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1、高考数学二轮复习考点解析15：圆锥曲线考点透析【考点聚焦】考 点 1：圆锥曲线的定义与标准方程的求法；考点2：离心率与准线方程；【考点小测】1.（天津 卷）如果双曲线的两个焦点分别为大（一 3,0）、鸟（3，0），一条渐近线方程为y=:，那么它的两条准线间的距离是（）A.6A/3 B.4 C.2 D.1解析：如果双曲线的两个焦点分别为（一 3,0）、鸟（3,0）,一条渐近线方程为y=CT+b2-9（2 2:b L ，解得I ,二，所以它的两条准线间的距离是2 3 =2,选 C.-=V2 =6 c.ax2 v22.（福建卷）已知双曲线 彳=1（。0,*0）的右焦点为R若过点尸且倾斜角为60。的a
2、 b直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.（1,2）B.（l,2）C.2,+8 D.（2,+8）2 2解析：双曲线 一多 =1（。0,6 0）的右焦点为F,若过点F 且倾斜角为60的直线与双a b曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率2,-a a2 2 i2百，离心率0 2=1=巴 孚-2 4,二 e2,选 Ca a3.（广东卷）已知双曲线3-V =9,则双曲线右支上的点尸到右焦点的距离与点尸到右准线的距离之比等于A.V2 B,C.2 D,43解析：依题意可知。=J5,c =7V=J J X?=2 J J,c 2V3、故选C.2 2
3、 2 24.（辽宁卷）曲 线 上 _ +上=1（加6）与 曲 线 上+上=1（5机9）的IO-7?6 m 5-m 9-m（A）焦距相等（B）离心率相等（C）焦点相同（D）准线相同V2 V2【解 析】由 一 一+二 一=1（唐6）知 该 方 程 表 示 焦 点 在 x轴 上 的 椭 圆，由10-/W 6-/7?厂+=1（5（根 9）知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A。5-m 9-m【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响。5.（全国卷I）双曲线a/+=1的虚轴长是实轴长的2倍，则加=A.-B.-4 C.4 D.-4 4解：
4、双 曲 线/n d+y 2=i的 虚 轴 长 是 实 轴 长 的2倍，m 0）,则 有 义-=J I且 幺-C =l,据此求出e=,选B28 .（四川卷）已知两定点/（一2,0）,6（1,0）,如果动点P满足归川=2|尸 玲 则 点。的轨迹所包围的图形的面积等于(A)71(B)4 z r(C)8(D)9 解：两定点4（-2,0）,6（1,0）,如果动点。满足|尸旬=2|尸用，设P点的坐标为（x,y）,J(X+2)2+/=4(X-1)2+/,即(x _ 2)2+y 2=4,所以点2的轨迹所包围的图形的面积等于4兀，选B.9 .（四川卷）直线y =x-3与抛物线/=4x交于48两点，过48两点向抛
5、物线的准线作垂线，垂足分别为P,。，则梯形Z P Q 8的面积为(A)4 8(B)5 6(C)6 4(D)7 2解析：直线y =x-3与抛物线V=4x交于48两点，过48两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为尸,0,联立方程组得,消元得一一1 0 X +9=0,解得 ，y =x-3 卜=-2和/一 ,|AP|=1 0,|BQ|=2,|P Q|=8,梯形Z P Q 8 的面积为 4 8,选 A.)=61 0.(上海卷)若曲线/=|川+1与直线y=履+6没有公共点，则左、力分别应满足的条件是 .解：作出函数y 2=|x|+l =的图象，-x+l,x 6 0),(H i jh-c =4(V 2-l),
6、解a b b-a 2/2a=b +c之得：o =4 V 2 ,Q c =4.则所求的椭圆的方程为三+广=1或匕=1 ,离心率3 2 1 6 1 6 3 2e =J；准线方程彳=8或y =8,两准线的距离为1 6.2x2 V2例2.(北京卷)椭圆%+r =1(。1 0)的两个焦点F|、F2,点P在椭圆C上，且P F 1a-b-4 14F1F2.,|P F1|=y,|P F2|=y.(I)求椭圆 C 的方程；(I D 若直线 L 过圆 x 2+y 2+4 x-2 y=0 的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。解法一：(I)因为点P在椭圆C上，所以2。=归 用+|尸 用=
7、6,a=3.在R t AP g 中，|片用=Ji*?-四)=2 亚,故椭圆的半焦距c=V 5,从而 b2=a-C2=4,r2 v2所以椭圆C的方程为-1 1.9 4（I I）设 4,8 的坐标分别为（不必）、（工 2 少 2）.由圆的方程为（X+2）2+（y 1）2=5,所以圆心 的 坐 标 为（-2,1）.从而可设直线/的方程为 产 碓+2）+1,代入椭圆C的方程得（4+9必）f+（3 6 必+1 8姆什3 6 然+3 6 左 一2 7=0.因为48 关于点M 对 称.所 以 血*=一”仁当=2.解得左=,2 4+9 左 2 9Q所以直线/的方程为_y =（x +2）+1,即 8x-925=
8、0.（经检验，符合题意）9解法二：（I）同解法一.（I I）已知圆的方程为G+2）2+什一 1 产 5,所以圆心的坐标为（-2,1）.设4,5的坐标分别为（为必），（切少2）.由题意修工必且2 2/+乂 一 19 4由一得（X|一 X 2）（X|+2）（乂 一%）（乂+y 2）=094因为4、8 关于点M对称，所以X I+Q=-4,丁 1+及=2,代入得及二匹=,即直线/的斜率为Xj-x2 9 9Q所以直线/的方程为y 1 =（x+2）,即 8x 9y+2 5=0.（经检验，所求直线方程符合题意.）【问题2】圆锥曲线的定义的问题.2 2例 3.（四川卷）如图，把椭圆工+匕=1 的长轴4 8 分
9、成8 等份，过每个分25 16点作X轴的垂线交椭圆的上半部分于乙，尸2，尸3，尸4，尸5，尸6，P 七个点，E 是椭圆的一个焦点，则山尸|+|尸2 尸|+|舄|+|尸4 尸|+区 川+区|+|舄 户 1=；2 2例 4.（江西卷）P是 双 曲 线 上 一 上=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）?+y 2=4 和9 16（x-5）?+y 2=i 上的点，则 I P M I -I P N I 的最大值为（）A.6 B.7 C.8 D.9解：设双曲线的两个焦点分别是F|(-5,0)与F 2 (5,0),则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F|三点共线以及P与N、F 2三点共线时所求的值
10、最大，此时|P M|一|P N|=(|P F i|-2)-(|P F2|-1)=10 1=9 故选 B【问题3】直线与圆锥曲线位置关系问题利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.例5.PUM例3例6.(浙江卷)，椭 圆 工+反=1 (a b 0)与过点A(2,0)B(0,l)的直线有且只有一个a2 b2公共点T,且椭圆的离心率e=a.(I)求椭圆方程；(H)设F 2分别为椭圆的左、右焦点,2M为线段AF I的中点，求证：Z AT M=Z AF,T.本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力
11、。X解：(D过点4、8的直线方程为二+y=l.2 -1因 为 由 题 意 得 02 f 有惟一解，即(/+:/_ “2/+a2_ a2b2=(J 有惟一解，所以 =/(/+4-4)=0(abQ),故 a2+4 Z)2-4 =0.又 因 为e =，即 二2=3,所以 =4/.2 才 41-从而得/=2,=上,故所求的椭圆方程为 +2/=1.2 2(I I)由(I)得 c =二,故片(一 ,0),玛S ,。),从而“(1+,0).卜2=1由 尸一；x+l 解得须=/=1,所 以7(1,).因为 12 114/7=逅 一1,又12 11/，4/=,，t anZTMF2=-1=,得2 2 62_ t
12、a n 4 TM=近-，=逅 一1,因此乙4 T M =1 +3 2V 6丫2例7.(福 建 卷)已知椭圆+少2 =1的左焦点为凡。为坐标原点。(I )求过点O、F,并且与椭圆的左准线/相切的圆的方程；(I I)设过点尸且不与坐标轴垂直交椭圆于/、8两点，线段A B的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析儿何的基本方法,考查运算能力和综合解题能力。解：(I)va1=2,b2=1,/.c=1,F(1,0),/:x=2.圆过点0、F,圆心M在直线x =-L上。2设”(-；,/),则圆半径13r=(-)-(-2)=-.由 =，得
13、 J(-g)2+=g,解得/=V I所求圆的方程为(x +g +(yV 2)2=；.(I I)设直线A B的方程为y=k(x+1)(左丰0),2代入 y+/=1,整理得(1+2 k2*+4 x +2-一 2 =0.直线A B过椭圆的左焦点F,.方程有两个不等实根。记 A(xt,乂),B(X2,%)，4 8 中点 N(x 0,y0),则 X +x2-4k22 k2+1AB的垂直平分线NG的方程为丁一比=-，(x-X o).令y=0,得k,2 k2 k2 k2 1 1G 2公+1 2 8+1 2 k2+1 2 4k2+2k H 0,XQ 0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等a1 h2于焦距，且x=4
14、为它的右准线。(I )、求椭圆的方程；(I I)、设。为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线I P,8 P分别与椭圆相交于异于48的点M、N,证明点8在以为直径的圆内。点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。2解：(I )依题意得a=2 c,生=4,解得。=2,C从而b=V 3 .2 2故椭圆的方程为 二+匕=1.4 3(I I)解法 1：由(I )得 A (-2,0),B (2,0).设 M(X”y0).3；M点在椭圆上，.wn-(4-x02).4又点M异于顶点A、B,：.-2 x0 0,则N M B P 为
15、锐角，从而N M B N 为钝角,故点B在以MN为直径的圆内。解法 2：由（I ）得 A （-2,0）,B （2,0）.设 M（x 刈），N （x2,小），则一2 V X/V 2,2X2=（x-2）,X +2%2而点两直线A P与B P的交点P在准线x=4上，.4=&,即1=3（-2）必 X +2 X 2 2 X）+22 2 a又点M在椭圆上，则号一+_=1,即必2=；（4一X；）71于是将、代入，化简后可得闻-_：悭 叫-=：（2 _玉）（0_2）60)的中心。为圆心，分别以。和 小为a b半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点厂(c,0)(c 6)作垂直于x 轴的直线交大圆于第一象限内的点力.连结
16、。4交小圆于点8.设直线8 尸是小圆的切线.(1)证明c 2=a b,并求直线8b 与y 轴 的 交 点 的 坐 标；(2)设直线8 尸交椭圆于尸、。两点，证 明 丽 丽=J b2.本小题主要考查椭圆的标准方程的几何性质、直线方程。平血向量、曲线和方程的关系等解析儿何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.满分14 分.证明：(I )由题设条件知，Rt OFA R t OB F故竺=，即 OA OF a c因此，/=ab在 放 OF A ,-少=b.因此，c2=ab.在Rf 0 E4 中,F A=y l OA2-OF2=y/a2-c2=b.于是，直线W的斜率心,=2.设直线8斤的斜率为左
17、，则左c这时，直线8厂与y轴的交点为M(0,a)(H)山(I ),得直线BF得方程为歹=丘+内 且 公=c2 _cib _ am由已知，设P(七,y)、。32,%)，则它们的坐标漫步方程组x2 y2-F=1/b2y kx+a由方程组消去y,并整理得利 +a2 H )x2+2a3 kx+a4-a2b2=Q由式、和,_ a4-c rb1 _ a2(a2-b2)_ a3b2X%=b2+a2k2=h2+a2 a=7 7 F0 1)由方程组消去X,并整理得(+a 2A2/2+2462+0 2/一/二=0由式和,凹外=*(1%2)b2+a2k2a2/。-，/(f/+一一2b综上,得 到 历 历 二%超+%
18、必a3 b2 a2b(b-d)7 7 F+a3+b3a2b37 7 7注意到/-a b +b?=/-c2+/=2，得京丽=/=上L=上=SX J(心 的a3+b3(a+b)-2b2 2(a+b)2(“+6)2(a+6)2=(a2-c2)=b22 2课后训练1.(安徽卷)若抛物线V=2px的焦点与椭圆E+=i的右焦点重合，则p的值为6 2A.-2 B.2 C.-4 D.4解：椭圆1 +4 =1的右焦点为(2,0),所以抛物线/=2*的焦点为(2,0),则p =4,6 2故选D o2 .(天津卷)椭圆的中心为点E(-1,0),它的一个焦点为夕(-3,0),相应于焦点厂的准线方程为x =_ Z，则这
19、个椭圆的方程是()2A.2(X-1)2/_1 B.至CC.史1%=1 D.回 位 +/=12 1 3 2 1 3 5 5解析：椭圆的中心为点E(l,0),它的一个焦点为尸(一3,0),二 半焦距c =2,相应于焦点F的准线方程为x=-l /=5力2=1,则这个椭圆的方程是空匚+/=1,选D.2 c 2 53 .(山东卷)设直线/：2 x +y+2 =0关 于 原 点 对 称 的 直 线 为 若/与椭圆x?+片=1的交4点为A、B、，点。为椭圆上的动点，则使A P Z 8的面积为0.5的点。的个数为(B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)44 .(江苏 卷)点P(-3,l)在椭圆片+仁=1(
20、“6 0)的左准线上.过点P且方向为。=(2,-5)的光a2 b2线,经直线了=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为(A)V 3 1 V 2 1(A)一 (B)-(C)(D)-3 3 2 25 .(重庆卷)已 知,卜 别，8是圆尺 卜 _1+/=4为圆心)上一动点，线 段 的 垂 直4平分线交BF于 P,则动点P的轨迹方程为X2+；/=1。6 .(江苏卷)已知三点P (5,2)、居(-6,0)、尸2(6,0).(I )求以片、尸2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；(I I)设点p、F,、尸2关于直线y=x的对称点分别为p、氏、尸2，求以片、F；为焦点且过点P的双曲线的标准方程。本小题
21、主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、儿何性质等基础知识和基本运算能力。解:(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为,2 2 7 +二7 =1 (a b 0),其半焦距 c=6a b2a=PFy|-PF21 =V 112+22+V l2+22=6 5 a-3后,b2=a-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为三+匕=14 5 9(2)点 P(5,2)、F(6,0)、F2(6,0)关于直线kx 的对称点分别为点P (2,5)、F(0,-6)、F2(0,6).X2 v2设所求双曲线的标准方程为-J =l(q 0,0)由题意知，半焦距5=64 h2%=|PX|+PF；=|V l l2+22-/l2+22
22、|=4 75q =2 右，b =c -a|2=3 6-2 0=1 6.所以所求双曲线的标准方程为 _ 仁=12 0 1 67.(全 国 卷 I)在平面直角坐标系X。中，有一个以片(0,-百)和 名(0,仆)为焦点、离心率为Y3的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P 在 C 上，C 在点P处的切线2与x、y轴的交点分别为A、B,且向量丽=方+无。求：(I )点 M的轨迹方程；(H )叫的最小值。2 2 a2 b2=3.解：椭圆方程可写为：J+p =1 式中a b 0，且|蛆声 得 a 2=4,b 2=l,所以曲线Cl a -2的方程为：x2+5=1 (x 0,y 0).y=2 /1 x2
23、(0 xl)y *=-f=叶 x设 P(x0,y o),因 P 在 C 上，有 O xo l,y 2)(H )|西2=x2+，=4+若，L 铲.两 卜*2-1+相 片+5 2 4+5=9.且当*2 17 41，即X=V1时,上式取等号.故|而|的最小值为3.8.(上海卷)在平面直角坐标系x o y中，直线/与抛物线_/=2 x相交于A、B两点.(1)求证：“如果直线/过点T(3,0),那么3 1-3 5 =3”是真命题：(2)写 出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.解(1)设过点T(3,0)的直线I交抛物线y2=2x于点A(xi,yi)、B(x2,y2).当直线/的斜
24、率不存在时，直 线/的 方 程 为x=3,此时，直线,与抛物线相交于点A(3,后)、B(3,-V6).：.OA O B=3；当直线I的钟率存在时，设直线I的方程为y=仪x-3),其中A,lxill yiy2=-6j =A(x-3)又,X=；疗,巧=打2?.%=4(必 乃)+必歹2=3，综上所述，命题“如果直线/过点T(3,0),那么历=3是真命题；(2)逆命题是：设直线/交抛物线y2=2x于A、B两点,如果方 砺=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.1 一 一.例如：取抛物线上的点A(2,2),B(-,l),此时。4O 6=3,直 线A B的方程为：2j =|(x+l),而T(3,
25、0)不在直线A B上；说明：由抛物线p=2x上的点A(xi,yi)、B(x2,y2)满足。/。8=3,可得丫m=-6,或y 2=2,如果刃丫2=6,可证得直线A B过点(3,0)；如果yiy2=2,可证得直线A B过点(一1,0),而不过点(3,0).9.(全国H)已知抛物线f=4 y的焦点为F,N、5是抛物线上的两动点，且 方=2无(x 0).过4、5两点分别作抛物线的切线，设其交点为(I)证 明 前”为定值；(I I)设N 8M的面积为S,写出5=偿)的表达式，并求S的最小值.解：(I)由已知条件，得网0,1),2 0.设题X”刈)，8(X2,).由泰声，即得(x”1y)=X2,y2-1)
26、，卜 _ 月=9 2-1)将 式 两 边 平 方 并 把%及=；必2代入得 y i=A2y2 解、式得乃=2,歹 2=彳A，且有声 2=JC=-4 7歹 2=4,抛物线方程为y=%2,求导得y，=$.所以过抛物线上小8 两点的切线方程分别是y=$i(xxi)+y i，y=1 r 2(x 2)+为，即 y=%i x gx/，=|x2x1 x22.x +x?xxo x+x?解出两条切线的交点Af 的坐标为(一2 ，7)=(2 一1).4分x 1 I 工 2 1 o 、1 1 o所以尸A/Y 8=(-2-，-2(X 2-X”y2-y i)2(X2 XI 2(-4X2 4X,所 以 前 方 为 定 值
27、，其值为0.7 分(1 1)由(1)知在4/8 中，FM LAB,因而 S=；|/8|尸|FM =y j c y 2)2+(-2)2=45 2 +Q +$4 2+4 =yjy+y 2+1 x(-4)+4=U+异 2=4+七因为|/尸|、|8 月分别等于/、8到抛物线准线、=-1 的距离，所以AB=AF+BF=y i+y2+2=X+2=(+)2.于是 S=,四|尸网=(也+今):由 蚀+右*2知 S 24,且当2=1 时，S取得最小值4.1 0.(山 东 卷)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4“(I)求椭圆的方程；(1【)直线
28、1 过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当A A OB面积取得最大值时，求直线1 的方程.2 2解：设椭圆方程为=+4=i S b c)a b(I )由已知得b=c2a2.=4ca2=b2+c2：=：.所求椭圆方程为 +/=1.b=1 2 Jc2=l(I D 解法一：由题意知直线/的斜率存在，设直线/的方程为歹=Ax +2,/(,必),B(X2)由0=64/一2 4(1 +2 4 2)0 解 得 公 ：又由韦达定理得 0,0整理得：52 o4 52又S 0,e4从 而 的 最 大 值 为 S =6x/7 4此时代入方程(*)得 4 左 4 2 8 左 2+4 9 =0.左=2所以，所求直
29、线方程为：士 J T i x 2 y+4 =0.解法2：令加=12 k2 3(m 0),则2 左 2 =？+3 ,5_2 鬲-2&夜 m F 4 2m-m4*此时字当且仅当m=即加=2时，sm所以，所求直线方程为/值一2 夕+4 =0解 法 二：由 题 意 知 直 线/的 斜 率 存 在 且 不 为 零.设 直 线/的 方 程 为2y =kx+29A(x 9y1),B(x2 9y2),则直线/与x轴的交点。(一一,0),k3由解法一知左2 且28 AX.1+xy=-72 1+2 公，6解 法L s3;3心-必匕申也+2-5-2|=|石F=yj(x2+x2)2-4xtx2J 1 6公 _ 2 4+2k22 2公-3l+2k2下同解法一.解法 2：S AB=S PO BS p.=9凶巴|-|士|.丁_ 芯|=2：，3下同解法一.