《高考数学二轮复习考点解析：平面向量及其运用考点透析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学二轮复习考点解析：平面向量及其运用考点透析.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高考数学二轮复习考点解析平面向量及其运用考点透析【考点聚焦】考点1:向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.考 点 3：向量的模与角的计算。.【考点小测】1.（浙江卷）设 向 量 满 足 a+3 +c=6,a J _ 5,|a|=l,|6|=2,则|c=（A）l （B）2（C）4（D）52.（2003年天津高考题）。是平面上一定点，A,B、C 是平面上不共线的三个点，动点。满足 赤=而+2（2 +至），。，+8）,则 一 的 轨 迹 一 定 通 过 比 的（）AB 7C A（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心/X3.（广东卷）如图1 所示，。
2、是A 4 8 C 的 边 上 的 中 点，则向量而=B/X.-BC+-B A B.-B C-B A C.B C-B A D.B C +-B A 图2 2 2 24.（湖南卷）已知|司=2 0,且关于x的方程/+|x+Z?否0 有实根，则 与书的夹角的取值范围是（）A.0,2 B 2,p C 2,空 D 2,p 6 3 3 3 65.（全国卷I）已知向量。、b 满足卜|=1,例=4,且a 6=2,则a与6 的夹角为7Tk 兀 _ 71 八 兀A.B.C.D.6 4 3 26.（山东卷）设向量 a=（l,2）,b=（2,4）,c=（1,-2）,若表示向量 4a,4b2c,2（a c）,d 的有向线
3、段首尾相接能构成四边形，则向量d 为(A)(2,6)(B)(-2,6)(C)(2,-6)(D)(2,6)7.(上海卷)如图，在平行四边形AB C D 中，下列结论中错误的是()-(A)A B =DC ；(B)A D+A B =A C；nt?7C(C)A B -A D=B D ；(D)A D+C B =0 .AZ-8.(北京卷)若三点工(2,2),830),。(01)(必/0)共线，则 的 值 等 于 _ _ _ _ _ _ _.-a b 29.（2005年全国卷I I）点 P 在平面上作匀速直线运动，速度向量”（4,一3）（即点P的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|0个单位.设开始时点P
4、的坐标为（-10,10）,则 5秒后点P 的坐标为 (10,5)1 0.(湖南 卷)已知直线ax+by+c=o 与圆。：乂,+,二：!相交于A、B两点，且|AB|=J S,【典型考例】【考 型 1 1 向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例 1：已知a 是以点4(3,-1)为起点，且与向量8=(3,4)平行的单位向量，则向量Q 的终点坐标是.思路分析：与 a 平行的单位向量e=土.a方法一：设向量a 的终点坐标是(x,y),则 a=(x-3,_y+l),则题意可知:黑黑二
5、：解得12x=51y=-?或18 12 1 18 9x=T ,故填y=41 3 4方法二 与向量方=(3 4)平行的单位向量是士(3,4),故可得。=(，)，从而向量Q的终点坐标是(xj尸。一 (3,-1),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例 2：已知|a|=1,|b|=1,a与b 的夹角为60,x=2ab,y=3bG,则x 与y 的夹角的余弦是多少？思路分析：要计算x 与y 的夹角仇需求出风外r y 的值.计算时要注意计算的准确性.解：由已知|。|=|例=1,。与的夹角a 为 60
6、,得 力=囤叫cosa=；.。要计算x 与y 的夹角仇需求出恸，例，x y 的值./V x=x2=(2ab)2=4a24a,b+b2=44X+1=3,y 2 2 2 2 2 1 人 肝可2=(3力 一a)2=9必一6力 a+/=96X-+1=7.产2 a x y=(2a-b)(3ba)=6a b2a3b2+a b=la,ft_2a2 _ 3 Z 2=7X 23=,2 231又.x y=|x|y|cos优 即一5=VJ X V7 cos仇.cosO=点评：本题利用模的性质|才R 2,在计算X J的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设 标=瓦A C=a,石=2a,NH4C=6
7、0.由向量减法的几何意义，得 丽=7万一万=为一瓦由余弦定理易得|而|=百，即m=百，同理可得回=、，.【考 型2 向量共线与垂直条件的考查例3.平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若 点C满足0 C=a 0 A +p 0 B,其中a,p e R且a +3=i,求点C的轨迹方程。.解：(法-，)设 C(x,y),则 OC=(xy),由 O C=(x,y)=a(3,l)+夕(-1,3)=(3a a+3日).x=3a-,(可从中解出心.)又.a+=l消去a、夕得x+2产5=0卜=a+3/?(法二)利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A,B,C
8、三点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x+2y-5=0,例4.已知平面向量a=(J 5,-1),b=(J _,正).若存在实数k和3便得x=a+Y2 23)b,y-k a+t b,且x_ L y,试求函数的关系式k=f(t)；(2)根据的结论，确 定k=f(t)的单调区间.思路分析：欲求函数关系式k=f(t),只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？求函数单调区间有哪些方法？(导数法、定义法)导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解：(1)法一：由题意知x=(20 3,后2 -26 2),2 2y=(t V3 k,-t+k),又 x_Ly2 2卅 Z2-2 V 3-3
9、.1 .V3/2-2 V 3-2 n x-v=-x(t V3 k)H-x(t+k)=0.2 2 2 21 3整理得：t33t4k=0,即 k=_ t3 _ _ t.4 4I/J法.：a (V3,1),b=(5，),；.同=2,网=1 且 a_b1 3V xy,Ax-y=0,即一1。1+及23)例 2 =0,./3 3t4k=0,即 k=t3 t1,3 3 3(2)由知：k=f(t)t3 t ；.k =f (t)=t3,4 4 4 4令 k 0 得 t V-l 或 t l.故 k=f(t)的单调递减区间是(一 1,1),单调递增区间是(一8,-1)和(1,+8).点评：第(1)问中两种解法是解决
10、向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意).第(2)问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.例 5:已知平面向量5=(百，-1),b=(-,若存在不为零的实数k 和角a ,使2 2向量1=5 +(s i n a -3)5 ,3 =k 5+(s i n Q ,且 1 _ L 2,试求实数k的取值范围.1 3 9解：由条件可得：k=(s i n a 了 ，而一l W s i n a W l,4
11、 2 16.当s i n a =-1 时，k 取最大值1；s i n a =1 时，k 取最小值一工.2又.k#0.!的取值范围为-1,0)U(0,l .点拨与提示：将例题中的t 略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.例 6：已知向量 =(1,J 5)=(若正数k 和 t 使得向量X =。+(产+1)眄 歹=一 左 4 +L g 垂直，求 k 的最小值.t解：x L y x y =0 即Q+(/2+1)K (-k a +-b)=0-2 1 -*2 1-*一 )*-ka+-b+6 左(广 +1)。6 =0t t.a=(1,V 2),6 =(V
12、2,l),I Q|=V 3 ,I b|=V 3a,b=-5/2+V 2,代入 上 式 一3 k+3-=/4-2t t当且仅当t=l,即 t=l 时，取“=”号，U P k 的最小值是2.t【考 型 3】向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.例 7.设函数 f(x)=a b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx,J5sin2x),xGR.(1)若 f(x)=l一石 且x 一弓，,求x；(2)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(帆 马 平3 31 1 2移后得到函数y=f(x)的图象，求实数
13、m、n的值.思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解：(1)依题设，f(x)=(2cosx,1),(cosx,V3 sin2x)=2cos2x+V 3 sin2x=l+2sin(2x+)6由 l+2sin(2x+卫)=1,得 sin(2x+)=-6 6 27C 7C TC T C 5九 兀 7C arl 兀 WxW,.W2x+W,2x+=,即 x=3 3 2 6 6 6 3 4(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.由(1)得 f(x)=2sin 2(x+五)
14、+1 V m ,m=,n=l.点评：把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是C,明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.一般地，函数V=f(X)的图象按向量a=(h,k)平移后的函数解析式为 yk=f(xh)例 8：已知 a=Ccosa,sina),b=(cosi,sini)(Qafi7i),(1)求证：a+b 与 a/互 相 垂直;(2)若依+力与a-他 的模大小相等(%R且左W O),求 一a解：(1)证法一：V a=(cosaf sina),b=(cosPysinP)a+b=(cosa+cosp,sin
15、a+sinp),a-b=(cosa-co邓,sina-sinp)A(a+b(a-b)=(cos计cos sina+sin/i)(cosa-cos。,sina-sin)=cos2a-cos2/3+sin2a-sin2/3=O(a+b)A.(a-b)证法二：V a=(cosa,sina),b=(cosp,sin)，|=1,b=1.(a+b(a-b)=a2-b2=a-b=0(a+ft)(a-6)证法三：a=Qcosa,sina),b=(cos,s加/.|a|=l,记O 4=a,OB=b,!OA=OB|=1,又aW。，：.O、A,B三点不共线.山向量加、减法的几何意义，可知以0 4、0 8为邻边的平行
16、四边形O4C8是菱形，其中O C=0+b,BA=a-b,由菱形对角线互相垂直，知(a+6)J_(a-b)(2)解:由 已 知得依+初与口-阿I,又 V ka+b2=(kcosa+cos砰+(ksina+sin砰=0+1 +2kcos(J ia),ka+b2(cosa-kcos方+(sina-ksi呻f=?+1 -2kcos(fia),2kcos(fia)=-2kcos(fi-a)又.cos0a)=O兀：Oa0 n.0 a /2)则 Xi+X2=1 2k2x2-12k2x+12(k2-l)=012/2-1)X 1 X2=3k2+13*+1,：O P =O N +O M,：.四边形OMPN是平行四
17、边形.若四边形OMPN是矩形，则 丽_1而12(二一 1),2,.*1*2+%，2=0 5 +k(3/c I 1直线 I 为：y=y=y/3(x-2)12(公一 1)24 k23标+1 3/+1+4)=0 得 k=百点评：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题.例 1 0：已知椭圆方程亍+y 2 =1,过 B (1,0)的直线/交随圆于C、D两点，交直线X=一 4于 E 点，B、E 分C 7)的比分入1、X 2.求证：X ,+X 2 =0解：设/的方程为y=k(x+l),代入椭圆方程整理得(4 k2+l)x+8 k x+4(k2-l)=0.设 C (x i,%),D(x2,y2
18、)，则 X l+X 2 =8k 2 4k 2-44k2+l，XX2 4k2+1 由 =得(一 1 一七,一歹)=4(/+1,2)J f +1 .“所以一 1 一巧=4(x,+1),4 =一-!.同理，记 E(-4,%),CE=4EDx,+1得-4 X =A2(X2+4),A2=-*+4/.4+彳，=一-+1x2+4 -x2+1X +4x2+42 x/2 +53+)+8 j u 卜(+1)(工 2+4)c j 、。c 4/-4 =8心。八2xtx2+5(x(+X2)+8 =2-彳 jo：-5-4 P 十 1+8 =0,4+4=o.例 1 1：给定抛物线C:/=4 x,F 是 C的焦点，过点F的直
19、线/与 C相交于A、B两点.设/的斜率为1,求 方 与 无 夹 角 的 余 弦。解：C的焦点为F (1,0)，直线/的斜率为1,所以/的方程为y=x T,将 y=x-1 代入方程y=4x,并整理得x2-6 x+1=0设 A (x i,y l ,B(x a%),则有X I+X2=6,XIX1,从而 C M ,0 3 =x i X 2+y i%=2 x i X 2(x i+x z)+l =3I OA I I 0 8 I =4x；+y；4X；=7 4 1,cos,五 =0A OB=网网3a41例 1 2.已知点G是A A B C 的重心,A(0,-l),B(0,1),在 x 轴上有一点M,满足|MA
20、|=|MC|,GM=X A B (A.CR).求点c的轨迹方程；若斜率为k的直线/与点C的轨迹交于不同两点P,Q,且满足|而|=|疏|,试求k的取值范围.分析本题依托向量给出等量关系，既考查向量的模、共线等基础知识，又考查动点的轨迹，直线与椭圆的位置关系.通过向量和解析几何间的联系，陈题新组，考查基础知识和基本方法.按照求轨迹方程的方法步骤，把向量问题坐标化，几何问题代数化.X v 1 解：设 C(x,y),则 G(一,).：GM=XAB(九 WR),AGM/AB,3 3又 M 是x轴上一点，则 M(to).X|M A|=|M C|,3A 旧+(0+1=(|-x)2+y2,整理得；+y2=l(
21、x H 0),即为曲线 C 的方程.当k=0时，/和椭圆C有不同两交点P,Q,根据椭圆对称性有|而|=|而 当k#O时，可设/的方程为片kx+m,y=kx-m联立方程组x2,消去y,整理行(1+3公*+6/乂+3向21)=0(*)匕+直线/和椭圆C交于不同两点，/.=(6/cm)2-4(l+3k2)X(m2 1)0,即 l +3k?m20.(1)设 P(X/J,Q(x2,y2),则 X1,X2是 方 程(*)的两相异实根，X 1+X 2=-二l+3k2e j j 1 X1+x)3 km,m则 PQ 的中点 N(x,%)的坐标是 x0=-=-,%=kxo+m=-2 1 +3k 1 +3k即N(3
22、kml+3k2m1 +31?)，又|AP|=|AQ|，AN _L PQ，:.k k=k -二1,/.m=1 3 km 2-l +3k2将m=-代 入 式，得1+3女2一(产0(kWO),2 2即 k 2 l,0)U(0,1).综合得，k的取值范围是(一1,1).对题目的要求：有较大的难度，有特别的解题思路、演变角度，要有一定的梯度.【课后训练】1.已知向量。=(1,2),6=(-2,-4),|c|=6,若(a+b)c=于 则。与 制 夹 角 为()A 30 B 60 C 120 D 1502.已知点Mi(6,2)和M2(1,7),直线片mx7与线段MJVh的交点分有向线段MW?的比为3：2,则
23、的值为)A32B23c4D 43.已知a,b是非零向量且满足(a 2b)a,(b-2 a)J _ b,则a与b的夹角是()7t6兀AB2Kc 3D5兀64.已知向量0B=(2,0),向量0C=(2,2),向量CA=(、/cosa,、Q s in a ),则向量OA与向量O B的夹角的范围为)兀 rA 0,一45兀1 J1212 2 兀 5兀1L,J12 12Br5兀 兀 二C ,一D5.设坐标原点为。，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点，则 丽 丽=()3 3A-B 一 一 C 3 D 34 46.0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动 点P满 足 而=公+人(),九
24、 0,+8 ),则点P的轨迹一定通过ABC的()A 外心 B 内心 C 重心 D垂心7.点 尸 在平面上作匀速直线运动，速度向量口=(4,-3)(即点P的运动方向与V相同，且每秒移动的距离为M个单位).设开始时点P的坐标为(-1 0,1 0),则5秒后点尸的坐 标 为()e B a A.(a e)C e-L(a e)D(Q+e)_L(。-e)A(-2,4)B(-30,25)C(10,-5)D(5,-10)8.已知向量|工|=1,对任意tG R,恒有|一 虚|?|一|,则()A9.P 是aABC 所在平面上-一 点，若P A P B =P B P C =P C P A ,则 P 是AABC 的(
25、D)A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心10.A A B C ,若 a+b+c=2c2(a2+b2),则NC 度数是:A 60 B 45 或 135 C 120D 3011.已知向量a=(cos。,sin。)，向量b=(J5,1),贝U|2a b|的最大值是12.把函数y=2/4 x+5的图像按向量a平移，得到y=2/的图像，且a_Lb,c=(l,1),b c=4,贝 U b=_13.已 知 平 面 上 三 点Z、B、C满 足|=3,|B C|=4,|CA|=5,则ABBC+BCCA+C A A B的值等于.14.在&4 8 c中，O为中线AM上个动点，若AM=2,则O A(08+O C)的
26、 最 小 值 是._ J T T T15.已知 可量 a=(sini5,1),b=(l,cosi?),(I)若a _L b,求i?；(I I)求I a+b I的最大值.16.06年江西卷)如图，已知aABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的 点,线 段MN经过点C的中心G,jr 27r设 NMGA=a(a )3 3(1)试将AAGM、ZiAGN的面积(分别记为Si与Sz)表示为a的函数(2)求y=!+-L的最大值与最小值s,2 s2217.已知定点F(l,0),动 点P在y轴上运动，过 点P作PM交x轴于点M,并延长MP至点N,且 丽 丽=0,丽 =m.(1)求动点N的轨迹方程
27、；(2)直线/与动点N的轨迹交于A、B两点，若 夕 为=-4且4而而，求直线/的斜率的取值范围.18.已知两点 M(1,0),N(1,0),且点 P 使 A/P M N,PM -PN,N M -NP 或公差小于零的等差数列.(I)点P的轨迹是什么曲线？(I I)若点P坐 标 为(X。、y0),记。为 丽 与 市 的 夹 角，求ta n k答案与提示：-51.C 提小：设E=(x,y),A(a+b y c-(-,-i y(x,y)-x-2 y-,又|c|=V5,所 以 无,=+2 =旧卜|己|05 a ,得cos a-，a =120,2.D提示：设父点M(x,y),代入直线方程可得.X=3.B提
28、示：a22ba=0且b22ab=0,相减得I a I=I b|,代入其中一式即可.4.D提示：点C的轨迹是以(2,2)为圆心，、万 为半径的圆.5.B 提示：设 A(Xi,yD，B(X2/2)，OA,OB=X62+)/沙2=+乂 必，将直线方程y=k(x0.5)代入抛物线方程消去x可得y iy2.6.B提示：表 示 N 8 方向上的单位向量，表 示 Z C 方向上的单位向量,ABACAB AC=+=在/BAC的平分线上，故 P 点的轨迹过三角形的内心.|A C|A C|7.C提示：设 5 秒后点P 运动到点A,则 方=而+方=5 7=(2 0,-1 5),0 A=(20,-15)+(-10,1
29、0)=(10,-5).8.C 提 示：由一八)|一 工|得|一 北 广 一 广，展开并整理得-2ae/+2ae 1 2 0,由/尺,得=(2ae)2+4-Sae -2 (）2,当。4O M取等号.提 示即O A(0)(2)先证明/与x 轴不垂直，再设/的方程为y=kx+b (k2 0),A (xb%)，B (x2,%).联立直线与抛物线方程，得ky2 4 y+4 b=0,由。/0 8 =T,得 匹/+乂%=4b又 必=4再，,2=4工2,故必、2=-8 而 yty2=r ：b=-2k.k、:“2 i s.I 时=-(+3 2)6 9 6,4 8 0 ,k k解得直线/的斜率的取值范围是18.略 解(I )设点P (x,y),分 别 计 算 出 而 加，P M P N,N M-N P,由题意，可得点P的轨迹方程是+y 2 =3 (x 0)故 点 P的轨迹是以原点为圆心、行为半径的右半圆.,，,TM TN 1(I I)由(I )知，x d +丁丘=3 (x0 0),可得 c o s。=f .=1PMPN V4-Xo又 x0G（0,5,c o s e =1 e （1，1,即夕 e 0,-）,三2 3tanff=sin。cos。