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1、线性代数第十五讲第1页，共30页，编辑于2022年，星期一定理定理2 2：向量组向量组能由向量组能由向量组线性表示线性表示既可理解为矩阵的秩,也可理解成向量组的秩.定理定理3 3第2页，共30页，编辑于2022年，星期一定理定理3 3:若向量组若向量组B能由向量组能由向量组A线性表示，则线性表示，则RB RA.根据定理根据定理3,有有故故 r s。等价的向量组的秩相等。等价的向量组的秩相等。推论推论问：反之是否成立？问：反之是否成立？例例2第3页，共30页，编辑于2022年，星期一例例3 3：结论结论例例相关相关第4页，共30页，编辑于2022年，星期一例例4解解第5页，共30页，编辑于202
2、2年，星期一第6页，共30页，编辑于2022年，星期一 故故结论结论：矩阵的初等行（列）变换不改变矩阵的列（行）：矩阵的初等行（列）变换不改变矩阵的列（行）向量组之间的线性关系。向量组之间的线性关系。第7页，共30页，编辑于2022年，星期一最大线性无关向量组的概念：最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性最大性、线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论：关于向量组秩的一些结论：一个定理、三个推论一个定理、三个推论 求向量组的秩以及最大无关组的方法：求向量组的
3、秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换后进行初等行变换四、小结四、小结第8页，共30页，编辑于2022年，星期一思思 考考 题题判断正确与否：判断正确与否：第9页，共30页，编辑于2022年，星期一第四节第四节 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构v齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质v基础解系及其求法基础解系及其求法v非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质v例题详解例题详解v小结小结第10页，共30页，编辑于2022年，星期一$两个重要定理两个重要定理：(1)n元齐次线性方程组元齐次线
4、性方程组Ax=0有非零解有非零解R(A)n;(2)n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组Ax=b有解有解R(A)=R(A,b)当当R(A)=R(B)=n时，方程组有唯一解；时，方程组有唯一解；当当R(A)=R(B)=rn时，方程组有无限多个解。时，方程组有无限多个解。解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组一、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的性质矩阵方程矩阵方程第11页，共30页，编辑于2022年，星期一称为方程组称为方程组(1)的的解向量解向量,它也就是向量方程它也就是向量方程(2)的解的解第12页，共30页，编辑于2022年，星期一齐次线性方程组解的性质齐次
5、线性方程组解的性质证明证明性质性质1 1：性质性质2 2：证明证明证毕证毕.第13页，共30页，编辑于2022年，星期一基础解系的定义基础解系的定义二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的性方程组的基础解系基础解系。第14页，共30页，编辑于2022年，星期一齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法第15页，共30页，编辑于2022年，星期一上式记作：上式记作：第16页，共30页，编辑于2022年，星期一说明说明定理定理7：第17页，共30页，编辑于2022年，星期一现对现对 取
6、下列取下列 组数：组数：依次得依次得合起来合起来便得基便得基础解系：础解系：第18页，共30页，编辑于2022年，星期一几何意义几何意义解：解：第19页，共30页，编辑于2022年，星期一第20页，共30页，编辑于2022年，星期一第21页，共30页，编辑于2022年，星期一例例1 1 求齐次线性方程组的基础解系与通解求齐次线性方程组的基础解系与通解.解解对系数矩阵对系数矩阵A 作初等行变换作初等行变换,变为行最简形矩阵变为行最简形矩阵,有有第22页，共30页，编辑于2022年，星期一第23页，共30页，编辑于2022年，星期一例例2证明证明故故第24页，共30页，编辑于2022年，星期一证明
7、证明例例3证明：证明：第25页，共30页，编辑于2022年，星期一例例4 4证明证明).()(ARAART=因此因此第26页，共30页，编辑于2022年，星期一练习练习 求解线性方程组求解线性方程组故原方程组的通解为故原方程组的通解为基础解系为基础解系为第27页，共30页，编辑于2022年，星期一练习：练习：设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组Ax=0与与Bx=0，其中，其中A,B均为均为m n矩阵，现有矩阵，现有4个命题：个命题：a)若若Ax=0的解均是的解均是Bx=0的解，则的解，则R(A)R(B);b)若若R(A)R(B)，则，则Ax=0的解均是的解均是Bx=0的解；的解；c)若若Ax=0与与Bx=0同解，则同解，则R(A)=R(B)；d)若若R(A)=R(B)，则，则Ax=0与与Bx=0同解同解以上命题中正确的是以上命题中正确的是 (A)a,b (B)a,c (C)b,d (D)c,d第28页，共30页，编辑于2022年，星期一思考第29页，共30页，编辑于2022年，星期一作业作业第第108108页：习题四页：习题四1414（2 2）；）；1919；22(2)22(2)第30页，共30页，编辑于2022年，星期一