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1、线性代数讲方阵逆阵第1页，共47页，编辑于2022年，星期一线性代数与空间解析几何哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲王宝玲2011.9第二章第二章 矩阵矩阵第2页，共47页，编辑于2022年，星期一本章的主要内容本章的主要内容l矩阵矩阵的概念及运算的概念及运算l可逆矩阵可逆矩阵*l初等变换初等变换与与初等初等阵阵*l矩阵矩阵的秩的秩l分块矩阵分块矩阵第3页，共47页，编辑于2022年，星期一1 1 矩阵的定义矩阵的定义由由 m n 个数排成的个数排成的m行、行、n列的矩形数表列的矩形数表称为称为矩阵矩阵.2.1.1.2.1.1.矩阵的概念矩阵的概念2.1 矩阵的概
2、念矩阵的概念第4页，共47页，编辑于2022年，星期一简记为简记为当当 m=n 时称为时称为n 阶阶方阵方阵.l 矩阵同形矩阵同形它们它们行数行数和和列数列数相同相同.l 矩阵相等矩阵相等它们它们同形且同形且对应元素对应元素相等相等.2.2.特殊矩阵特殊矩阵l 零矩阵零矩阵:l 方阵的行列式方阵的行列式:或或.第5页，共47页，编辑于2022年，星期一l l 对角矩阵对角矩阵:l l 单位矩阵单位矩阵:E,I 或或l l 数数(标标)量矩阵量矩阵:第6页，共47页，编辑于2022年，星期一l l 上三角矩阵上三角矩阵:l 下三角矩阵下三角矩阵:l 行矩阵行矩阵:l 列矩阵列矩阵:第7页，共47
3、页，编辑于2022年，星期一2.2 2.2 矩阵运算矩阵运算l 矩阵的线性运算矩阵的线性运算l 矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算l 方阵的幂及方阵的幂及 行列式的乘法公式行列式的乘法公式l 矩阵的转置矩阵的转置第8页，共47页，编辑于2022年，星期一l l 加加 法法:负矩阵负矩阵:减减 法法:(A与与B 要同形要同形).).2.2.1 2.2.1 矩阵的加法矩阵的加法:l l 运算性质运算性质:第9页，共47页，编辑于2022年，星期一l l 运算性质运算性质:2.2.22.2.2 数乘数乘第10页，共47页，编辑于2022年，星期一其中其中,则则l l 2.2.3 2.2.3 矩阵乘法矩阵乘
4、法第11页，共47页，编辑于2022年，星期一l 运算性质运算性质:l学习矩阵运算学习矩阵运算,要注意其不具备什么熟要注意其不具备什么熟 知的运算规律知的运算规律.特别是乘法运算特别是乘法运算.(A是是m n的矩阵的矩阵)第12页，共47页，编辑于2022年，星期一设设求求 AB.解解注意注意:在这个例子中在这个例子中 BA 无意义无意义.例例1 1第13页，共47页，编辑于2022年，星期一则则注意注意:虽然虽然 AB 与与 BA 均有意义均有意义,但是但是AB 是是 22 矩阵矩阵,而而BA是是 11 矩阵矩阵.例例2 2第14页，共47页，编辑于2022年，星期一设设则则注意注意:(1)
5、AB与与BA是同阶方阵是同阶方阵，但但AB不等于不等于BA.(2)虽然虽然A,B都是非零矩阵都是非零矩阵,但是但是 AB=0.例例3 3第15页，共47页，编辑于2022年，星期一设设求求 AB 及及 AC.解解注意注意:虽然虽然A不是零矩阵不是零矩阵,而且而且AB=AC,但是但是B不等于不等于C.这说明消去律不成立这说明消去律不成立!例例4 4第16页，共47页，编辑于2022年，星期一 总结一下总结一下矩阵乘法的一些矩阵乘法的一些反常性质反常性质:l l 未必未必满足交换律满足交换律:l未必未必满足消去律满足消去律:l可能有零因子可能有零因子:如果如果 AB=BA,则称则称 A 与与 B
6、可交换可交换.学习矩阵理论学习矩阵理论,要注意要注意反常性质反常性质!第17页，共47页，编辑于2022年，星期一2.2.4 2.2.4 方阵的幂方阵的幂l l AA有意义当且仅当有意义当且仅当A为方阵为方阵.l l 对于方阵相乘可以定义乘幂的概念对于方阵相乘可以定义乘幂的概念:l 因为矩阵乘法不满足交换律因为矩阵乘法不满足交换律,所以对于所以对于 同阶方阵同阶方阵A与与 B,一般一般运算性质运算性质:第18页，共47页，编辑于2022年，星期一l l矩阵多项式矩阵多项式仍是方阵仍是方阵.设设为为A的矩阵多项式，的矩阵多项式，A是是n阶方阵，则称阶方阵，则称第19页，共47页，编辑于2022年
7、，星期一 由由 n 阶方阵阶方阵A的元素按原来的位置组成的元素按原来的位置组成的的行列式行列式称为方阵称为方阵A的行列式的行列式,记为记为|A|,即即2.2.5 方阵的行列式及乘法公式方阵的行列式及乘法公式第20页，共47页，编辑于2022年，星期一(行列式乘法公式行列式乘法公式)l运算性质运算性质(定理定理2.1):设设A,B,为为 n 阶方阵阶方阵,k 为数为数,则有则有第21页，共47页，编辑于2022年，星期一例例1 1 设设求求解解第22页，共47页，编辑于2022年，星期一l 定义定义称为称为A的转置矩阵的转置矩阵.2.2.6 矩阵的转置矩阵的转置第23页，共47页，编辑于2022
8、年，星期一l l 运算性质运算性质第24页，共47页，编辑于2022年，星期一l 特殊矩阵特殊矩阵对称矩阵对称矩阵:AT=A反对称矩阵反对称矩阵:AT=-A第25页，共47页，编辑于2022年，星期一问题问题:2.矩阵与行列式有什么区别矩阵与行列式有什么区别?3.设设 A,B Mn,|AB|=|BA|?第26页，共47页，编辑于2022年，星期一2.3 逆矩阵逆矩阵问问题题A应当满足什么条件应当满足什么条件?如何定义如何定义A-1?通过对通过对Cramer法则的分析来给出答案法则的分析来给出答案.想想法法 在解方程在解方程 ax=b 的时候的时候,如果如果 a 0,等等 式两边同乘以式两边同乘
9、以 a-1,得得 x=a-1b.线性方程组线性方程组 AX=b,能否在一定条件下引能否在一定条件下引 进进 A-1 的概念的概念,使得解为使得解为 X=A-1b?由由a-1 a=1到到 A-1A=E.l l l l l l 第27页，共47页，编辑于2022年，星期一定义定义 A为为n阶方阵阶方阵,若存在若存在n阶方阵阶方阵B,使使 AB=BA=E 则称则称A为为可逆矩阵可逆矩阵,称称B为为A的的逆矩阵逆矩阵.记作记作B=A-1.2.3.1 逆矩阵的定义逆矩阵的定义注注 定义中矩阵定义中矩阵 A 与矩阵与矩阵B的地位是相的地位是相 同的同的,如果如果 A可逆可逆,且且B是是 A的逆的逆,则则B
10、 也可逆也可逆,且且A 也是也是B的逆的逆,即即A与与B互逆互逆.第28页，共47页，编辑于2022年，星期一问题问题:你学过的方阵中你学过的方阵中,哪些是可逆阵哪些是可逆阵,哪些是不可逆阵哪些是不可逆阵?1.E-1=E2.当当 k1k2kn0 时时,有有:第29页，共47页，编辑于2022年，星期一性质性质若矩阵若矩阵A可逆可逆,则则A的逆矩阵的逆矩阵唯一唯一.证证设设B,C都是矩阵都是矩阵A的逆矩阵的逆矩阵,则有则有 下面根据定义给出逆矩阵的几个性质下面根据定义给出逆矩阵的几个性质.若若 A,B 均为均为n 阶矩阵阶矩阵,且且 AB=E,则则 BA=E,即即A与与B 互为逆矩阵互为逆矩阵.
11、第30页，共47页，编辑于2022年，星期一可推广至有限个积可推广至有限个积可逆阵还具有如下性质可逆阵还具有如下性质:A,B 可逆可逆第31页，共47页，编辑于2022年，星期一 如何判断一个矩阵是否存在逆矩阵如何判断一个矩阵是否存在逆矩阵?如何求一个可逆矩阵的逆矩阵如何求一个可逆矩阵的逆矩阵?复习行列式的展开性质复习行列式的展开性质若若A,B可逆可逆,而而A+B 不一定可逆，不一定可逆，即使可逆即使可逆即乘法的消去律成立即乘法的消去律成立.可以推出可以推出 当当A可逆时可逆时,由由第32页，共47页，编辑于2022年，星期一伴随矩阵伴随矩阵:A为为n 阶方阵阶方阵2.3.2 可逆的条件可逆的
12、条件第33页，共47页，编辑于2022年，星期一称称为矩阵为矩阵A的的伴随矩阵伴随矩阵.A*是用方阵是用方阵A的元素的代数余子式的元素的代数余子式 组成的矩阵组成的矩阵.第34页，共47页，编辑于2022年，星期一A A=AA=AEAA(A)=(A)A=E引理引理2.1 2.1(基本公式基本公式)A为为n阶方阵阶方阵第35页，共47页，编辑于2022年，星期一设设 A 为数域为数域 F 上上 n 阶方阵阶方阵,则则 1.A 可逆可逆A02.A 可逆时可逆时,A-1=定理定理 2.2从而从而|A|0.必要性得证必要性得证.证证若若A可逆可逆,则则第36页，共47页，编辑于2022年，星期一故矩阵
13、故矩阵A可逆可逆,且且 在在|A|0时时,若若|A|0,则由则由 也可逆也可逆第37页，共47页，编辑于2022年，星期一 A=0 时时,称称 A 为为奇异阵奇异阵A0 时时,称称 A 为为非奇异阵非奇异阵第38页，共47页，编辑于2022年，星期一例例1讨论并求讨论并求 2 阶矩阵的逆矩阵阶矩阵的逆矩阵解解 当当时时A 可逆可逆,利用伴随矩阵求逆矩阵利用伴随矩阵求逆矩阵第39页，共47页，编辑于2022年，星期一求满足矩阵方程求满足矩阵方程 AX=B 的矩阵的矩阵 X,解解X=A-1B=还可以用初等变换求解还可以用初等变换求解还可以用初等变换求解还可以用初等变换求解例例2其中其中第40页，共
14、47页，编辑于2022年，星期一已知已知A为为 n 阶方阵阶方阵,满足满足矩阵方程矩阵方程证明证明A 和和A-2E 都可逆都可逆,并求逆矩阵并求逆矩阵.证证例例3 3第41页，共47页，编辑于2022年，星期一例例4 4已知已知 A为方阵且为方阵且证明证明证证因为因为所以所以 可逆，可逆，而且而且第42页，共47页，编辑于2022年，星期一解解 设设设设,计算计算则则例例5 5第43页，共47页，编辑于2022年，星期一第44页，共47页，编辑于2022年，星期一u 总结关于方阵总结关于方阵 A:A 可逆可逆|A|0 AA*=A*A=|A|E在在|A|0时时,求逆公式求逆公式:第45页，共47页，编辑于2022年，星期一这个求逆方法用起来真不方便这个求逆方法用起来真不方便!有好用点的吗有好用点的吗?有有,不过说来话长不过说来话长,只能下面讲只能下面讲.第46页，共47页，编辑于2022年，星期一预预 习习 完完 2.5(-)Bye!第47页，共47页，编辑于2022年，星期一