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1、湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析15：圆锥曲线考点透析【考点聚焦】考 点 1：圆锥曲线的定义与标准方程的求法；考点2：离心率与准线方程；【考点小测】1.(天津 卷)如果双曲线的两个焦点分别为尸|(-3,0)、F2(3,O),一条渐近线方程为y=岳，那么它的两条准线间的距离是()A.6 7 3 B.4 C.2 D.1解析：如果双曲线的两个焦点分别为再(3,0)、尸 2(3Q)，-条渐近线方程为y=J x，a2+b2=9 r 2 _T 2：.b l，解得Q,二，所以它的两条准线间的距离是2幺=2,选 C.-=V2 b2=6 c.a2 22.(福 建 卷)已 知 双 曲 线=-2 =l(a 0,
2、b 0)的右焦点为F,若过点F 且倾斜角为6 0 的直线与双a b曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率巳b，b-a a2 V3,离心率 e2=二=9-2 4,:.e 2 2,选 Ca a3.(广 东 卷)已知双曲线3/丁=9,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点尸到右准线的距离之比等于A.V2 B.C.2 D.43解析：依题意可知 a=V3,c=ya2+b2=V3+9=2 7 3,e=g =2,故选 C.a V32 2 9 94.(辽宁 卷)曲 线 上 +上=1.6)与 曲 线 工+工=1(5 机 =-2x 9和 ，：.I A P I=10,I BQ I=
3、2,I P Q I=8,梯形 A P Q 8 的面积为 4 8,选 A.y=610.(上海卷)若曲线y 2 =1 x 1+1 与直线y =H+6没有公共点，则k、b分别应满足的条件是 .解：作出函数y2=|x|+i=4-的图象，-x +l,x 0),则 J。C=4(啦 1),解a2 b2 b2 a2 2，2a=b+c2 2 2 2之得：。=4 后，行=4.则所求的椭圆的方程为二+上-=1 或 二+匕=1,离心率32 16 16 326 =5-；准线方程x =8 或 =8 ,两准线的距离为16.2 2例 2.(北京卷)椭圆二+二 =l(a,/?0)的两个焦点F 卜 F 2，点 P在椭圆C 上，且
4、 P F|a h4 14 .I F i F x J P F t h-J P F y.(I)求椭圆 C 的方程；(I I)若直线 L 过圆 x 2+y 2+4 x-2 y=0 的圆心 M 交椭圆于A、B 两点，且 A、B 关于点M 对称，求直线L的方程。解法一：(I)因为点P在椭圆C 上，所以2 a =|尸用+尸 尸2=6,a=3.在 R t Z s P Q&中，阳 工|=1 叫2-附)=2 后,故椭圆的半焦距c=V 5 ,从而 b2=a C2=A,2 2所以椭圆C 的 方 程 为 二+）-=1.9 4（H）设 A,8的坐标分别为5 加）、（X 2 J 2）.由圆的方程为（X+2）2+（y-l）
5、2=5,所以圆心 的 坐 标 为（-2,1）.从而可设直线/的方程为 y=A（x+2）+l,代入椭圆 C 的方程得（4+9 炉）x 2+（36-+18 k）x+36 F+36 k-2 7=0.因为A,8 关于点M 对 称.所 以 也 二 也=史竺?=2.解得左=,2 4+%2 9Q所以直线/的方程为y=（x +2）+1,即以-9 y+2 5=0.（经检验，符合题意）解法二：（I ）同解法一.（H）已知圆的方程为（x+2）2+（）,一 1尸=5,所以圆心M 的坐标为（-2,1）.设A,B 的坐标分别为（肛,力），。2 2）.由题意X|#X 2 且由一得 3 7 2）3+4）+3-乃）（）；+），
6、2）=0.9 4因为A、8关于点例对称，所以x 1+X 2=4,巾+），2=2,代 入 得&二 2=-,即直线/的斜率为-,%,-x2 9 9Q所以直线/的方程为y-1 =2 （x+2）,即 8 x-9 y+2 5=0.（经检验，所求直线方程符合题意.）【问题2】圆锥曲线的定义的问题2 2p 生P例 3.（四川卷）如图，把椭圆最+需=1的长轴A8分成8 等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于右，名，侣，矛j 侣，生，侣七个*点，尸是椭圆的一个焦点，则怩尸|+|乌司+区户|+旧尸|+区户|+|皂 户|+在|=；2 2例 4.（江西卷）P是 双 曲 线 二 一 二 二1的右支上一点，M、
7、N分别是圆（x +5）5y2=4和9 16（x-5）?+y 2=l 上的点，则|P M|一|P N|的最大值为（）A.6B.7C.8D.9解：设双曲线的两个焦点分别是F i (-5,0)与F?(5,0),则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F|三点共线以及P与N、F 2三点共线时所求的值最大，此时I P M I-I P N I=(I P F|l-2)-(I P F2|-1)=10 1=9 故选 B【问题3】直线与圆锥曲线位置关系问题利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.例5.PHM例3例6.(浙江卷)，椭 哩=1(a b 0)与过
8、点A (2,0)B(0,l)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=.(I)求椭圆方程；(H)设F 2分别为椭圆的左、右焦点,2M为线段A F 1的中点，求证：NA TM=/A F|T.本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的儿何性质，同时考察解析儿何的基本思想方法和综合解题能力。X解：(I)过点A、6的直线方程为一+y =l.2 因为由题意得有惟一解,即（/_a2x2+a2 2b2=0 有惟一解，所以 =“2/3 2+4/4）=0 （HHO）,故 2+4Z?2-4=0.又 因 为e =E，即 竺 言1=3,所 以a2=4 b2.2 a2 4Iv.2从而得/=2,/=士,故所求的椭圆方程
9、为 +2/=1.2 2（II）由（I）得 c=，故）（,0）,居,0）,从而A f （1 +,0）.2 2 2 4由 y=x+l 解 得 芯=1，所 以 丁（1，耳）因为 t a n NA，T=1,又 t a n/Z 4 M =-,t a n Z T M E,=%,得2 2 2 V 62_ _ 1t a n A A T M =娓 j=-1,因此 A A T M =ZAF.T.i+4=2乖）工 2例 7.（福建卷）已知椭圆彳+2 =1 的左焦点为。为坐标原点。（I ）求过点0、F,并且与椭圆的左准线/相切的圆的方程;（II）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、8 两点，线段A B的垂直平分线与x
10、 轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法,考查运算能力和综合解题能力。解：,.a 2=2,2=l,;.c =l,/（-l,0）,/:x =-2.圆过点0、F,圆心M 在直线x=_t o2设（-；/）,则圆半径1 L O 所求圆的方程为（尤+5）2 +（y V 2）2=:（II）设直线AB的方程为y =Z（x +l）（女工0）,2代入与 +丁=1,整理得（1 +2k2）x2+4 k2x+2k2-2 =0.直线AB过椭圆的左焦点E.方程有两个不等实根。4k 2记 4（看，%）,8（2，%），4 8 中 点%（工 0，%），则
11、玉=一 点 一-乙K 十1.43 的垂直平分线N G的方程为y-y0=-（x-x0）.令 y =0,得kxG=x()+kya2k2 Elk2+2/+1-=-1-2/+1 2 k2+2k w 0,1八 xG 0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等a h于焦距，且x=4为它的右准线。（I）、求椭圆的方程；（H）、设P为右准线上不同于点（4,0）的任意一点，若直线AP,BP分 别 与 椭 圆 相 交 于 异 于 的 点M、N,证明点6在以为直径的圆内。点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。2解：（I）依题意得a=2c,=4,解
12、得=2,从而b=J8.2 2故椭圆的方程为 二+匕=1.4 3(II)解法 1：由(I)得 A(-2,0),B(2,3 M点在椭圆上，），0=（4/）.4又点M异于顶点A、B,：.-2x0 =2x04+-6-y-n-=-2-(xo9-4+3y0A2).x0+2 x0+2.5将由代入，化简得BM BP=j (2-x0).：2x00,BM BP3 则NMBP 为锐角，从而NMBN 为钝角,故点B在以M N 为直径的圆内。解法 2：由(I )得 A (2,0),B (2,0).设 M (勺，%),N(x2,以)，则一2。/2,-2 r2 1)2)2=(肛 一 2)(必 一 2)+力力又直线A P的方
13、程为y=(x +2),直线B P的方程为y =上=(X -2),X +2 尤2 2而点两直线AP与 B P 的交点P在准线x=4上,.4 =生_,即竺=巫_X +2 X 2 -2%)+2又点M 在椭圆上，则 十+弋=1,即必2=；(4一/2)应于是将由、代入，化简后可得怛2 一；MN =:(2-X1)(X22)2 =14(2)设线段P A 的中点为M(x,y),点 P的坐标是(x 0,y o),由点P在 椭 圆 上 得 丫线段P A 中点M 的轨迹方程是（x；）2 +4（y；）2 =1.（3）当直线BC垂直于x 轴时,B C=2,因此4 ABC的面积SAABC=1.2当直线BC不垂直于x 轴时
14、，说该直线方程为y=k x,代入土-+y 2=i,42解得B（2 2k),c(+12k 炉 +1则 X1 1 VT74P，又点A到直线BC的距离d=-A A B C 的面积 SAABC=；1 4 理 dR Ill+4 k2于是与筌=匕/由 2-1,得SAABC及，其中，当 k=一工时;等号成立.4卜+1 2.SA A BC的最大值是血.例 1 0.（天津卷）如图，以椭圆=+=l（ab0）的中心。为圆心，分别以。和b为a b半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点b（c,0X c 小作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A.连结OA交小圆于点8.设直线8E是小圆的切线.（1）证明c?=而，并求直线B F
15、与 轴的交点M的坐标；1 、（2）设直线8 尸交椭圆于P、。两点，证明。2。=3从.本小题主要考查椭圆的标准方程的儿何性质、直线方程。平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.满分1 4分.证明：(I)由题设条件知，Rt OF A-Rt O B E故OF OB nn c h ，OA OF a c因此,2 =ab在RtOFA,FA=SA2-0F2=8-2 =b.因此,c2-ab.在RtOE4 中，FA=O A2-O F2=yla2-c2=b.于是,I直线。4 的 斜 率 么.设 直 线 B F的斜率为左,则左=-：c koacb这时,直线8 尸与y 轴的交
16、点为M(0,a)(II)由(I),得直线B尸得方程为y=H +a,且女2=%=患=*由已知,设尸(%，)、Q(x2,y2),则它们的坐标漫步方程组x2/+y2y=kx+a由方程组消去y,并整理得时 +a2k2)x2+2a?1kx+a4-a2b2=0由式、和,a4-a2b2 a2(a2-h2)a3b2X.Xo=:-1 r=-=;-r1-h2+a2k2 2。/+/b+a h由方程组消去x,并整理得(/+a2A2)+2。斤+/一。282k2=o 由式和,a2b2(1-k2)_ _ a2b2(b a)b2+a2k2,2,2 b3+a3b1综上，得到OP-OQ=x,x2+弘y2a3b2 a2b b-a)
17、_ a2b3a3+h3/+/a3+bi注意至|J/-a b +b?=。2-c、2+/=2/,得aEO P O Qa2b3crbac2 a(a2-b2)1 .2?9 -二 一(a-ab)a+h(a+b)2b 2+/)2(+b)2(+b)2课后训练1.(安徽卷)若抛物线：/=2 p x的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为6 2A.-2 B.2 C.-4 D.42 2解：椭圆彳+、=1的右焦点为(2,0),所以抛物线/=2px的焦点为(2,0),则p=4,故选D o2.(天 津 卷)椭圆的中心为点E(-1,0),它的一个焦点为歹(-3,0),相应于焦点尸的准线方程为x=_ Z,则这个椭圆的方程
18、是()2A.一 37B.-+1 J 2)，C.(zl)l +/=1 D.(l)l+=i21 3 21 3 5 5解析：椭圆的中心为点矶-1,0),它的一个焦点为尸(-3,0),半焦距c=2,相应于焦点F的准线方程为x=二/=5,/=1,则这个椭圆的方程是任世+尸=1,选D.2 c 2 53.(山东卷)设直线/:2x+y+2=0关 于 原 点 对 称 的 直 线 为 若/与椭圆工2+目=1的交4点为A、B、，点P为椭圆上的动点，则使 PA3的面积为0.5的点P的个数为(B)(A)1 (B)2(C)3(D)44.(江 苏 卷)点P(-3,l)在 椭 圆 二+=(460)的左准线上.过点P且方向为。
19、=(2,-5)的光a2 b2线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为(A)拒 1 V2 1(A)(B)-(C)(D)-3 3 2 25.(重庆卷)已知A卜g o,B是圆凡 卜.g j+y 2=4(F为圆心)上一动点，线段4B的垂直4平分线交B F于P,则动点P的轨迹方程为一+一 y2=。36.(江 苏 卷)已知三点 P(5,2)、F (-6,0)、F2(6,0).(I)求以后、尸2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；(II)设点P、6、F2关于直线y=x的对称点分别为P.F；、Q，求以F；、F2为焦点且过点P的双曲线的标准方程。本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、
20、几何性质等基础知识和基本运算能力。2 2解：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为二+=l(ab0),其半焦距c=6a b2a=|PF1|+|P|=V1 M 22+Vl2+22=675/.a=3瓜 b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为三+二=14 5 9（2）点 P（5,2）、p（-6,0）、F 2（6,0）关于直线 y=x 的对称点分别为点 P （2,5）、F（0,-6）、F2（0,6）.2 2设所求双曲线的标准方程为5-与=1（生 0,40）由题意知，半焦距5=6a hr2%=卜 川+PF；=|V 1 24 22-V l2+22|=4A/5at=2V5）b,2=c,2-a,2=3
21、6-2 0=1 6.所以所求双曲线的标准方程为K_=i2 0 1 67.（全 国 卷I）在平面直角坐标系X。），中，有 一 个 以 川0,-6）和 工（0,6）为焦点、离心率为也的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上，C在点P处的切线2与x、y轴的交点分别为A、B,且向 量 而=函+砺。求：（I）点M的轨迹方程；（n）OM的最小值。2 2 a2-b2=3.解：椭圆方程可写为：+声=1 式 中a b 0,且 小_小 得a 2=4,b 2=l,所以曲线Ca -2的方程为：x2+=1 (x 0,y 0).y=2 /l x2(0 x l)y =/,今 /l-x设P(x o,y o),因P
22、在C上，有0 x0 l,y 2)(11)1|O M|2=x2+y2,2 4/4OM 2=X2-l+y+5 2 4+5=9.且当 x2-1=TT7，即 x=g l 时,上式取等号.故 的 最 小 值 为3.8.(上海卷)在平面直角坐标系xOy中，直线/与抛物线俨=2x相交于A、B两点.(1)求证：“如果直线/过点T (3,0),那么是真命题；(2)写 出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.(15班)解(1)设过点T(3,0)的直线/交抛物线y2=2x 于点A(x i,y。、B(x2,y2).当直线I的斜率不存在时，直 线I的 方 程 为 x=3,此时，直 线I与抛物线相交
23、于点A(3,后)、B(3,一 .A O A O B=3；当直线I的钟率存在忖，设直线I的方程为y=A(x 3)，其中左HO,fv2-Or由 0).过 A、8两点分别作抛物线的切线，设其交点为(I)证 明 牖 盗 为 定值；(II)设 A 5 M 的面积为S,写出S=/q)的表达式，并求S的最小值.(15班)解：(I)由已知条件,得F(0,1),2 0.设4(,)，D，8(X2,力).由 启=/话,即 得(一 X 1y)F(X2,%1)，%-Fx=2X(xy2 2 1)将式两边平方并把力=%/，丫 2=52?代入得 力=不 乃 解、式得yi=2,且有 XX2=AX22=42/2=-4,抛物线方程
24、为y=%2,求导得所以过抛物线上A、8 两点的切线方程分别是11y=2（x-x1pmi 1 2 1 1 2）+yf 丁=F 2。一应）十）2，即 丁=/透一甲i ,丁=.12元一下2xi+x?町冷 XI+x?解出两条切线的交点M 的坐标为（不 一，）=（-y，-1）.4 分 /+工2 1 r 1 1 c l e所以FM-AB=（-2）-（X2-XI，丫 2一力）=5（必-一修2）2（不22一下）=0所 以 为 定 值，其值为0.7 分（H）由（I）知在ABM 中，FM A.AB,因而 S=；L48IIFMI.力+2+权（-4）+4因为AFI、I3FI分别等于A、8 到抛物线准线y=-l 的距离
25、，所以L48l=L4FI+LBFI=），i+y 2+2=/l+!+2=（+2）2.a于是 S=L48IIFMI=（由 啦+右 2 2 知 S 2 4,且当2=1 时，S取得最小值4.10.（山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.。（I）求椭圆的方程:（H）直线1过点P（0,2）且与椭圆相交于A、B 两点，当AAOB面积取得最大值时，求直线1的方程.（15班）2 0解：设椭圆方程为与+马=l（a b c）a b（I）由已知得b=c2a2.=4ca2 b2+c2=5.所求椭圆方程为W+y2=l.b=2c2=1（II）解法
26、一：由题意知直线/的斜率存在，设直线/的方程为、=依+2,4（,乃）,8（2，%）由，y=kx+2x2 ,，消去y得关于x的方程：(1 +2公)/+8依+6=0+y=1123由直线/与椭圆相交于A、B两点，0 n 6 4/一24（1 +2火2）。解得攵2 5又由韦达定理得8k6.,.I A B 1=Jl+B xx21=yJ+k2 J(X|+)2 =。+勺-J162 24-1+2公2原点。到直线I的距离d=-r-Vl+PS tA()BD =-2 I AB I d J16/-24 2 2/-31 +2/+2k2解 法1：对5=J1 6/-2 4两边平方整理得：4s2/+4。2 4)/+$2+24=
27、0(*)1 +2女 2.SHO,16(S2-4)2-4X452(S2+24)0,4-S2 八052$2+24 八-5 )(),4s2整理得：52-2又so,.（）0),贝 二*+3.5 _ 2鬲_ 2近 近m2+4 _ _ _ 4 _ 2m H m当且仅当机=应 即?=2时，s=-此时k=I4,.m 2 2所以，所求直线方程为1万一2y+4=0解 法 二：由 题 意 知 直 线/的 斜 率 存 在 且 不 为 零.设 直 线/的 方 程 为2y=爪+2,4%,月）,8（,为），则直线1与x 轴的交点。（一一,0）,k3由解法一知4 2?且28 Ai=-K,62 =17/11 2解法 1：5 =-1 0 0 1-1 -1=-1-1-1 +2-2-2 1 =1%1 -x2122 kc:J 1 6 d-2 4 2旧2k2 -3下同解法一.解法2：S 似=S POB-S P 0A2 小引=|-1 =喑界下同解法一.