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1、热点十九 立体几何大题【三年真题重温】1.1 201 1 新课标全国理，1 8如图，四棱锥尸一月8 8中，底 面 为 平 行 四 边 形，ZD A B =60,A B =2A D,P O _ L底面为B C D.(I )证明：PA A.B D-,/(I I)若P O =N。，求二面角力一08 C的余弦值.行 二 A D【解析】空间几何体重点考查空间线线、线面、面面的平行、垂直判定与性质，利用向量法和几何法求异面直线所成角、线面角、二面角问题，难度与大纲版要求变化不大.：I),/D A B=60：tA B=,由余弦定理得B D =&D./.B D-+AD:=.d B-,B DJ.4 D.又：尸。
2、J面.1 3 C D,/.BD LP D.二 8。J 平面 R丑？，P A-BD.H I)如图，以。为坐标原点，的长为单位长，射 线 为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-.q z,则z i i L O.O ,3 0寿,0,P|0r0rl ,P公 工|-L帚,P 3 =;0：VO1-1 .京=I-1 Q 9，/设平面2二的法向量为 =,则 卷=,-且=:会即.-二-舟=:，因此可取”一/T、_ -设平面p m c的法向量为i H,贝 小IH -_P3=2,可 r取m，=rn t 3 C =02.1 201 1 新课标全国文，1 8如图，四棱锥。一/8 co中，底面力BCD为平行四边形.Z U 8
3、 =6O,/8=2Z 0,P Z)，底面力8 8.(I )证明：P A工B D ；(I I)设求棱锥。一P 8 C的高.【解析】I因为二D A B=60c,T B =1A D,由余弦定理得B D=&D.从而3D：=a炉，故3D一ID,又尸。一底面.基C D,可得3。一尸所以32）一平面正山.故PA-B D.如图，作 DE _ F B,垂足为E.已知产D一底面一 1 3 8,则 勿_3C.由：1）知3D一 ，又 B C.i D,所以3C_BD.故8 C _平面尸应），B C-DE.则。E _平面产BC.由题设 知 刃=1，则=P B =2.根据D E-P B =P D B D,得 DE=.即棱锥
4、。一P 8 C的 高 为 手.3.2 0 1 0新课标全国理，1 8 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB C D,A C 1 B D,垂足为H,PH是四棱锥的高，E为A D中点.（1）证明：P E I BC（2）若NAPB=NADB=60,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值【解析】命题意图：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.以H为原点，H A H B M P分别为工；二轴，线段丹H的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则 川工0,0),3040)(I)设 C(w.0:0):P(0,0/
5、)(，?？7 0)则 D(0tw,0)t(l,0).可得 P E=(；f)乃 C=(，T 0).a )P E-5 c=-+o=o7 所以 P E-.BC.（n）由已知条件可得，?=-故 a-,0,0)(0:10):0),P(0.0:1)j j ，.6I n-H E =0.i，设，:=(工；x)为平面产EH的法向量则 _ _ _ 即；n-HP=0;|z=0因此可以取K (1,*S)由尸-d =(L 0：1),可得 卜。S(衣，：)卜 日，所以直线尸a与平面PEE所成角的正弦4.2 0 1 0新课标全国文，1 8 如图，已知四棱锥尸-4 8 C D的底面为等腰梯形，力8 C D,N C _ L 8
6、 D,垂足为，。”是四棱锥的高。(I)证明：平面尸N C _ L平面。8。;(I I)若 Z 8 =C,N4 PB=N/O B =60 ,求四棱锥尸4 8 C D 的体积。：1)因 为?H是四棱锥P-A 3 C O 的高.所以AC_?耳 又 AC_3D:?H:3D都在平?H D 内:且?H B D=H.所以R C 一平面？3 D.故平面?A C 平 面?3 D.6 分因 为 A 3CD为等腰梯形，A 5 二 C D：R C _ 31A3=兴所以 HA=HB=4 因为 N A?3=N A D R=6 ,所 以？A=?m=、/H D=H C=l.可得？三=拒.等腰梯形A B C D 的面积为S=A
7、 C x 3 D =2-#.9 分所以四棱锥的体积为=!x (2-V 3)x6=3-速 1;分二J5.2 0 1 2新课标全国理】(本小题满分1 2分)如图，直三棱柱N BC N G中，AC =B C =-AAt,产。是棱4 4的中点，DC,I BD(1)证明：DC.1 BC(2)求二面角4 6 O G的大小。答案：(1)详见解析(1)3 0：解析：在中,A D=A C得：Z.WC=45;同理：ZJQG=4-=一C D C：=90!得：DQ _ D C,D C._ 5。=DC 一面 B C D =D C,_ B C(2)/_BCCG _3 C =B C _面 ACC.LA=B C_ A C取一
8、士 5：的中点。，过点。作的于点H,连接GOGH,1 G =B C-=C,0 一 8：,面-&G -面 A,BD =C-,0-面-&F Z)OH _ B Dn C*_ B D得：点归与点Z)重合且二G Z)。是二面角A.-B D-C,的平面角设 XC=a,则 C0 =,C.D=72s =200=CDO=3 0：既二面角4 -B D-C；的大小为3 0考点定位：本大题主要以直三棱柱为几何背景考查线线垂直的判定和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解.突出考查空间想象能力和计算能力.6.2 0 1 2 新课标全国文】(本小题满分1 2分)4如图,三棱柱A B C -A 1 B
9、1 C 1 中，侧棱垂直底面，Z A C B=90,A C=B C=|AAI，D是棱A AI 1/;的中点N(I )证明：平 面 B D C 平 面 B D C D(I I)平面B D C i 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。解析：(1)由题设知 8 C_CG，B C-A C,c c -A C=c,所以sc 一平面A C g 又D C;平 面 acc：d,所以uq _ sq由 题 设 知 乙Z)G =z.WC=45:,所 以工C D C 1=9 0：,即DC.-DC,又DC-3C=C，所以Z)G 一平面B D C,又。q u平 面 B D C：,故平面B Z G 一平面5 DC(二)设棱
10、锥BAWCC的体积为q,ac=i.由题意得G =1 x i -i =A 又三棱柱.i 3 C-a w：G 的体积厂=1,所以(厂-Q：i；=i：i故平面3 D C；分此棱柱所得两部分体积的比为1 1考点定位：本大题主要以直三棱柱为几何背景考查面面垂直的判定和体积的求法.突出考查空间想冢能力和计算能力.【命题意图猜想】1.纵 观 201 1 年 和 201 0年高考对本热点的考查，均以四棱锥为背景，并且建立空间直角坐标系较为容易，在第一问中均考查线线垂直的证明，这种位置关系的证明已经连续三年进行了考查.理科考查了线面角和二面角，这两种角的考查有隔年考查的规律.两年的文科试题考查了体积问题.在2
11、0 1 2 年以三棱柱为背景，考查垂直关系的证明和二面角的求解，文科考查了面面垂直的证明和几何体的体积求解.猜想2 0 1 3 年很可能以棱锥或者球相关的组合体为背景,在建坐标系上不会太直观，考查线面平行位置关系，理科第二问可能给出某个角，考查点的位置或设置一问探索性问题，而文科第二问仍以求体积或表面积为主.2 .从近几年的高考试题来看，直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定是高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中等偏低；主要考查线面平行的判定，考查线线w 线面:面面的转化思想，并且考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力.预测 2 0 1 3 年仍将以线面平行的判定为
12、主要考查点，重点考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.3 .从近几年的高考试题来看，线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、线面角(理)等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高，客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查线面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容，同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力.预测2 0 1 3 年高考仍将以线面垂直、面面垂直、线面角为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力.4 .从近几年的理科高考试题来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等
13、，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角问题等，同时注重考查学生的空间想象能力、运算能力.预测2 0 1 3 年高考仍将以用向量证明平行与垂直，以及利用向量求空间角为主要考点，重点考查向量的数量积及学生的空间想象能力、运算能力等.【最新考纲解读】1 .点、直线、平面之间的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义.了解可以作为推理依据的公理和定理.(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.2 .空
14、间向量及其运算(理)(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.(4)理解直线的方向向量与平面的法向量定义.(5)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.(6)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一 些定理(包括三垂线定理).(7)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.【回归课本整合】1.直线与平面平行的判定和性质(1)判定：判
15、定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行.(2)性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.注意：在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与己知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.2.直线和平面垂直的判定和性质(1)判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直.(2)性质：如果条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内
16、所有直线都垂直.如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.3.平面与平面平行(1)判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行.注意：这里必须清晰“相交”这个条件.如果两个平面平行，那么在其中个平面内的所有直线与另一个平面无公共点，即这些直线都平行于另一个平面.(2)性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.注意：这个定理给出了判断两条直线平行的方法，注意一定是第三个平面与两个平行平面相交，其交线平行.4.两个平面垂直的判定和性质(1)判定：判定定理：如果个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.定义法：印证两个相交平面所成
17、的二面角为直二面角；注意：在证明两个平面垂直时，一般先从已知有的直线中寻找平面的垂线，若不存在这样的直线，则可以通过添加辅助线解决，而作辅助线应有理论依据；如果已知面面垂直，一般先用面面垂直的性质定理，即在一个平面内作交线的垂直，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.(2)性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.注意：性质定理中成立有两个条件：-是线在平面内，二是线垂直于交线，才能有线面垂直.立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：线线 线面 面面
18、判定 线，线 线 _ 1 面 面,面线线 一线1.面一面面5 .（S ）直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。当直线和平面垂直时，就说直线和平面所称的角为直角；当直线与平面平行或在平面内时，就说直线和平面所称的角为0 角.（2）范围：0 ,9 0 ；（3）求法：作出直线在平面上的射影，关键是找到异于斜足的一点在平面内的垂足，可根据面面垂直的性质定理来确定垂线。（4）最小角定理：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角是斜线与平面所成的角。6 .（8 ）二面角（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线
19、叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的大小是通过其平面角来度量的平面角，而二面角的平面角的三要素：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边与棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：定义法：直接在二面角的棱上取 一 点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；三垂线法：过其中一个面内一点作另个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的范围：0,万 ;7 （理）利用向量处理平行问题（1）证明线线平行，找出两条直线的方向向量，证明方向向量共线；（2
20、）证明线面平行的方法：证明直线的方向向量与平面内的某一向量是 共 线（平行）；证明直线的方向向量与平面的两个不共线向量是共线向量，即利用共面向量定理进行证明；证明直线的方向向量与该平面的法向量垂直.（3）平面与平面平行的证明方法：证明两个平面的法向量平行.8 （理）利用向量处理垂直问题（1）证明线线垂直，可证明两条线的方向向量的数量积为0；（2）证明线面垂直方法：根据线面垂直的判定定理利用向量证明直线与平面内的两条相交直线垂直；转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线.（3）证明面面垂直的方法：根据面面垂直的判定定理利用向量证明一个平面内的条直线方向向量为另一个平面的法向量；证明一个平面的法
21、向量与另一人平面平行；转化为证明这两个平面的法向量互相垂直.9 .（理）利用向量处理角度问题1.求异面直线所成的角的向量法：其基本步骤是（1）在 a、b上分别取彳瓦而；或者建立空间直角坐标系用坐标表示彳瓦丽;（2）由公式c o s。=1型电 I 确定异面直线a与 6 所成AB-CD角。的大小。2.求直线和平面所成的角的向量法：在 斜 线 上 取 一 方 向 向 量 并 求 出 平 面a的 个法向量n，若设斜线和平面所成的角为仇由sin 6=co s=lrr I.a-n3.求二面角的向量法：方 法（1）设3,而分别是平面民&的法向量，则向量和记的夹角与二面角&-/一夕的平面角相等或互补.方法（2
22、）二面角的棱/上确定两个点力、B ,过4、8分别在平面a、内求出与/垂直的向量*、元，则二面角a-/-尸的大小等于向量n-n2【方法技巧提炼】1.线线平行与垂直的证明证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）曲面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.2.线面平行与垂直的证明方
23、法线面平行与垂直位置关系的确定，也是高考考查的热点，在小题中考查关系的确定，在解答题考查证明细节.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.线面平行的证明思考途径：线线平行。线面平行=面面平行.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直O 线面垂直O 面面垂直.3.面面平行与垂直的
24、证明（1）面面平行的证明方法：反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；面面平行的判断定理；利用性质:垂直于同一一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；向量法：证明两个平面的法向量平行.（2）面面垂直的证明方法：定义法；面面垂直的判断定理；向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.4.探索性问题探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，
25、下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.5 .如何求线面角（1）利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径。（2）利用三棱锥的等体积，省去垂足在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键。确定垂足，是常规方法。可是如果垂足位置不好确定，此忖可以利用求点面距常用方法一-等体积法。从而不用确定垂足的位置,照样可以求出线面角。因为垂线段的长度实际就是点面距h!利用三棱锥的等体积，只需求出h,然后利用s i n。=h斜线段长进行求解。（4）秒用公式，直接得到线面角课 本 习 题 出
26、 现 过 这 个 公 式：c o s 6 =c o s q c o s%,如 图 所 示：Z A B C =6,Z A B O =,N O B C=2.其中仇为直线A B与平面所成的线面角。这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用。但是定要注意三个角的位置，不能张冠李戴。（5）万能方法，空间向量求解不用找角设A B是平面a的斜线，B 0是平面a的垂线，A B与平面a所 成 的 角/胡0 =9,向量彳方与的夹角=则 s i n6 =k o s|=J。H-w6 .如何求二面角（1）直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一 作（找）、二证、三计算.即先作（找）出表示二面角大小的平面角，并证明这个角就
27、是所求二面角的平面角，然后再计算这个角的大小.用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角，可从以下几个方面着手:利用三垂线定理（或三垂线定理的逆定理）确定平面角；利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角；利用定义确定平面角；S（2）射影面积法.利用射影面积公式c o s。=;此方法常用于无棱二面角大小的计算；对S于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等。法二：设 后 是 二 面 角a-/一的两个半平面的法向量，其方向一个指向内a侧，另一个指向外侧（同等异补），Y l则二面角a-l-B的平面角a =a r c c o s _1 2
28、.I n II n217 .如何建立适当的坐标系根据几何体本身的几何性质，恰当建立空间直角坐标系最为关键，如果坐标系引入的恰当，合理，即能够容易确定点的坐标，需要总结一些建系方法.常见建系方法：（1）借助三条两两相交且垂直的棱为坐标轴，如正方体，长方体等规则几何体，一般选择三条线为三个坐标轴，如图1、2；（2）借助面面垂直的性质定理建系，若题目中出现侧面和底面垂线的条件，一般利用此条件添加辅助线，确定z 轴，如图3；（3）借助棱锥的高线建系等.对于正极锥，利用定点在底面的射影为底面的中心，可确定z 轴,然后在底面确定互相垂直的直线分别为X,y 轴.如图4.8 .如何确定平面的法向量（1）首先观
29、察是否与存在于面垂直的法向量，若有可直接确定，若不存在，转化为待定系数法；（2）待定系数法：由于法向量没有规定长度，仅规定了方向，所以有个自由度，于是可把法向量的某个坐标设为1,再求另两个坐标。由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的两条相交向量，设-=（x,y,z）,由n a =0解方程组求得.n-b-09.向量为谋求解立体几何的探索性问题空间向量最合适于解决立体几何中探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往 往 把“是否存在”问题，转 化 为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解集更加简单、有效，应善于运用这一方
30、法解题.【考场经验分享】1 .在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2 .可以考虑向量的工具性作用，能用向量解决的尽可能应用向量解决，可使问题简化.3 .在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.4.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.5 .用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的条直线平行，即化归为证明线线平行，用向
31、量方法证直线。b,只需证明它们的方向向量满足。=劫（2 6 即即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.6 .利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角.因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同.【新题预测演练】第 一 部 分 理 科1.（广州市2 0 1 3 届高三3月毕业班综合测试试题（一）如图4,在三棱柱N 8 C -4 4 G中,A B C是边长为2的等边三角形，A A，平面/8 C,D,E分别是C ,4 8的中点.（1）求证：CE平面4/。；（2）若 为 4 8上的动点，当 由 与 平 面 4/8所成最大角的正切值为-时，2求 平 面 与 平
32、 面 4 8C所成二面角（锐角）的余弦值.解法一：(D证明：延长飞交HC的延长线于点F,连接B F.C D/A 4,且 CD=1。为 一#的中点.；E为 的 中 点，：.CE/BF.,/BF;平 面 斗8 2),Ct：.C E 平面 ABD.(二)解：曰4 _ 平面一宓c,/.1 4,-C E.,;一4分C E u 平面一 1 S C,5分V CE/B F,C E 一平面 3*5,.-E C是边长为:/.C E _ A B,C E：A B 二平面.43/.C E 一平面 a a s，二E H C为C H与 斗 C 上 二7 1，在 RSCEN 中，t z当EH最短时，t:.当 E H _ 一&
33、3 时,EH =-.的等边三角形，E是a s的中点，=咫.,L 二平1 面3 a 8,.1 3 1j j,=A,6分z面j1a B所成的角.7分L _ C E _#3 n j b H Q -,E H E Hn _E H C的值最大，则-E H C最大.8分一E H C最大.此时，t a n _E H C =-E H E H9分:.B F .平面 a a 310 分AB U 平面4平,.iB U 平面a.d B,BF _ AB 所以 DM =-，所以 B M:.UP=3:1.6 分在等腰直角三角形E 1 3中，PJ=J 3 =4.产5=4 0，所以5 X:X P =3:1,B N:S P =B
34、M：M D,所以M V PD.8分又 一U V=平面FDC,P D二平面P D C,所以W X 平面P D C.9分（Hi）因为z B*Q =ua c+N C a z）=903所以 D，分别以X瓦一犯 a尸为丫轴，）轴，二轴建立如图的空间直角坐标系，1 F所以 0”工 C（2 二0）,0（0：,0）,P（0:0,4）由（II）可知，丽=（4,一 及,0）为平面R 4 C的法向量.10分定=（二 忑 4），丽=（4儿-4）设平面PB C的一个法向量为，:=（x.x .r）,则 I 7-一PC =0，即|2X+2-7V-4-=0，万产5=0|4x-4r =0令二=3,则平面P B C的一个法向量为
35、n=（3/3）.12分设二面角 a-P C-6 的大小为6,005g =-|=j =叫|叫所以二面角A-PC-B余弦值为父.14分3.【江西师大附中、鹰潭一中2013届高三数学（理）四月联考】如图，在正三棱柱4 8。一N G中，AA、=2 AB,N是C Q的中点，儿f是线段4月上的动点（与端点不重合），且/=/U6（1）若；1 =1,求证:M?V_L441；2（2）若直线M N与平面A B N所成角的大小为6,求s i n。的最大值.解析：如图建立空间直角系.则5n.i 11,m,.5I1J10l.Vi l,11.1（0,os2）-（1分）当/=:时J/d。1），此时毋=）；益=3 0二）,（
36、3分）因 为 京.石=0,所以.6分）f 卜”AB=0设平面A3、的法向量 ：=（-）,则；,k-J V=0,x =0即 取，:=而|亍.1 -二=03Z=（1-ZS:1-2Z）.（?分）分）（11 分）当且仅当1 =二。，即时4，等号-成立.（1二分）z 4 54.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】（本小题满分12分）如图，三棱柱49C/181cl的 侧 棱 底 面Z8C,/C8=90 ,E是棱C G上动点,产是48 中点，AC=1,BC =2,441=4。（1）当E是棱C G中点时，求证：CA平面/81；（2）在 棱C G上是否存在点E,使得二面角AE B,8的 余 弦
37、值 是 必7,若存在，求C E的长，若不存在,17请说明理由。解析：(1)证明：取33.的中点G,联结三G,FG F、G分别是棱H3、.43.中点，:.FG BB1；FG=BB.又FG三0,C =-C G,5 G=C二四边形F G E C是平行四边形，C F E G.4。5;平面.=5.,E G二平面.一$.：.CF 平面 A I3.6,(2)解：以。为至标原点，射 线U C3,CC.为x;二轴正半轴，建立加图所示的空间直角坐标系C-甲 二则。(0,口，0),A(1,0 口)，3.(0 2.4)设EQ0/)(0W W4),平面延方:的法向量”：=J：,*/：.;UUU L I L 1 U ：/
38、则一四=(一1二=4)J=-LO.,”)；，.X_ _ _.由.13,一 正 y4-X+2X-+4J=0付 n-x+r TZ=0=.S 分CA _ 平面 C CB B.二5是平面三55.的法向量则平面三55一 的法向量”：=曰=0：0)分.二面角.J-S 3-S的平面角余弦值为独 二，172/1 n,”、2w贝II-=co s =,|:|:|/3 8-4)：+4解得 w=l(0w =三 W P A-P D.6 分C D P D=D,且CD、?Z)三面.BCDXT 一面尸DC.7分又XT二面尸a 3 面 工1 5 _面尸D C.8分(III)【解】：设PD的中点为 /，连结E ,J/F,则 E
39、M _ 产 由(II)知 E F 一面 P D C,E F-P D,P D 一面E KI,P D S I F,H I F是二面角B-P D-C的平面角.12分1c 1 1义fAFZ/中，E F =-P A=a E M =-C D =-a2 4 2 2而。产 分别为一扪那。的中点,.OF A B,又ABC D是正方形,依O F _AD.a;P A =P D =*.-i D,.-.P A_P D,O P =O A =、.以O为原点,直线O A;O F;O P为v：3：二 轴建立空间直线坐标系，则有 F gfo）,“一 ：60）,（0 令，5隼&0）,C（-&0）.E为产C的中点，.3分（I）证 明
40、:易知平面E-的法向量 为 存=电（0）而 乔=（1 0 且 赤 石=（0三0）.（：4一*=0,；.E F 平面上红）.6分（H）证明：*.可=（，0令，而=（0 4 0）.PJ C D=（:0:-）-（05as0）=0,.再 一 诟，从而 P A _C D,又 P A_P D,P D Y D =D,R d_平 面 如C,而2!二平面RTB,二平面PJB 一平面产D C.9分（III）【解 臬 由（H）知平面尸。C的法向量 为 可=（：03）.设平面 P B D 的法向量为匕=（x,i 二）.：D P =（三:0；4）=BD=（-q&0）,_ -X-O V Z=0.,.由,DP=0：，B D
41、 =0可 得，2 2，令x =l,则j =l：z =-l|-a-x-a-i),0iz =0故 心(L I T)co s =即二面角B-P D C的余弦值为 理，|.12分3所以二面角B-P D-C的正切值 为 史 .13分）6.【宁夏回族自治区石嘴山市2013届高三第一次模拟】如图，三棱柱N 8 C-4 8 c l的 侧 棱1底面Z B。，N 4 C 8 =90,E是棱C 上动点，F是 Z8 中点，A C=1,B C=2,AA-4（1）当E是棱C Q中点时，求证：C/7 平面/E g；（2）在棱C G上是否存在点E,使得二面角4-E q-8的余 弦 值 是 马 叵，若存在，求C E的长，若不存
42、在，17请说明理山。解：（1）证明：取X3.的中点G,联结三G,FG,:F、G分别是棱V3、=3：中点，:.FG BB.FG=-BB.1-y 1又 FG E C,E C =G,G=5C四 边 形 G5C是平行四边形，C F E G.4分 CF工平面 AE 3.,E G 二平面 AE 3.：.C F 平 AE B.6 分（2）解：以。为坐标原点，射 线U C 5,。为工二二轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C -单二则 C(0,0.0),A(1.0 0),3；(0.2,4).7分设(0,0,w)(0 m 4)平面上万:的法向量n=(x,.i:二)则 拓=(-L2.4)AE=(-1。，”)由
43、一13：_ J,.1E ；n-=(2 m.m-4.2).S 分CA _ 平面 C,CBB.己 是平面133.的法向量则平面33.的法向量工=0=(l:0r0)-1 0分.二面角 3-3的平面角余弦值为17解得 m=1(0?；?0),则 H(0,0,0)刀(0。，咽 Z(0s2t 0):P(2,0,0)U l t t l易知平面.IDE的一N i向量为一加=(2：0：0),.分-r u u r F,，！*P E =0设平面D E F的一个法向量为二=(三i :二)，贝ij r u i r a|-0故 一21X-r 21=0?n r =0-V-1=0,即：“21一花二=0-11 2依题意,u i
44、n r 4 co s =-SH令x =l,则 1=1：二=二，故二=(LL二)一普?iiLm i-1 二即-山=0时，平面C D E F与平面AD E所成的锐二面角为601.-14分【解法二：过 点A作 一:L -Z)E交D三于M点，连 结？V,则二N H 尸为二面角A-DE-F的平面角，-1-1-分-由 415/尸=6口：，A?=3F=2 得 A3.I=-一=，t an 60 3又一切一正=H/D E得 W=空 心：+.心,12分解得一山=W,即一切=0时，平面C D E F与平面AD E所成的锐二面角为605.14分8.【山东省淄博市2013届高三3月第一次模拟考试】在如图所示的几何体中，
45、四边形N 8 C D是菱形，AD NM是 矩 形,平面力平面A B C D,Z D A B =60s,AD =2,AM =,E 是 Z8 的中点.(I )求证：ZN/平面7T(II)在 线 段 上 是 否 存 在 点。，使二面角产一 E C-。的大小为二？若存在，求出6Z P的长a；若不存在，请说明理由.茹连设C.与反V交于F,：W W E F.三 三 知.M X AD B C,X=AD=BC,乒ZZ工-3 C W 最二行3刃形，F是又因先E是二口点.所以.W E F.3分因大E F二三面乂E C .AX工三面M E C,所以W V平面U E C .4分(II)箧没在线段./上存在点产.使二面
46、隹P-E C-D M大，.、完 三.6(解法一)延长D H、C E交亍点。，过a强.用_ E。于H,怎 受P H.W AD XM是矩序.三面A D X S I _L三面ABC D,以SL 1，三百ABC D,又E 0二三面ABC D,好以A J_ E Q,E Q -平面 P AH所以E 0 阳，-P H A丈二百龟P-E C-D二三百电三慈三一 P H a=：67分在 Ag d E 中，-IE=1,A O=2.QAE=121Z O =x/l：+-2X1X2COS120=#一“.4l s i n l 20=6,6厂以.必=-=-=J-EQ r又在RfAP AH 中,P HA=,6 以.IP=.d
47、 HHan 30,=%=工好以左冷段WT/上存在点产，低二面角尸-EC.(解法二)m三二力彩-1SC。是菱形，E是 三 口 卢-形，可得。E_as.又A DX M是矩形.三面A D X M J_三面A B C D,年以DV_L三面.158如图建立交W基定立标系。一9 z.5分工 以000),(V3；0:0),C(0f2t0),P巫-Hi).CE=(,-2.0),P=(0s-lt/I).7 分没二面产EC 的法闫至二：=(工；二).则 一CE-H.=0.斫以|P-M.=0.i J3x-2 y=0,|-j +版=0.y,10分=?=让-一 H kl 29 分11分所以在线段.4/上存在点尸，使二面
48、角 产-E C-D 的 大 小 为 此 时 a 产的长为9.【2013年安徽省马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测】在如图的多面体中，EF_L平面/8,A E L E B ,A D/EF,EF/B C,B C=2A D=4,EF=3,A E=B E=2,G 是BC 的中点.(I)求证：4 B/平面D E G；(I I)求证：3D 1 E G；(III)求二面角C-D 尸-E 的余弦值.【命题意图】本题考查线面位置关系、二面角等有关知识，考查空间想象能力，中等题.)(0,2,2),G(2,2,0)；EG=(2,2,0),B D=(-2,2,2),二 筋 局=-2x2+2x2=0,B D1 E G
49、.8 分解：I)证 明：3C,：.i D 3C t 又,/3C=1A D,G 是 3 c 的中点，/.i D 3 G,且 3=B G,二.四边形.i DG3是平行四边形，.D G.丫 X3二平面DEG,DG u平面 DEG,.3 平面 D E G.一 4 分:H)解 法 1：证 明：F _ 平 面.四，.正二平面AE3,E F-.-S：Ums-：=,3.二 平面 2CFE,二.二 _平 面 3C5.过 D 作D H 三 交 Z F 于 S ,则D H _ 平 面3CFE.：EG-平面 3CFE,二 D H _ E G./.4 D EFDH.二，四 边 形AE H D平 行 四 边 形，/.=3
50、G=2,又 E H 3 G.E H-3 E,二.四边形 3GHE 为正方形,3 -E G,又 B E A D R =K u平 面 3HD,把u平 面 站 D,.,克二平面3 W,/.3 D-EG.S分解 法:：二 Z F 一平面.正3,.正二平面.正3,平面.正3,F _.正，E F.3 E,又二 EgEREW 两两垂 直.以 点为坐标原点，E3：7.E.i分别为x,:二轴建立如图所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系.由 已 知 得，3/.EG _L平面 3HD.：III：，由已知得3=(2.0.01是 平 面 的 法 向 量 设平面DCF的 法 向 量 为=(x j.z i，,二 一:3：