m x)=x-2xn x,m(x)=-21n尤 一 l+!0 ,x x得”(x)=x-
11、2 x ln x-4 在(1,”)是减函数，进而相(幻0).XYIn X可得：m(x).2例 6.(2022黑龙江模拟预测(理)已知函数/(x)=xlnx+丘-3%,求：(1)当=1时，求曲线f(x)在点(1，/)处的切线方程；(2)当x 3 时，总有求整数的最小值.【答案】(1)2 x-y-4 =0(2)-3【分析】(1)先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；(2)分离参数转化为函数的最值问题.(1)当&=1 时，/(x)=xlnx+x-3/(x)=In x+2.f(l)=2/(l)=-2 /(X)在点(1JW)处的切线方程为y+2=2(x-l)即2x-y-4 =0(2)由题意，由x)l
12、,即xlnx+fcc-3A1,BP(x-3)l-x ln x,-,1-xlnx又x3,：.k-恒成立.x-3.,、1-xlnx，/、31nx-x+2令g(止 K下寸令(x)=31nx-x+2,则 (x)=V(H亘成立.X.(九)在(3,4OO)上递减,vh(8)=3 1 n 8-6 0,f t(9)=3 1 n 9-7 )时，g (x)0,当 xe(x1),+8)时，g (x)g(x)m a*，a*e Z-:.k -3,即整数左的最小值为-3【点睛】方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。题型三：端点不成立例 7.(2 02 2辽宁大连高三月 考)已知函数/(x)=o
13、 re-(x+l)2 (其中“e R,e 为自然对数的底数).(1)讨论函数“X)的单调性；(2)当x 0 时，/(x)l n x-x2-x-3,求。的取值范围.【答案】(1)答案见解析；战+8)【分析】(1)计算,f(x)=(x+l 乂a e-2),分别讨论“V O、0 a 2 e 时，解不等式r(%)o 和r(%)0对x 0 恒成立，分离。可得al n；：-2,令g(x)=l n：厂2 0),利用导数求g(x)的最大值即可求解.(1)由 /(x)=a re*_(x+l)2 可得 =a(x+l)e -2(x+l)-2),当 K 0时，WvO,当x v 1 时，/(力 0；当尢 1 时，F(x
14、)v。,此时了(%)的单调递增区间为(-8,7)，单调递减区间为(-1,+8)2当 0 时，由/(x)=0得，X j =-1,x2=I n -,2若如 =-1,即a=2 e 时，N O 恒 成 立,故 外 力 在R上单调递增：a2若I n -2 e 时va由 r(x)。可得：xT；令/(x)vO 可得：l n-x 1,即 0 v a v 2 e 时,a由;(x)0可得：x v 1 或 x l n*；由/(x)0可得：-l x 2 e 时，“X)的单调递增区间为卜%I n 力 和(-1,+8),单调递减区间为:心 心当0 a nx-x2 一 工 一 3 可得 axex-nx-x+2 0 对 0，
15、恒成立,即 空l n x+x-2xex对任意的x 0 恒成立,令 g(x)=l n x+x-2x 0)则”f x e x+l”(l n i一 2)(川 庇 也)g(上-=令/i(x)=3-l n x-x,则/(x)=-g-l 0,(e)=2-e 0,g x)0,g(x)单调递增；当x%,+o o)时,/i(x)+X o=3,小领=6 3-&,X o e*0=e3,所以g(%)=飞肾24,故a的取值范围为(j,+8).例8.(2 02 2陕西安康高三期中(理)已知函数/(x)=a，i I n x a,a0.(1)若a=l,证明：f(x)*O；(2)若*)2 0恒成立，求a的取值范围.【答案】(1
16、)证明见解析(2)l,+o o)【分析】(1)由。=1,求出函数导数，利用导数求出函数的最小值即可证明；(2)先由/(力士0川得再利用导数求出函数的最小值，再根据/N x+1,不等式的性质证明最小值恒大于0即可求解.(1)当a =l 时，/(x)=et-|-l n x-1,fx)=ex -,x 0,易知y=/(x)在(o,m)单调递增，且/=o,所以0 xl时，f(x)1 时，f(x)0在(0,1)单调递减，(1,用)单调递增，.-./(x)/(l)=O.(2)V/W O,二 /N O,6 1 1 ,r(x)=a V-l,x 0,易知y=F(x)在(O,+8)单调递增，且/(1)=-1 2 0
17、,/L _.a2-a2-l x e 6，当时，f(x)O,实数。的取值范围是例9.(2 02 2江苏镇江高三期中)己知函数/(x)=l n x,g(x)=kx2-2x(k e R).(1)若y=/0)在x=l处的切线也是y=g(x)的切线，求上的值；(2)若xe(0,E),x)4 g(x)恒成立，求女的最小整数值.【答案】I(2)7【分析】(1)先用导数法求得y=/(x)在X=1处的切线，再根据y=/(x)在X=1处的切线也是y=g(的切线，将切线方程与y=g(x)联立，利用判别式法求解；(2)令(x)=g(x)-/(%)=丘2-2%-l n x,将x(0,+8),/(x)g(x)恒成立，转化
18、为Z*2 +华，对X(0,+8)恒成立，利用导数法求解.X x(1)因为函数/(x)=l n x,所以ra)=LX则r=ij=0,所以y =/(x)在x=l处的切线方程为y =x-i,f y =x-l ,由 ，c，得丘2-3X+1=0，y=KX-2x因为y =/(x)在x =i处的切线也是y =g(x)的切线,9所以A=9 软=0,解得女=一；4(2)令/i(x)=g(x)-/(X)=京2-2x-nx,因为X(0,+co),/(x)K g O)恒成立，所以我 2 2 +吗，对X(0,M)恒成立，X x令 烟=/竽则“=告J 21 7 2x,令厂(x)=l-21nx-2x,2则/(x)=_ t
19、_ 2 0,所以r(x)在(0,+功 上递减，X r(l)=-l 0,所以存在不(%1),有：5)=0,即“小)=0,因为夕(力在(0,改)递增，在(%，+/+e,x 2x e)2所以 O(x)0,可得g(x)在 R上递增,即一(X)在术上递增,因为(0)=0,所以当 0 时，fx)0：当x 0 时，f(x)0 时，可得a.2-恒成立，x-x3+x+-ex设 h(x)=2-,则x(2 x)ex+(%3 x 2)(2 x)e*+(x，x2)+(x2 x 2)(而 7=-1 ,1 )(2 X)，H x(x -2)+(x 2)(x +1)(2 x)(e*x x 1)=可设加(x)=-L f 一 工
20、一 1,可得加(x)=e 一 工 一 1 ,2设 k(x)=ex-x-1,kx)=ex,由%0,可得M x)0 恒成立，可得以x)在。”)递增，W(x)在(0,+8)递增，所以加(%)加(0)=0,即 W(x)0 恒成立，即 m(x)在(0,-F o o)递增，所以 m(x)z(0)=0 ,再令(x)=0,可得 x =2,当 0 v%v 2 时，/Z(x)0,/i(x)在(0,2)递增;7-e2%2 时，(幻 0 时，/(x)x4+ex,求。的取值范围.【解答】解：(1)当 =1时，/(x)=x4+x2+l,所以 fx)=4 x3+2x=2x(2x2+1),当x 0 时，/X x)0,函数单调
21、递增，当x 0 时，A x)0时,x,+f+m I)x+L,f+d 恒成立，即+(a l)x+L,怛成立，_ r2 _ 1所以a-L,，X令 g(x)=-，x0,X由重要不等式可知，当 0 时，exx+t贝 ij g,3 _(，-2x)x (e、-02 l时，g(x)0，g(x)单调递增，当O v x v l时，g(x)vO，g(x)单调递减,所以 g(尤).g(1)=e-2,所以 a-L,G-2 即 e-1 ,所以a 的范围为a14,e-l.例 1 2.已知函数 f(x)=ex-ax2-x-1.(I)当a=-l 时，讨论/*)的单调性；(I I)当x.O时，/(。1 犬 3_2奴2恒成立，求
22、实数。的取值范围.【解答】解：(/)当 a=l 时，f(x)=e+x2-x-1,则r(x)=e+2x-1在 R 上单调递增，又 r(o)=o，故当x 0 时，f(x)0,函数/(x)单调递增，当x 0,函数/(x)单调递减，所以/(x)在(0,+oo)上单调递增，在(fo,0)上单调递减；(/)当x=0 时，不等式/(.V 一2ar?恒成立，.-x3+x+-ex当x 0 时，由/(X).3 V-2 2 恒成立可得&.2-恒成立，X3+x +1-x令 g(x)=-、-，x 0,(2 -x)ex+x3-x -2 (2-x)(ex-x2-x -1)则 g (x)=-T-=-r-，x x令 m(x)=
23、ex-x1-x-1 贝 lj=ex-x-I ,2h(x)=ex-x-,x 0 ,贝 ij (x)=e 1 0 ,所以/z(x)在(0,转)上单调递增，/?(%)/?(0)=0 ,所以加(x)0 ,m(x)在(0,-F o o)上单调递增，m(x)tn(0)=0 ,所以当0 v x v 2 时，g (x)0,g(x)单调递增，当x 2 时，g (%)0,g(x)单调递减，“1-e2所以 g(x)*=g(2)=，7-e2所以4故。的取值范围为。|.7.-e幺2.题型五：洛必达法则例 13：已知函数/(%)=。山工+灰(。,/?夫)在=,处 取 得 极 值，且曲线y =/(x)在2点(1,7(D)处
24、的切线与直线X-y +1=0垂直.(1)求 实 数 的值；(2)若 Vx e l,+o o),不等式/(x)(加2)x 竺恒成立，求实数加的取值范围.X【解析】(1)：f(.x)=anx+hx,f(x)=-+b；x 函数/(%)=。111%+版(7,/?尺)在X =；处取得极值，二,/(3)=2 4 +/2 =0;又 .曲 线y=f(x)在 点(1,/(1)处 的 切 线 与 直 线 x y +l =0 垂 直，/l)=a 4-/?=1；解得：a=l,b=-2 rri rn(2)不等式/(x)(加-2)1-恒成立可化为I n x 4加x-,即l n x 1 时，*恒成立,人 7 /、xlnx
25、n I,z、令 h(x)=,则 h(x)x-1(l n x +l)(，x2-一l)-2x-xnx x2-x2l n x-l n x-l1)2U2-1)2人/、2 2 1 i i E I“、八 八 1 1 x2-2x2 I n x -1令相。)=-x l n x-l n x-1,则加(x)=2 x-2 x l n x-x=-x x令(x)=/-2 f l n x-1,则 nx)=2 x-x n x-2 x =-4 xI n JC 0 ；得 (幻=/一 2%2 1n x _ i 在(1,中功是减函 数,故 (x)=0,进而加(x)0(或m (x)=x-2 x l n x,/nn(x)=-2 1n
26、x-l +0 ,X X得加(x)=x-2 x l n x-,在(l,+o o)是减函数，进而加(x)().XrIn r可得：z(x)m(1)=0 ,故/?(x)1时，/(x)；x +1Y(2)设当x0时，/(%)-,求a的取值范围.a x+1解：(1)易证.(2)由题设尤2(),此时/(x)2 0.X X当。一，则 0,/(%)-不成立；a ax+l a r +1Y X当。之0时，当尤NO时.，/(x)-,K P l-e-r0,则1/、0.因此，(x)=e,2x 在(0，+8)上单调递增，且(0)=0,所以(x)0,即力(x)在(0，+8)上单调递增，且 力(0)=0,所以/i(x)0.因此g
27、”号泮幻 所以8(幻 在(,+8)上单调递增x ex-ex+x ex ex+X ex 1由洛必达法则有lim g(x)=lim上 二=lim-=lim=-,D go-x A ex+xex-1 22ex+xex 2即当x 0时，g(x)f g，即有g(x)；，所以综上所述，。的取值范围是2sin x例15.设函数/(x)=-.如果对任何x、o,都有/(x)W a c,求。的取值范2+cosx围.【解析】/&)=in”火,2+cosx若 x=0,则。R：sin x若x 0,则、W一 等价于2+cosxsinxx(2+cosx)即 g(x)sinxx(2+cosx)则 g(x)=2xcos x-2s
28、inx-sin xcos x+xX2(2+COSX)2记 h(x)=2%cos x-2sinx-sin xcos x+x,hx)=2cos x 2xsinx-2cos x-cos 2x+l=-2xsinx-cos2x+l=2 sin2 x-2xsinx=2sinx(sinx-x)因 此,当 了(。,乃)时，h x)0,/r)在(0,球上单调递减，且0)=0,故g a)o,所以g w在(。,万)上单调递减,/、sinx cosx 1而 hmg(x)=lim-=lim-=-.D x(2+cosx)a。2+cosx-xsinx 3、/、sinx 1 1 1另一方面，当 XW1,+8)时，g(X)=-
29、x(2+cos X)X 7 T 3,1因此 .3题型六：同构法例 1 6.已知函数/(x)=馥-/(x+2)+2 ,(1)若 f(x)在 x =0 处取得极值，求。的值及函数的单调区间.(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.若x).O 恒成立，求。的取值范围；若/(x)仅有两个零点，求a的取值范围.【解答】解：(1)函数 f(x)=a e /(x +2)+/a 2 ,则f(x)的定义域为(-2,+o o),且 r(x)=a e*-二，x+2因为f(x)在x =0处取得极值，所以/(0)=0，即_ 1 =0，解得a =1；2 2此时尸(x)=:e、-一二，所以
30、尸(x)在(-2,+0 0)上单调递增，则当一2 V x 0 时，f(x)0 时，f(x)0,则f(x)单调递增，所以/(x)的单调递减区间为(-2,0),单调递增区间为(0,+o o)；(2)若选：因为 f(x).0 恒成立，则 aex-lnx+2)+-2.0 恒成立，整理可得 ex+lna+x+lna.ln(x+2)+x+2 恒成立，即 ex+,a+x +lna.ln(x+2)+eM s+2)恒成立，令 h(x)=ex+x,则力(x +/a).6(/”(x +2)恒成立,因为/(=+1 0 恒成立,则(X)为单调递增函数，所以 X +I na.ln(x+2)恒成立，C|J I na.lnx
31、+2)-x 恒成立，令(px=lnx+2)-x ,x 0,则e(x)单调递增，当力 -1 时,(px)0 恒成立，则以幻为单调递增函数，所以x +加 a =/(+2),即加=加(工+2)%在(一2,+0 0)上有两个根，令奴x)=ln(x+2)-x,x v -2 ,则叭 x)=-1 =-A +1x+2 x+2当-2 v x v-l时；(px)0 ,则0(x)单调递增,当x -l时，夕 。)0,则夕(幻单调递减，所以0(x)在 =-1处取得极大值，即最大值0(-1)=1 ,要 想 痴=/(X +2)-工在(-2,4 0)上有两个根，只需I na 0 ,恒有(e+1)2 2 x+nx,求实数的最小
32、值 x)解 析 (e+l)2 2 K+nx oar(e。+1)N (x2+l)ln/x Jo(e +l)ln e (x2+l)ln x2,rI 1 1 1 X 令f(x)=a +l)ln%，则-a)=ln x +-，fx)=-=,x x x x易知(%)在(o,i)上单调递减，在(1,物)上单调递增，所以/“)1)=2 o,所以/a)在c o,T 8)单调递增.则卜 依 +l)ln e (x2+l)ln x2)/(/)=e 2/=a r 22 1 n x。2 n x-,x/2 1 n x /、2(1 -I n x)令g(x)=-,则g x)=-当xe,e)时，g (x)0,当x w(e,+o
33、o)时，g(x)0),若关于x的不等式/(x)0恒成立,求实数a的取值范围解析 f(x)=er-a ln(a r -a)+a 00 ev na(x-)-1 ex-ln a-na ln(x -1)-1ao ex-,n+x-lna e,n(v-1)+ln(x -1),令g(x)=e*+x,则g x)=e*+l 0,所以函数g(x)为R上的增函数.则原命题又等价于g(x-I n a)g(ln(x -1)x-na ln(x -1)o I n a v x -ln(x -1).由于x-ln(x 一 l)2 x-(x-2)=2,所以 Ina v 2,即得 O v av e?.例 19.对任意x 0,不等式僦
34、-In x+ln 2 0 恒成立，求实数的最小值解析 2ae 一 Inx+Ina 2 0O 2ae In 2xelv In(x 0)a a a 2r+In 2x 2 In+In I In (x a).设/(x)=x +l n x,则r(x)=l+J 0,所以函数/(x)在(0,”)上单调递增所以由f(2 r)/fln 1 ,得2 r e l n 土，即a 2 二-恒成立.V a)a eX 1 2x令 g(x)=F 7，则 g(x)=，e-e当 0 x 0,当 x e一，+8 时,g k)、=g =_ 1,所以实数”的最小值为-L.m ax I 2 J 2e 2e易得g(x)a =g，所以实数。
35、的最小值为112 J 2e 2e题型七：必要性探路例 20.是否存在正整数。，使得eax?x2 1nx对一切。恒成立?试求出a 的最大值.解:易知e*一之X21nx对一切。恒成立，当x=l 可得a W e,则a 仅可取1、2e*2下证a=2 时不等式恒成立，设 g(x)=rIn x,g(x)=X X(x-2)(ex-x)x3g(x)在(0,2)单调递减，(2,物)单调递增，g(x)g(2)=-(e2-4-4 1 n 2)0当a =2 时，不等式恒成立，所以a 最大为2.例 21.x 2/-n%+-,求 k 的最大整数值.x-2A“、x n x +x -2 3e2 百 八解:令/(%)=-,显然
36、Z 1=In 1-K P In x 3-x x x福1”x ln x+x所以/(%)=-x-2一土+xI x)x-2=4+江 4x-2例 22.求使得xe-2 x+k 0 在(),+0 成立，此时解得 0 即左=1 符合条件下证左=1时，xe 2 x+1 0 恒成立由 e 2 1 +x=xcx 2x+12 x(x+1)2x+1 0例23.(2019苏州三 模)已知函数/(x)=(x _ l)e-p,其 中 awR.(I)函数x)的图象能否与x 轴 相 切？若 能，求 出 实 数。，若不能，请说明理由；(II)求 最 大 的 整 数 a,使 得 对 任 意 为 e R,刍e(O,用)，不 等 式
37、/(4 +x2)-/(X j-x2)-2X2 恒成立.【解答】解：(I)/r(x)=xex-ax.假设函数/(幻的图象与x 轴相切于点(r,0),贝第*=,即 卜 学.廿 )=。te,-atO显然2 0,d=a 0,代入方程(“2 =0 中得，t2-2 t+2=0.=-4(5-工2)-(工 1 +W)O /(X +工2)+。1 +W)/(X -工 2)+(西 一 工 2)恒成立.设 g(x)=/(x)+x,则上式等价于 g&+x2)g(x-x2),要 使 g(x+超)以不一)对 任 意X】e R,x2 G(0,+OO)恒 成 立，即 使g(x)=(x-l)e-+X 在 R 上单调递增，/.gf
38、(x)=xex-a x+L.O R 上恒成立.g (1)=e a+l.O,则 a,e+1,.gx).O在/?上成立的必要条件是：4,e+1 .卜面证明：当a=3 时，xe*-3%+1.0恒成立.设 h(x)=ex-x-l,则 hx)=-1 ,当 x v 0 时，(x)0 时，hr(x)0,/.h(x)mjtl=0,即 X/xe R,ex.x+.那么，当尤.0时，xex.x2+x,xex-3x+Ifitt2-2x+1 =(x-1)2 0；当 xvO 时，e 0,xex-3x+L.O恒成立.x因此，的最大整数值为3.题型八：ma x,mi n 函数问题例 2 4.(2 0 2 2.云南师大附中高三
39、月考(文)已知函数f(x)=(x-l)/-g x 2 +l,g(x)=s i n x-o x,其中 a eR.(1)证明：当1 时，/W.0；当x l 时，幻 0,x 0,x =0 讨论即可得答案；(2)由题意，将尸(x).O 恒成立转化为当x 0 时，g(x)2 0 恒成立即可，对 g(x)求导得g，(x)=c o s x-a,分。勺 0、0 0 时，e -1 0 则/(*)0：当x 0,当x =0 时，/(0)=0,所以当xe R时，/V)0,/(x)在 R上是增函数，又/(0)=0,所以当x 2 0 时，/(x)/(0)=0；当x 0 时，/(x)0,又尸(x)=ma x (x),g(x
40、)2 f(x),所以当x 2 0 时，F(x)N O 恒成立，由于当x 0 时，幻 0 恒成立，所以尸(无)2 0 等价于:当x 0.g (x)=CO S K-.兀若 a W O ,当一 5Vx。时，0 c o s x 0,g(x)递增，此时g(、)g(O)=O,不合题意；若 0 。1,当 一 5工 0,g(x)递增,此时 g(x)v g(O)=O,不合题意;若,当x 0 时，由c o s x V l 知，对任意x g(0)=0,符合题意.综上可知：存在实数。满足题意，。的取值范围是1，+8).例 25.(2 0 2 2云南师大附中高三 月 考(理)已知函数，(x)=(x-2)ei-g x 2
41、+x+g,g(x)=a x-s i n x-l n(x+l),其中aeR.(1)证明：当1 时,/(x).0；当x l 时,/(%)l,x 0 两种情况讨论，结合g(x)x+i的单调性及零点存在性定理可得到满足题意的a【详解】(1)fx)=(x -l)ev-x+=(x-l)(eA-1),xeR,当x l 时，x-l 0,e i-l0,则/(x)0；当x v l 时，x-l 0,e*T _ l 0,当 x=i 时，r a)=o.所以当xe R时，f(x)在R上是增函数，又/(1)=0,所以当 QI时，/(x)*/(D =0；当x l 时，/(x)0,又 F(x)=ma x/(x),g(x)/(x
42、),所 以 当 时，F(x)N 0 恒成立.由于当时，/。)。恒成立，故尸(x)2 0 等价于：当时，g(x)2 0 恒成立.g (x)=a-c o s x-,x+lg (x)=s i n x+(x+l)2-当一l x 0时，-l sin x1,故g(x)0；(x+l)z当 Ow l 时，O W sinxcl,-z 0,故 g(x)0.(x+1)从而当T x 0,g(x)单调递增.若 g()V O,即 a W c o s l+g,则当 x e(-l,1)时，g(x)g WO,g(x)单调递减,故当xe(),1)时，g(x)cosl+,取匕e j1,-|,2I a+)则-1 -1 +0,且g(b
43、)=a-cosb-W a+1-)=0,当 x e(-l,x)时，g(x)0,g(x)单调递增.若x 0,则当xw(x0,0)时，g(x)单调递增，g(x)0,贝IJ当xe(0,/)时，g(x)单调递减，g(x)0的解集；(2)若a=l,证明：当x 0时，g(x)2；(3)用max?,”表示机，”中的最大值，设函数(x)=m ax(x),g(x),若 (x)2 0在(0,一)上恒成立，求实数”的取值范围.【答案】(1)/5)在R上是增函数，(3,*o)；(2)证明见解析；(3)e 4,+oo./【分析】(1)利用导数讨论y=/(x)的单调性，由/(3)=0,得到不等式/。)。的解集；(2)利用导
44、数讨论y=g(x)的单调性，求出最小值，即可证明；(3)先判断当XN3时，由/(X)2 0恒成立得到(X)2 0恒成立；再研究当x 3 时，x-3 0,e T _ i 0,二/(x)0,当x 3 时，x-3 0,e _ l 0,当 x=3 时,尸(x)=0,所以当x e R 时，f M 0,即/(x)在R 上是增函数；又f(3)=0,所以/*)0 的解集为(3,e).(2)g(x)=e*-sinx.由 x 0,得 e*l,sin xe-1,1,则g(x)=d 一 sin x 0,即g(x)在(0,x o)上为增函数.故 g(x)g(0)=2,g|J g(x)2.(3)由(1)知，当xN 3时，
45、.f(x)20恒成立，故0)2 0 恒成立；当x 3 时,f(x)0,得。N-.ex设函数*x)=-4,xe0,e令/(x)=0,得 x=g.随着x 变化，r（x）与 x）的变化情况如下表所示:XH)43即r(x)+0-心）/极大值所以*x）在网）上单调递增，在 后,3）上单调递减.心)在(0,3)上唯一的个极大值，即极大值栋卜拳故。考/综上所述，所求实数。的取值范围为拳 工+8 .7【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单
46、调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.题型九：构造函数技巧例 2 7.已知函数/(x)=/n r/x-1 ,m O.(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)若 g(x)=d _ 一X，且关于X的不等式/(x),g(x)在(0,+o o)上恒成立，其中e 是自e然对数的底数，求实数 7 的取值范围.【解答】解：(1)根据题意可知/(x)的定义域是(0,大 ),f(x)=m(/nx+l),令/(x)=0,解得：x =-,e当 n z 0 时，0 c x e-时，fx)-时，f (x)0 ,e e当机 0 时，0
47、 x 0,时，f(x)0 时，f(x)在(0,3 单调递减，在(1，+8)上单调递增，e e当/+40,故其必有2个零点，且 2个零点的积为一 1,则 2个零点一正一负，设其正零点为X(0,x o),则不 IWCQ 1 =0,即 tn=-,且 p(x)在(0,X()上单调递减，在(%,+8)上单调递增,1 2故(毛).0 即/H-(%-)IHXQ.0,%)/e则 qx)=1-(1+Xlnx-(1-=-(1+-)ln x，X X X当(0,1)时，(x)0,当 X(l,+oo)时，(x)0,则q(x)在(0,1)上单调递增，在(1,4W)上单调递减，又 q(L)=q(e)=0,故不 ,，e,e
48、e显然函数机=x0-,在L e上是关于x0的单调递增函数，%e则 in e，e ，e e故实数加的取值范围是己-e,e-R m O.e e例 2 8.已知关于x 的函数y=/(x),y=g(x)与(x)=Ax+仇攵，/?wR)在区间。上恒有/(%)廊(x)g(x).(1)f(x)=x2+2x,g(x)=-x2+2 x,D=(-oo,+oo),求力(%)的表达式；(2)若/(x)=f 一 x+l,g(x)=klnx,h(x)=k x-k ,D=(0,+oo),求人 的取值范围；(3)若/()=/一 2/,g(x)=4x2-8,h(x)=4(r3-t)x-3t4+2r2(0|r|夜)，D=m,n
49、0,0(x)单调递增，在(0,1)上，(x)v 0,e(x)单调递减，所以夕(x).0(1)=0,所以当/i(x)g(x).O 时，k.0,令 p(x)=/(x)-僦X)所以 p(x)=x2-x+l-(kx-k)=x2-(Z:+l)x+(l +f e).O ,得,当x =Z +L,0时，即 鼠-1时，/(x)在(0,依)上单调递增,所以 p(x)p(0)=1 +左.0 ,所以k =1,当k+1 0时，即人1时，,0,即伏+1)2-4伙+1),0,解得一1 鼠3,综上，k e 0,3 .(3)当啜k后 时，由g(x)/?(%),得4 x 8,4(Z1 t)x 3/4+2厂，整理得V-(-t)x+
50、#2厂 8“o ,(*)4令4=(r-1)2(3/2产-8),则=7-5/+3*+8，记夕(。=/-5-+3产+8(1期 夜)，则 p(t)=6 r -2 0/3+6/=2/(3 r2-l)(z2-3)0,恒成立，所以夕在口，上是减函数，则贝逝啜飒r)p(1),即2软切7,所以不等式(*)有解，设解为玉领k.，因 止 匕 一 t副v,X 1 =x2币.当0。当f w(0,中)时，M 0,出)是增函数，v(0)=1 v (1)=0 则当O v/v l时，v(0 0,则/X l)-M D v O,因此一1(见)，因为 tn,n c 5/2)V2 t 所以”-x/2+1 5/7,当-,r 0 时，因