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1、线性代数实践教师班第讲第1页，共34页，编辑于2022年，星期一7.1 矩阵运算的规则矩阵运算的规则在MATLAB入门中已讲过的，不再重复。由于其乘法不符合交换律，有些公式不能乱用；单列向量与单行向量的左右两种乘法要加区别，而且往往有特别的用途。例如向量长度（范数）的计算；例如二维坐标网格的生成；X=ones(21,1)*-10:10,Y=-10:10*ones(1,21)矩阵的乘幂An,eA和(I-A)-1的级数展开，都要求A是方阵。第2页，共34页，编辑于2022年，星期一矩阵乘法不满足交换律有许多我们习惯的公式，其中隐含地包含了交换律，这些公式在矩阵运算中也不能直接使用。比如：正确的做法
2、是展开时不交换次序第3页，共34页，编辑于2022年，星期一平面上网格坐标系的产生第4页，共34页，编辑于2022年，星期一用列矩阵乘行矩阵生成网格坐标这两个矩阵都是21行21列的，都有441个元素，如何快捷地输入呢？这时可以用到列乘行的乘法运算。可用下面的语句：h10:10;lhlength(h)%输入均分行向量%用全么列乘均分行生成X Xones(lh,1)*h%用均分列乘全么行生成Y Yh*ones(1,lh)第5页，共34页，编辑于2022年，星期一7.2 初等变换乘子矩阵的生成初等变换乘子矩阵的生成行交换E1gen(n,i,j)：使n行矩阵中的第i,j两行交换function E=E
3、1gen(n,i,j)n=size(A);E=eye(n);E(i,i)=0;E(j,j)=0;E(i,j)=1;E(j,i)=1;乘子矩阵E2gen(n,i,k),使n行矩阵中的第i行乘以kfunction E=E2gen(n,i,k)n=size(A);E=eye(n);E(i,i)=k;E3gen(n,i,j,c)使n行矩阵中的第i行乘以k加到第j行上function E=E3gen(n,i,j,k)n=size(A);E=eye(n);E(j,i)=k;第6页，共34页，编辑于2022年，星期一初等变换乘子矩阵示例初等变换乘子矩阵示例E=E1gen(8,4,6)E2=E2gen(8,4
4、,6)E3=E3gen(8,4,6,5)例如E3=E3gen(3,1,3,4)第7页，共34页，编辑于2022年，星期一例7.2.4 求消元所需的乘子矩阵要消去下列矩阵的A(2,1),求乘子矩阵E3在第二行加以第一行乘A(2,1)/A(1,1)3，故令B E3gen（A,1,2,3）第8页，共34页，编辑于2022年，星期一行阶梯生成等价于矩阵左乘因此，整个行阶梯形式U的生成过程，可以看作把原矩阵左乘以一系列的初等变换矩阵E1和E3。把这些初等矩阵的连乘积写成Ex，设其逆为L:从而有L*U A （7.10）就是说，A可以分解为一个准下三角矩阵L和一个上三角（即行阶梯）矩阵U的乘积。MATLAB
5、提供了三角分解的函数lu，它的调用方法是：L,Ulu(A)第9页，共34页，编辑于2022年，星期一lu分解是求行阶梯的一个方法用lu函数求出的U实际上就是A的行阶梯形式（不是简化行阶梯形式）。所以，求简化行阶梯形式用rref函数，而求行阶梯形式可以用lu 函数。不过，它和我们用消元运算所得U的数据不一定相同，尽管得出的阶次和阶梯形状相同。但因为行阶梯形式可以有无数种，用不同步骤算出的结果也不同。只有变成简化行阶梯形式，才能进行比较，看它是不是惟一的。第10页，共34页，编辑于2022年，星期一7.3 行列式的定义和计算 两种定义方法：1。按全排列求和定义，其中tj为第j种排列的逆序数。第11
6、页，共34页，编辑于2022年，星期一行列式第2种定义方法2。按解的分母项，从低阶到高阶用归纳法定义 二阶：三阶：第12页，共34页，编辑于2022年，星期一两种定义方法的比较第一种定义的两个数学难点全排列和逆序数，是绝大多数工科学生一生不会用的。第二种定义方法自然地得出了行列式按行（或按列）展开的公式。美国教材都用第二种定义方法。两种方法都不能用来计算，因为其计算效率都极低，2525矩阵要算上万年。第8章将指出，行列式的几何意义是面积或体积，可否从这方面探索，因为它的用途很单一，就是判断奇异性，连正负号都不必关心。第13页，共34页，编辑于2022年，星期一行列式的计算方法计算行列式的最好方
7、法还是行阶梯法，可以利用lu分解L,Ulu(A)把A分解为一个准下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。因为det(L)1，所以U和A的行列式相等。det(A)det(U)而三角矩阵U的det(U)很好求。只要把U的主对角线元素连乘就可得到它的行列式。此法所需的乘法次数仅为定义1法的10-23 第14页，共34页，编辑于2022年，星期一行列式计算实例7.3.1程序如下l,ulu(A),du diag(u)Dprod(du)结果为du 104.8 10.6259.4824 1.2349D 5.9720e003 5972第15页，共34页，编辑于2022年，星期一7.4 矩阵的秩和矩阵求逆 按定义
8、，矩阵的秩是矩阵A中行列式不等于零的最高阶子式的阶次。是用以衡量联立方程中有效方程数目的指数。按照定义来计算矩阵的秩，可能遇到的问题也是子矩阵的数量很大，每个矩阵的行列式计算又非常麻烦，其计算量也将是不可接受的天文数字。计算矩阵的秩的最好方法仍然是行阶梯法，如第6章所述，行阶梯化简后非全为零的行数，就是该矩阵的秩。用MATLAB函数rrank(A)可以检验A的秩，rank函数对A是否是方阵没有要求，即可以有mn。第16页，共34页，编辑于2022年，星期一矩阵求逆对于nn方阵A，当rn时，称A是满秩的，若rn，必有det(A)0，称A是欠秩的或奇异的。奇异矩阵不可以求逆。矩阵求逆的最简单方法也
9、是行阶梯化简，其方法是设定一个由A和I组成的增广矩阵CA,I，求C的简化行阶梯形式UCrref(A,I)，得出UC I,V。V就显示出这个逆矩阵的内容。第17页，共34页，编辑于2022年，星期一例7.6 求逆矩阵示例求A的逆阵解：程序ag706。A3,0,3,6;5,1,1,5;3,1,4,9;1,3,4,4;CA,eye(4)U0Crref(C)VU0C(:,5:8)第18页，共34页，编辑于2022年，星期一程序运行结果右边四列就是其逆阵：矩阵求逆命令：V=inv(A),第19页，共34页，编辑于2022年，星期一用inv函数求逆求A的逆阵程序ag707为：A=-16,-4,-6;15,
10、-3,9;18,0,9,V=inv(A)运行结果：Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate.RCOND=6.042030e-018.第20页，共34页，编辑于2022年，星期一条件数衡量奇异程度的量在用数值方法计算矩阵的逆时，由于计算中的误差，人们不大可能得到理想的零合理想的全零行，所以矩阵是否奇异，并不是那么绝对的。为了评价矩阵接近奇异的程度，采用了条件数（Condition Number）作为常用的衡量指标。它永远大于1。其数值愈接近于1，计算误差愈小；MATLAB中，条件数用
11、cond(A)计算，它达到104以上时，求逆的误差就可能相当可观。像现在，条件数达到1016（注：条件数是逆条件数RCOND的倒数），结果是根本不能用的。第21页，共34页，编辑于2022年，星期一7.5 用矩阵除法解线性方程如果mn，则线性代数方程Ax b （7.21）中的A是方阵，设det(A)0，则它的逆阵存在。将上式左右同乘以inv(A)，由于inv(A)*AI，得到xinv(A)*b （7.23）MATLAB创立了矩阵除法的概念，因为 inv(A)相当于将A放到分母上去，所以可以把上式写成xA b （7.24）就称为左除，因为inv(A)是乘在b的左方。第22页，共34页，编辑于20
12、22年，星期一左除解线性方程的扩展左除的功能远远超过了矩阵求逆函数inv，inv(A)函数要求A必须是方阵，所以（7.23）式只能用来解适定方程，而（7.24）式并不要求A为方阵，在A是mn阶且mn（欠定）时，它只要求A与b的行数相等且A的秩为m。所以（7.24）式也可以用来解欠定方程，在下例中可以看出。此外，运算符还能用来解超定方程，第23页，共34页，编辑于2022年，星期一左除解欠定方程例7.8 用矩阵算法解例6.5.1 A3,4,3,2,1;0,6,0,3,3;4,3,4,2,2;1,1,1,0,1;2,6,2,1,3;b 2;3;2;0;1;x=Ab得到x=inf，无解。改用行阶梯方
13、法找有效行。左除要求的是系数矩阵的行数与秩相同，BA,b,r=rank(B),UB,iprref(B);U0UB(1:r,1:5);dUB(1:3,6);xU0d 第24页，共34页，编辑于2022年，星期一本例运行结果r=3,及 它是此欠定方程的一个特解。第25页，共34页，编辑于2022年，星期一7.6.1 网络的矩阵分割和连接 在电路设计中，经常要把复杂的电路分割为局部电路，每一个电路都用一个网络黑盒子来表示。黑盒子的输入为u1，i1，输出为u2，i2，其输入输出关系用矩阵A来表示（如图7.1所示）：A是22矩阵，称为该局部电路的传输矩阵 第26页，共34页，编辑于2022年，星期一两个
14、网络的串联两个串接的子网络。第一个子网络包含电阻R1，第二个子网络包含电阻R2，列出第一个子网络的电路方程为：由得矩阵方程第27页，共34页，编辑于2022年，星期一两个网络的串联（续）由第二网络：写成矩阵方程为：整个电路的传输矩阵为两者的乘积第28页，共34页，编辑于2022年，星期一7.6.2 用逆阵进行保密编译码 在英文中有一种对消息进行保密的措施，就是把英文字母用一个整数来表示。然后传送这组整数。这种方法是很容易根据数字出现的频率来破译，例如出现频率特别高的数字，很可能对应于字母E。可以用乘以矩阵A的方法来进一步加密。假如A是一个行列式等于1的整数矩阵，则A 1的元素也必定是整数。而经
15、过这样变换过的消息，同样两个字母对应的数字不同，所以就较难破译。接收方只要将这个消息乘以A 1就可以复原。第29页，共34页，编辑于2022年，星期一7.6.3 减肥配方的实现 设脱脂牛奶的用量为x1个单位（100g），大豆面粉的用量为x2个单位，乳清的用量为x3个单位，表中的三个营养成分列向量为：使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，得到 第30页，共34页，编辑于2022年，星期一7.6.4 弹性梁的柔度矩阵 设简支梁如图7.3所示，在梁的三个位置分别施加力f1，f2和f3后，在该处产生的综合变形为图示的y1，y2和y3，通常称为挠度。根据虎克定律，在材料未失去弹性的范围内，力与它引起的变
16、形呈线性关系，可以写出：矩阵中的元素d为单位力f引起的挠度，它愈大，表明这个梁愈柔软。第31页，共34页，编辑于2022年，星期一数字实例设柔度矩阵（1）在1，2，3处施加的力为30，50和20试求出其挠度。（2）要在3处产生0.4挠度，其他两处为零，求应加的力。程序ag764D0.001*5,2,1;2,4,3;1,3,6%输入柔度矩阵f30;50;20,yD*f（排齐）%给定力，求挠度y10;0;0.4%给定挠度，Kinv(D),f1K*y1%求刚度矩阵,求力第32页，共34页，编辑于2022年，星期一梁的刚度矩阵计算柔度矩阵的逆就是刚度矩阵K，K D 1，其中第33页，共34页，编辑于2022年，星期一7.6.5 网络和图 图为1，2，3，4四个城市之间的空运航线，用有向图表示。则该图可以用下列航路矩阵表示：经过一次转机（也就是坐两次航班）能到达的城市，可以由邻接矩阵的平方A2A12来求得。第34页，共34页，编辑于2022年，星期一