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1、微风课件工作室微风课件工作室4.4.24.4.2 对数函数的概念、图象对数函数的概念、图象对数函数的概念、图象对数函数的概念、图象和性质（和性质（和性质（和性质（2 2 2 2）3复习回顾复习回顾对数函数的定义：一般地，函数y=logax(a0,且a1)叫做对数函数,其中x表示自变量,定义域是(0,+).图象图象定义域定义域值域值域性质性质(1,0)(1)过定点(1,0),即x=1,y=0(0,+)Rx=10a1xyoxyoy=logaxx=1(1,0)(2)增函数(2)减函数x1,y0;0 x1,y1,y0;0 x0.4例4 溶液酸碱度的测量.解：(1)根据对数的运算性质,有的浓度越大，溶液
2、的酸性就越强.所以，随着H+的增大，pH减小，即溶液中氢离子溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH=-lgH+,其中H+表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.(1)根据对数函数性质及上述pH值的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为H+=10-7摩尔/升，计算纯净水的PH.(2)当H+=10-7 时，pH=-lg10-7=7.故纯净水的pH是7.4.4.2 对数函数的图象和性质pH=-lgH+=lgH+-1=lg .在(0,+)上，随着H+的增大，减小，相应地lg 也减小，即pH减小.51.某地去年的GDP(国内生产总值)为30
3、00亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%.解：(1)y=3000(1+6.8%)x(0 x5);所以，约经过4年该地GDP能达到3900亿元人民币.即 1.068x=1.3.(2)令y=3900,(1)设经过x年达到年GDP为y亿元，试写出未来5年内，y关于x的函数解析式;4.(2)经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币？所以 x=log1.0681.3得 3900=30001.068x.(0y1)6定义域:0,+)值域：(0,1定义域:(0,1在4.2.1问题2中，习惯上用x表示自变量，y表示函数，故将四、反函数四、反函数值域：0,+)函数和函数互为反函数,它们的定义域与值域互
4、相对调.y=(x0)(0 x1)函数 (0y1)是函数y=(x0)的反函数.(0y1)中的x与y互换,得 (00,且a1)和对数函数y=logax(a0,且a1).xyo12345-1-2-3-4-3-2-112345-5-4y=axy=logax定义域:R值域:(0,+)(0,+)Ry=log2xy=2xy=xy=2x图象上任意点P(x,y)关于直线y=x的对称点P1(y,x)在y=log2x图象上.P(x,y)P1(y,x)微风课件工作室微风课件工作室8指数函数与对数函数性质的异同指数函数与对数函数性质的异同函数解析式函数解析式图象图象定义域定义域值域值域函数值的变化函数值的变化单调性单调
5、性指函与对函的联系指函与对函的联系y=logax(a0且a1)(0,1)y=1xyo0a1(1,0)x=1xyo0a1(0,+)R(0,+)R0a1时,x1.x=0,y=1.x0,0y1时,x0,0y0,y1.0a1时,0 x0.x=1,y=0.x1,y1时,0 x1,y1,y0.a1为增0a1为增0a1为减,y=2x图象与y=log2x图象关于直线y=x对称.9反函数的定义：对于函数y=f(x),如果把y作为自变量,x作为y的函数,那么x=f-1(y)叫做函数y=f(x)的反函数。习惯上用y表示函数,用x表示自变量.所以y=f(x)的反函数是y=f-1(x).函数与反函数的定义域和值域互相对
6、调.例5求下列函数的反函数：(1)y=4x-5;(3)y=22x-3(x3).y=(x+5)(xR).解：(1)由y=4x-5得x=,将x与y互换得所以函数y=4x-5的反函数为y=(x+5)(xR).(2)y=;(2)由y=得x=-,将x与y互换得y=-(x ).所以函数y=的反函数为y=-(x ).10解:(3)在函数y=22x-3 中,因为x 3,所以y 223-3=8.求反函数的步骤:一解、二换、三定义域 y=(log2x+3)(x8).由y=22x-3解得x=(log2y+3),将x与y互换得所以函数y=22x-3(x3)的反函数为y=(log2x+3)(x8).例5求下列函数的反函
7、数：(1)y=4x-5;(3)y=22x-3(x3).(2)y=;112.求下列函数的反函数：(2)在函数y=log3x中,因为x 9,所以y log39=2.所以函数y=log3x(x9)的反函数为y=3x(x2).由y=log3x得x=3y,将x与y互换得y=3x(x 2).(1)y=;(2)y=log3x(x9);(3)y=+2.解：(1)由y=得x=,将x与y互换得y=(x2).所以函数y=的反函数为y=(x2).(3)因为y=+22,由y=+2解得x=(y-2)2,将x与y互换得y=(x-2)2.所以函数y=+2的反函数为y=(x-2)2(x2).12所以函数f(x)的图象必经过点(
8、4,1),解：因为函数f(x)=loga(x-1)的反函数的图象经过点(1,4),故有loga(4-1)=1.所以 a=3.例6 已知函数f(x)loga(x-1)(a0且a1)的反函数的图象经过点(1,4)，求a的值.若函数y=f(x)的图象经过点(a,b)，则其反函数的图象经过点(b,a).反之也成立.13解得x=4.所以f-1(3)=4.已知反函数自变量的值，相当于知道原函数的值；求反函数的函数值，相当于求原函数自变量的值.3.已知函数y=f(x)=+1,求f-1(3)的值.解：当y=3时，即 +1=3时，4.求函数y=的值域.解：由y=解得x=,将x与y互换，得y=,函数y=的定义域为x|x ,所以函数y=的值域为y|y .14课堂总结课堂总结反函数的定义：对于函数y=f(x),如果把y作为自变量,x作为y的函数,那么x=f-1(y)叫做函数y=f(x)的反函数。习惯上用y表示函数,用x表示自变量.所以y=f(x)的反函数是y=f-1(x).函数与反函数的定义域和值域互相对调.求反函数的步骤:一解、二换、三定义域 1.课后思考题:求函数f(x)=loga(x2-6x+10)的定义域、值域和单调区间.2.完成课时跟踪训练.