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1、线性代数第7讲分块矩阵 1 把一个5阶矩阵用水平和垂直的虚线分成4块.2 把一个mn矩阵A,在行的方向上分成s块,在列的方向分成t块,称为A的st分块矩阵,记作A=Aklst,其中Akt(k=1,2,.,s,l=1,2,.,t)称为A的子块,它们是各种类型的小矩阵.常用的分块矩阵,除了上面的4块矩阵,还有以下几种形式:3 按行分块 4 按列分块 5 当n阶矩阵C中非零元素都集中在主对角线附近,有时可以分块成对角块矩阵(准对角矩阵)其中Ci是ri阶方阵(i=1,2,.,m;r1+r2+.+rm=n)6 例如 7 下面讨论分块矩阵的运算1.分块矩阵的加法设分块矩阵A=Aklst,B=Bklst,如
2、果A与B对应的子块Akl和Bkl都是同型矩阵,则A+B=Akl+Bklst例如其中A11与B11,A12与B12,A21与B21,A22与B22分别都是同型小矩阵(子块).8 2.分块矩阵的数量乘法设分块矩阵A=Aklst,h是一个数,则hA=hAklst.9 3.分块矩阵的乘法 设A是mn矩阵,B是np矩阵,如A分块为rs分块矩阵Aklrs,B分块为st分块矩阵Bklst,且A的列的分块法和B的行的分块法完全相同,则 10 可以证明(但略去),用分块乘法求得的AB与不分块作乘法求得的AB是相等的.11 例1 将下列5阶矩阵A,B分成4块阵,并用分块矩阵的乘法计算AB.12 解 由观察,可将A
3、分成如下4块阵 13 将B分块为 14 则 15 故 16 例2 设A是mn矩阵,B是ns矩阵,B按列分块成1s分块矩阵,将A看成11分块矩阵,则 AB=AB1,B2,.,Bs=AB1,AB2,.,ABs.若已知AB=0,则显然有ABi=0,i=1,2,.,n.因此,B的每一列都是线性方程组Ax=0的解.17 例3 若n阶矩阵C,D可以分块成同型对角块矩阵,即其中Ci和Di是同阶方阵(i=1,2,.,m),则 18 例4 证明:若n阶上三角矩阵A可逆,则其逆A-1也是上三角阵.证 对n作数学归纳法,n=1时,a-1=1/a,结论成立.(一阶矩阵可认为是上三角矩阵).假设命题对n-1阶可逆上三角
4、阵成立,考虑n阶情况,设 19 其中A1是n-1阶可逆的上三角阵.设A的逆矩阵为则 20 于是:A1g=O=g=A-1O=OA1B1=In-1=B1=A1-1,根据归纳假设,B1是n-1阶上三角矩阵,因此是上三角矩阵(其中b11=a11-1;b=-a11-1aA1-1).21 4.分块矩阵的转置 22 5.可逆分块矩阵的逆矩阵对角块矩阵(准对角矩阵)的行列式为|A|=|A1|A2|.|Am|,因此,对角块矩阵A可逆的充要条件为|Ai|0 i=1,2,.,m,这时 23 例5解|A|=|B|D|0,A可逆.设其中X与B,T与D分别是同阶方阵,于是由 24 BX=I1,故 X=B-1.BY=O,故
5、 Y=B-1O=O.CX+DZ=O,故 DZ=-CX=-CB-1,Z=-D-1CB-1.CY+DT=I2,故 DT=I2,T=D-1.所以 25 例如 26 则 27 6.分块矩阵的初等变换与分块初等阵这里仅就22分块矩阵为例来讨论.对于分块矩阵可以同样定义它的三种初等行变换和列变换,并相应地定义三类分块初等矩阵:(i)分块倍乘阵(C1,C2是可逆阵)28(ii)分块倍加阵(iii)分块对换阵分块初等矩阵是方阵,它们左乘(或右乘)分块矩阵A(不一定是方阵),在保证可乘的情况下,其作用与前述初等矩阵相同.29 例6 设n阶矩阵A分块表示为解 先对分块阵A作初等变换,将其化为上三角块矩阵,为此左乘分块倍加阵其中I1,I2为单位阵,其阶数分别与A11,A22相同.30 于是 31 为求A-1,将B化为对角块矩阵,为此取 32 记 33 例7证 先用分块倍加阵左乘Q,使之化为上三角块矩阵,为此取 34 如此则有 35 今天作业:第98页开始58题,62题 36