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1、湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析15：圆锥曲线考点透析【考点聚焦】考 点 1：圆锥曲线的定义与标准方程的求法；考点2：离心率与准线方程：【考点小测】1 .（天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为耳（一3,0）、F2（3,0）,一条渐近线方程为y=J I x,那么它的两条准线间的距离是（）A.6百 B.4 C.2 D.1解析：如果双曲线的两个焦点分别为（一3,0）、F2（3,0）,一条渐近线方程为丁 =岳，a2+b2=9 r 2 2:0,/0）的右焦点为F,若过点尸且倾斜角为60。的a b直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.（1,2）B.（1,2）C.2,+8 D
2、.（2,+8）解析：双曲线5=1（“0,60）的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双a h曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率2,-a a2 2,i 2与 百，离心率6 2=4-2 4,；.e 2 2,选Ca a3 .（广东卷）已知双曲线3/一V =9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于A.V2 B.述 C.2 D.43解析：依题意可知 a=yf3,c=V 2+b2=V 3 +9 =2 7 3 ,e=2/=2,故选 C.a V34 .（辽宁卷）曲线上+上=（加 6）与曲线上匕+上=1（5 机 9）的1 0-w 6-m 5 -
3、w 9-w（A）焦距相等（B）离心率相等（C）焦点相同（D）准线相同【解 析】由 一+上 一=1(机6)知 该 方 程 表 示 焦 点 在 不 轴 上 的 椭 圆，由1 0-6-mX2 v2-+一=l(5 w 9)知该方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故只能选择答案A。5-tn 9-w【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响。5.(全国卷D双曲线 蛆 2+y 2=l的虚轴长是实轴长的2 倍，则加=A.-B.-4 C.4 D.-4 4解：双曲线加/+V=1的 虚 轴 长 是 实 轴 长 的 2 倍，m 0,且双曲线方程为+V2=1 ,/.m
4、=-,选 A.4 46.(全国H)已知的顶 点 氏 C 在椭圆=+/=1上，顶点4是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在死1 边上，则 力 交的周长是(4)2乖(B)6(C)4 73 ()1 2解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得A 4 6 C的周长为4 a=4 百，所以选C7.(山东卷)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为血，焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为(A)V2(B)(C)-(D)2 2 42 2,序 2解：不妨设椭圆方程为会+方=1(0),则有-=后 旦?c =l,据此求出e*，选 B8.(四川卷)已知两定点力(一 2,0),
5、8(1,0),如果动点P满 足/训=2|尸同，则点尸的轨迹所包围的图形的面积等于(A)n(B)4 (C)8(D)9解：两定点4(一 2,0),3(1,0),如 果 动 点 尸 满 足 训=2|0耳，设 P点的坐标为(x,y),!J l i J(x+2)2+/=4 (x-l)2+/,BP(X-2)2+/=4,所以点尸的轨迹所包围的图形的面积等于4 兀，选 B.9.(四川卷)直线y=x-3与抛物线:/=4 x 交于48 两点，过 48 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,0,则梯形ZP0 8 的面积为(A)4 8(B)5 6(C)64 (D)72解析：直线夕=x-3与抛物线产=4 x 交于4
6、8两点，过 4 8两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为联立方程组得工y2-4x 消 元 得,=解得I x =一2和x =9,A I A P I =10,|BQ|=2,|P Q|=8,梯形力尸 0 8 的面积为 4 8,选 A.y=61 0.(上海卷)若曲线/=|X 1 +1 与直线y k x+b没有公共点，则左、b分别应满足的条件是.f x+l x 2 0解：作出函数y 2=|x|+l =-的图象，-x+l,x 6 0),则 0)的两个焦点件、Fz,点 P 在椭圆C上，且 P F)4 14FIF2.,I P F,|=-,P F2|=.(I)求椭圆 C 的方程；(H)若直线 L 过圆 x2+y2
7、+4x-2y=03 3的圆心M交椭圆于A、B 两点，且 A、B 关于点M对称，求直线L的方程。解法一：(I)因为点P在椭圆。上，所以2a =|尸局+|用=6,a=3.在 Rt阳用中，阳鸟|=,叫2 T*2=2亚,故椭圆的半焦距行M,从而 Ij-a c-,2 2所以椭圆。的方程为二+=1.（H）设/,8 的坐标分别为（跖,巧）、（四 用.由圆的方程为（户2）2+（y1-=5,所以圆心力的坐标为（-2,1）.从而可设直线/的方程为 产A（户2）+1,代入椭圆，的方程得（4+92）9+（36/+184产36芥+36*27=0.因 为 儿，关于点材对称.所 以 乜 三=一 身 亡 学 =一2.解得=目
8、，2 4+9公 9Q所以直线/的方程为y=2（x+2）+1,即 8尸9尸2 5=0.（经检验，符合题意）解法二：（I）同解法一.（H）已知圆的方程为（户2）2+（y1）J 5,所以圆心 的坐标为（-2,1）.设 46 的坐标分别为（%,%）,（超.由题意小。生且工+”=19 4生+匕=19 4由一得（X ）（项+X2）（必 一%）（乂+%）_ 0因为4 4 关于点 对称，所 以%+生=-4,yi+姓=2,代入得与二及 =,即直线/的斜率为-,X-x2 9 9Q所以直线/的方程为y-l =（x+2）,即 8x9产25=0.（经检验，所求直线方程符合题意.）【问题2】圆锥曲线的定义的问题例 3.（
9、四川卷）如图，把 椭 圆 工+竺=1 的长轴4 3 分成8 等份，过每个分点作X轴的垂线交椭圆的上半部分于，/，。3，。4，。5，。6，。7 七个点，E 是椭圆的一个焦点，则山 尸|+|舄）|+|舄尸1+/l+lG 尸|+|无尸|+|尸 7户|=；例 4.（江西卷）P是 双 曲 线 上 一 上=1 的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）旺/=4 和9 1 6（x-5）?+y 2=i 上的点，则|P M|一|P N|的最大值为（）A.6 B.7 C.8 D.9解：设双曲线的两个焦点分别是宿（-5,0）与 F z（5,0）,则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与 比 R三点共线以及P与 N、F
10、z三点共线时所求的值最大，此时|P M|一|P N|=（P F i l-2）-（|P F2|-1）=1 0 1=9 故选 B【问题3】直线与圆锥曲线位置关系问题利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.例 5.P m 例 3例 6.（浙江卷），椭 圆 二+仁=1 （a b 0）与过点A （2,0）B（0,1）的直线有且只有一个a2 b2公共点T,且椭圆的离心率e=Z.（I）求椭圆方程；（I I）设 F F 2 分别为椭圆的左、右焦2点，M 为线段A F 1 的中点，求证：Z A TM=Z A F,T.本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几
11、何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。Y解：（I）过点2、4的直线方程为一 +y =L2，2 2因为由题意得 7?=|有惟一解，.=-X+1即（/+；/）/一 /+/一 /=0 有惟一解，所以 =/（/+4/-4）=0（必。0）,故 a2+4Z2-4=0.又 因 为 e =E，即三避=3,所 以a2=4b2.2 a2 41v-2从而得/=2/2=上,故所求的椭圆方程为 -+2/=1.22（II）由得。=白，故片（坐,0）,工（半,0）,从而“（1 +乎,0）.解 得 玉=七=1,所以因为 t a n N/G T=X5-L又t a n NN4 A/=,t a n/TM居=之,得2
12、 2 V 6_ 2 _ _,t a n A A T M =逅1,因此 4T M =ZA F.T.1+*2V6x2例7.(福 建 卷)已知椭圆二+丁2 =1的左焦点为E。为坐标原点。2(I)求过点0、F,并且与椭圆的左准线，相切的圆的方程;(H)设过点广且不与坐标轴垂直交椭圆于4 6两点，线段4 8的垂直平分线与x轴交于点G,求 点G横坐标的取值范围.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法,考查运算能力和综合解题能力。解：(I)va2=2,b=1,.,.c=1,F(-1,O),/:x=-2.圆过点0、F,圆心M在直线x =-L上。2设则圆半径13/=(-5)-
13、(-2)=展由 卜 尸，得j(一+尸=9，解得/=J I/.所求圆的方程为(X +g)2+S J I)2 =；.(I I)设直线A B的方程为夕=左(x +l)/K 0),2代入y+/=l,整理得(1 +2-)/+4-X +2/一2 =o.直线A B过椭圆的左焦点F,.方程有两个不等实根。记 A(xl,yi),B(X2,8),中点 N(x。,y0),则占 +马=一2k2+1AB的垂直平分线N G的方程为y%=，(x%).令y =0,得k,2k2 k2 k2 1 1XG-XO+y0 2k2+1+2k2+1 2k2+l _ 2+4k2+2*,*k H 0,1.XQ 0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长
14、a b等于焦距，且x =4为它的右准线。（I ）、求椭圆的方程；（H）、设P为右准线上不同于点（4,0）的任意一点，若直线Z P,8 P分别与椭圆相交于异于4 8的点V、N,证明点8在 以 为 直 径 的 圆 内。点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。2解：（I ）依题意得a=2c,=4,解得a=2,c =Lc从而b=V 3 .故椭圆的方程为+=1.4 3(II)解法 1：由(I )得 A (2,0),B (2,0).设M ,%).3M点在椭圆上，%=（4/）.4(b又点M异于顶点A、B,-2 6 0）的中心。为圆心
15、，分别以。和 6 为a b半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点E（c,0）（c6）作垂直于x 轴的直线交大圆于第一象限内的 点 连 结。4交小圆于点8 .设 直 线 8 口是小圆的切线.（1）证明。2=。6,并 求 直 线 与 丁 轴 的 交 点 A 1 的坐标;（2）设直线8 尸交椭圆于P、。两点，证 明 丽 丽=；.本小题主要考查椭圆的标准方程的几何性质、直线方程。平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.满 分14分.证明：(I)由题设条件知，Rt O F A sR f 0 8 9故竺=竺即OA OF a c因此，c2=ab在.Rt OF A,FA=yl
16、c-O F2=4cr-(?=b.因此，c2=ab.在.R t O E 4 中，FA=yl0A2-O F1=V a2-c2=b.于是，直 线。的斜率b 1 c3.设直线阳的斜率为左，则左=一=土.Ckoa b这时，直 线 即 与y轴的交点为“（0,。）（II）由（I）,得直线跖得方程为歹=丘+。,且公c2 _ ab _ a1 7=v=b由已知，设P（玉,乂）、Q（x2,y2）,则它们的坐标漫步方程组y-k x +a由方程组消去y,并整理得(b1+a2k2)x2+2 6 kx+a4-a2b2=0由式、和,o4-cT b1 _ a2(a2-b2)及+调-7 7 7 ba3b2777由方程组消去x,并
17、整理得 32+a2z2w 2+2a62y+a262一q26242=o由式和,42(_2)产2(1一/_八2()b2+a2k2 h2+a2.2.+/b综上，得到。尸.O。=X1%2+,2a3b2 a2h2(b-a)_ a2h3a 4-Z)3 a+63 a+Z?3注意到。2一。2+/=2/,得旗双磊=着k就r磊嗤能）=(a2 c2)b22 2课后训练1 .(安徽卷)若抛物线_/=2 p x 的焦点与椭圆兰+片=1 的右焦点重合，则 p的值为6 2A.-2 B.2 C.-4 D.4X2 y2，解：椭 圆 器+=1 的右焦点为(2,0),所以抛物线_/=2 p x 的焦点为(2,0),则 p =4,故
18、选D。2 .(天津卷)椭圆的中心为点E(-1,0),它的个焦点为尸(-3,0),相应于焦点厂的准线方程为x=_Z，则这个椭圆的方程是()2A.2(x7)2/_B.垢 +1 1+组 7 c.(z l)l +/=1 D.(1121+/=I2 1 3 2 1 3 5 5解析：椭圆的中心为点E(-L O),它的一个焦点为E(-3,0),，半焦距c =2,相应于焦点F的准线方程为=一 2.二=5,廿=1,则这个椭圆的方程是支辿1+/=1,选 D.2 c 2 5 3 .(山东卷)设直线/:2 +丁 +2 =0关于原点对称的直线为/,若/与椭圆/+=的4交点为A、B、，点。为椭圆上的动点，则 使 的 面 积
19、 为 0.5 的点尸的个数为(B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)44 .(江 苏 卷)点 P Q 3,1)在椭圆工+广=1(八 八 0)的左准线上.过点P且方向为所(2,-5)a2 b2的光线,经直线y =-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A )(A )(B )-(C )(D)-3 3 2 25 .(重庆卷)已知4 卜 别，9是圆反 卜 _+/=4(产为圆心)上一动点，线段血的垂直平分线交B F千 P,则动点夕的轨迹方程为x2+-/=U36 .(江 苏 卷)已知三点 P(5,2)、F(-6,0)、F2(6,0).(I)求以尸、尸 2 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；
20、(1 1)设 点 、耳、&关 于 直 线 尸”的对称点分别为P、F；、F；,求 以 耳、F；为焦点且过点P 的双曲线的标准方程。本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。解：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为二+与=l(a b 0),其半焦距c=6Q_ b2a=+P F2 =V1 12+22+Vl2+22=6A/5 a=3 石,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为三+匕4 5 9=1（2）点 P（5,2）、W（-6,0）、邑（6,0）关于直线 y=x 的对称点分别为点 P,（2,5）、F（0,-6）、Ff (0,6).设所求双曲线的标准方程为
21、二一5 =l（q 0,4 0）由题意知，半焦距5=64 b；2 q =P F：+。骂 卜 V1 12+22-l2+22=4 7 5q =2 石，b 三c a =3 6-2 0=1 6.所以所求双曲线的标准方程为田一片曰20 167.（全国 卷 I）在平面直角坐标系x Q y 中，有一个以月仅，-G）和乙仅，百）为焦点、离心 率 为 立 的 椭 圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P 在 C上，C在点P 处的切线2与 x、y轴的交点分别为A、B,且向 量 丽=厉+砺。求：（I ）点 M的轨迹方程；（I I）|西|的最小值。2 2 a2-b2=3.解：椭圆方程可写为：/+去口 式 中 a b
22、0,月.理也 得 2 二 4 廿1,所以曲线a I a 2v22 xC 的方程为：x2+Y=1 (x 0,y 0).y=2 /l x2(0 x J l x o2,y I x=x o=一 一1，得切线 A B 的方程为:,y o4Xn1 4y=(x x o)+y0.设 A(x,0)和 B(0,y),由切线方程得 x=,y=一.y o x o y o由二+得 M的坐标为(x,y),由 x o,y o 满足C的方程,得点M的轨迹方程为：1 4+=1 (x l,y 2)x y(I I)I pM 2=x2+y2,y2=4+，1 一/|西 卜 x -l +5 2 4+5=9.且当 x2-l=A j-,即
23、x=y/il 时,上式取等号.故|万可的最小值为3.8.(上海卷)在平面直角坐标系xOy中，直线/与抛物线/=2x相交于A、B两点.(1)求证：“如果直线/过点T (3,0),那 么 王 0 0=3”是真命题；(2)写 出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.(1 5 班)解(1)设过点T 0)的直线/交抛物线*2x于点A(x i,y。、B(x2,y2).当直线/的科率不存在时，直 线/的 方 程 为 x=3,止 匕 时，直线,与抛物线相交于点A (3,V6)、B (3,一 V6).O A -O B=3；当直线/的科率存在时,设直线/的方程为j=A(x-3),其中AxO,
24、由2*得 A/_2y_6A=-6 片A(x-3)-又工 =4必2/2=；乃 2,04=项2+”为=4(必歹2)+必歹2=3，综上所述，命题“如果直线/过点T(3,0),那么57 丽=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线/交抛物线y 2 x 于 A、B两 点,如 果 苏 历=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A (2,2),此 时 近.万=3,直 线 AB的方程为：2T(X+1),而 T(3,0)不在直线A B 上;说明：由抛物线y =2 x 上的点A (x i,y)、B (x2,y 2)满足。4-OB=3,可得y 2=6,或 y W 2=2,如果y 2=-6,
25、可证得直线A B 过点(3,0)；如果y z=2,可证得直线A B 过点(一1,0),而不过点(3,0).9.(全国I I)已知抛物线f=4 y的焦点为凡A,夕是抛物线上的两动点，且 才=2 万 Q 0).过 4 5两点分别作抛物线的切线，设其交点为(I)证明方下为定值;(II)设 阚 的 面 积 为 S,写出AfQ)的表达式，并求S 的最小值.(1 5 班)解：(I)由已知条件，得尸(0,1),%0.设/(小，%),3(x2,%).由 才=2 可,即得（一不，1-z）=2（A z,角-1）,J 一肛=山 2 一月=%(2 1)将式两边平方并把为=,刑=在 2 代入得 力=/%解、式得y=2,
26、J2=p且有X.=一2/=一42%=-4,抛物线方程为尸;V,求导得y=/x.所以过抛物线上46两点的切线方程分别是1/I 1/1 1 2 1 1 2y=-xixx）+y i,y=X2x-x?）+j ,B P y=-xix-x,y=-X 2X-x2.解出两条切线的交点材的坐标为（1,丁）=（1 ，一）4 分 才 1 +2 1 1 1所以用/=（-,-2）-（-J T1,%一M）=（麴 2 矛 2）2 （彳 照 2-矛/）=0所 以 局/为 定 值，其值为0.7 分（H）由（I ）知在力合力中，F M V A B,因而M.yi+1x（-4）+4因为|4用、|跖|分别等于46到抛物线准线尸一1 的
27、距离，所以|4引=|4川 +|跖|=必+%+2=%+2=（赤+宝）于是 S=；|A B Fif=（+力，由 必+方 22知 后 4,且当4=1 时，S 取得最小值4.1 0.（山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点0,焦点在X 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4（1 ）求椭圆的方程；（II）直线1 过点P（0,2）且与椭圆相交于A、B两点，当A A 0 B 面积取得最大值时，求直线1的方程.的5 班）2 2解：设椭圆方程为=+4 =1（6 c）a b-D=C 年=2 2（I ）由已知得2 a 2 小，.所求椭圆方程为土+y 2 =l.-=4 n j 6=l 2C /
28、_ 6 4/一2 4（1+2公）0解得左2：又由韦达定理得 0,寻。整理得：S20又so .（）5从而S/0的最大值为s =三、/此时代入方程（*）得4 2 8左2+4 9 =0;.左=2所以，所求直线方程为：5/值X 2 y+4 =0.解法2：令加=,2左2一3（加 0）,则2左2 =掰2 +3$2厨 2五 二 叵 +4 4-2m-当且仅当加=2即加=2时，s=四 此时左=小.m M 2 2所以，所求直线方程为土形-2歹+4 =0解 法 二：由 题 意 知 直 线 1的 斜 率 存 在 且 不 为 零.设 直 线 1的 方 程 为2j =Ax+2,次再,必）,B（X2，%）,则 直 线/与x轴的交点。（,0）,k3由解法一知左2 一且28A6i i 2解法 1：s ,O B=-O D-yl-y2=-k x+2-k x2-2 =|玉一2 2 k=J(2 +X2)2-4X,X2=V162-2 4 _ 2V2A/2Z:2-31 +2/-l+2k2下同解法-解法 2：S A0B=S r o B-S POA=_ L x 2 x|x/-M|=|x 2 占|=逑 叵2 1 +24下 同 解 法，