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1、线性代数课件 方阵的对角化1第1页，共49页，编辑于2022年，星期一一、相似矩阵的概念一、相似矩阵的概念第第三三节节 相相似似矩矩阵阵1.概念的引入概念的引入已知矩阵已知矩阵 ,求求 .我们可以找到一个可逆矩阵我们可以找到一个可逆矩阵 ，相似矩阵相似矩阵使使2第2页，共49页，编辑于2022年，星期一2.相似矩阵的概念相似矩阵的概念定义定义 设设 都是阶矩阵，若有可逆矩阵都是阶矩阵，若有可逆矩阵 ，使，使则称则称 是是 的的相似矩阵相似矩阵，或称矩阵或称矩阵 与与 相似相似.对对 进行运算进行运算 称为对称为对 进行进行相似变换相似变换，可逆矩阵可逆矩阵 称为把称为把 变成变成 的的相似变换
2、矩阵相似变换矩阵.3第3页，共49页，编辑于2022年，星期一说明说明 能对角化最突出的作用表现在能对角化最突出的作用表现在 的多项式的多项式 的计算上的计算上.若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵 ，使，使(为对角阵为对角阵)则有则有这表明这表明 的多项式可通过同一多项式的数值计算的多项式可通过同一多项式的数值计算而得到而得到.当当 能对角化时，可以容易证明下面结论：能对角化时，可以容易证明下面结论：设设 是是 的特征多项式，则的特征多项式，则 .4第4页，共49页，编辑于2022年，星期一二、相似矩阵的性质二、相似矩阵的性质 定理定理3 若若 是是 的相似矩阵，则的相似矩阵，则 也是也是 的相似矩
3、阵的相似矩阵.若若 与与 相似，则它们的行列式相等：相似，则它们的行列式相等：.若若 与与 相似，则相似，则 与与 也相似也相似.若若 阶矩阵阶矩阵 与与 相似，则相似，则 与与 的特的特 征多项式相同，从而征多项式相同，从而 与与 的特征值也相同的特征值也相同.相似，相似，若若 阶矩阵阶矩阵 与对角阵与对角阵则则 即是即是 的的 个特征值个特征值.证明证明证明证明5第5页，共49页，编辑于2022年，星期一说明说明推论表明，若推论表明，若 ，则，则 的对的对 角元必定是角元必定是 的全部特征值的全部特征值.于是在不计较于是在不计较 的对的对角元次序的意义下，角元次序的意义下，由由 惟一确定惟
4、一确定.问题：问题：可逆矩阵可逆矩阵 是不是也由是不是也由 确定？确定？能不能用特征值和特征向量来刻画矩阵能不能用特征值和特征向量来刻画矩阵 能能 对角化的对角化的“特性特性”？定理定理3的逆命题不成立的的逆命题不成立的.若矩阵若矩阵 和和 的特征值的特征值 相同，它们可能相似，也可能不相似相同，它们可能相似，也可能不相似.例如例如6第6页，共49页，编辑于2022年，星期一对对 阶矩阵阶矩阵 ，三、方阵可对角化的充要条件三、方阵可对角化的充要条件1.方阵对角化的概念方阵对角化的概念寻找相似变换矩阵寻找相似变换矩阵 ，使，使这就称为把这就称为把方阵方阵 对角化对角化.说明说明 如果能找到可逆矩
5、阵如果能找到可逆矩阵 ，使，使 ，则，则 可对角化；可对角化；如果找不到这样可逆矩阵如果找不到这样可逆矩阵 ，则，则 不可对角化不可对角化.7第7页，共49页，编辑于2022年，星期一2.定理的引入定理的引入设有可逆矩阵设有可逆矩阵 ，使，使 为对角阵为对角阵.下面下面回答回答 能否由能否由 确定确定.8第8页，共49页，编辑于2022年，星期一这表明这表明 的第的第 个列向量个列向量 是是 的对应于特征值的对应于特征值 的特征向量，的特征向量，因而因而 由由 和和 确定，确定，也就是由也就是由 确定确定.由于特征向量不是惟一的，所以矩阵由于特征向量不是惟一的，所以矩阵 也不也不是惟一确定的是
6、惟一确定的.9第9页，共49页，编辑于2022年，星期一反过来，反过来，是依次与之对应的特征向量，则是依次与之对应的特征向量，则设矩阵设矩阵 的的 个特征值为个特征值为 ，当当 可逆，即可逆，即 线性无关时，有线性无关时，有这表明方阵这表明方阵 能否对角化完全可用能否对角化完全可用 的特征值和的特征值和特征向量来刻画特征向量来刻画.10第10页，共49页，编辑于2022年，星期一3.方阵可对角化的充要条件方阵可对角化的充要条件定理定理4 阶矩阵阶矩阵 与对角阵相似与对角阵相似(即即 能对角化能对角化)的充要条件是的充要条件是 有有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.推论推论 若若 阶矩
7、阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，则个特征值互不相等，则 与对角阵相似与对角阵相似.说明说明当当 的特征方程有重根时，不一定有的特征方程有重根时，不一定有 个线性无个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化；关的特征向量，从而不一定能对角化；但是，有但是，有重根时，也有可能能对角化重根时，也有可能能对角化.所以所以特征值互不相等只是特征值互不相等只是 与对角阵相似的充分条件与对角阵相似的充分条件.11第11页，共49页，编辑于2022年，星期一例例1 设设问问 为何值时，矩阵能对角化？为何值时，矩阵能对角化？解解 析：此例是定理析：此例是定理4的应用的应用.定理定理4表明：表明：阶矩阵阶矩阵 可
8、对角化可对角化有有 个线性无关特征向量个线性无关特征向量.由此可推得另一个充要条件：由此可推得另一个充要条件：对对 的每个不同的特征值的每个不同的特征值 ，的重数的重数=对应于对应于 的线性无关特征向量的个数的线性无关特征向量的个数12第12页，共49页，编辑于2022年，星期一所以的特征值为所以的特征值为 1(二重二重)，.对应于单根对应于单根 ，可求得线性无关的特征向量，可求得线性无关的特征向量1个；个；对应于二重特征值对应于二重特征值 1，若，若 能对角化，则能对角化，则13第13页，共49页，编辑于2022年，星期一要使要使 ，则，则即即说明说明解答此题的关键是将解答此题的关键是将 取
9、值条件取值条件“可对角化可对角化”转化为转化为“二重特征值二重特征值 1 应满足应满足 ”，从而求得从而求得.矩阵矩阵 能否对角化，取决于它的线性无关特征能否对角化，取决于它的线性无关特征向量的个数，而与向量的个数，而与 的秩，的秩，的行列式都无关的行列式都无关.14第14页，共49页，编辑于2022年，星期一例例2 设设若能，找出一个相似变换矩阵若能，找出一个相似变换矩阵 将将 化为对角阵化为对角阵.试问试问 能否对角化？能否对角化？解解 析：这是前面提到的一个例题析：这是前面提到的一个例题.现在再讲，目的是为现在再讲，目的是为了熟悉找相似变换矩阵的方法了熟悉找相似变换矩阵的方法.先求先求
10、的特征值，的特征值，所以所以 的特征值为的特征值为再求特征向量，再求特征向量，15第15页，共49页，编辑于2022年，星期一当当 时，对应的特征向量满足时，对应的特征向量满足解之，得基础解系解之，得基础解系所以对应于所以对应于 的线性无关的特征向量可取为的线性无关的特征向量可取为解之，得基础解系解之，得基础解系当当 时，对应的特征向量满足时，对应的特征向量满足所以对应于所以对应于 的线性无关的特征向量可取为的线性无关的特征向量可取为16第16页，共49页，编辑于2022年，星期一 由以上可知，由以上可知，有两个线性无关特征向量有两个线性无关特征向量 ，令令则则 就是所求相似变换矩阵，且有就是
11、所求相似变换矩阵，且有说明说明求相似变换矩阵的步骤：求相似变换矩阵的步骤：求特征值；求特征值；求特征向量；求特征向量；若线性无关的特征向量的个数等于矩阵的阶数，若线性无关的特征向量的个数等于矩阵的阶数，则相似变换矩阵存在则相似变换矩阵存在(否则不存在否则不存在)，由线性无关的由线性无关的特征向量构成的矩阵就是所求特征向量构成的矩阵就是所求.所以所以 可以对角化可以对角化.17第17页，共49页，编辑于2022年，星期一四、小结四、小结v对于对于 阶矩阵阶矩阵 和和 ，若有可逆矩阵，若有可逆矩阵 ，使，使则称则称 与与 相似相似.v 阶矩阵阶矩阵 与与 相似，则相似，则 和和 的特征值相同，的特
12、征值相同，反之不然反之不然.v 阶矩阵阶矩阵 与对角阵相似的充要条件是与对角阵相似的充要条件是 有有 个个 线性无关的特征向量线性无关的特征向量.18第18页，共49页，编辑于2022年，星期一一、实对称阵的性质一、实对称阵的性质第第四四节节 实实对对称称阵阵的的对对角角化化定理定理5 实对称阵的特征值为实数实对称阵的特征值为实数.定理定理6 设设 是对称阵是对称阵 的两个特征值，的两个特征值，是是若若 ，则，则 与与 正交正交.对应的特征向量，对应的特征向量，证明证明证明证明证明证明定理定理7 设设 为为 阶实对称阵，则必有正交阵阶实对称阵，则必有正交阵 ，使，使其中其中 是以是以 的的 个
13、特征值为对角元的对角阵个特征值为对角元的对角阵.推论推论 设设 为为 阶对称阵，阶对称阵，是是 的特征方程的的特征方程的 重重根，根，则矩阵则矩阵 的秩的秩 ，从而从而对应特征值对应特征值 恰有恰有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.19第19页，共49页，编辑于2022年，星期一说明说明定理定理5表明，实对称阵的特征向量可取实向量表明，实对称阵的特征向量可取实向量.这是因为，这是因为，当特征值当特征值 为实数时，齐次方程为实数时，齐次方程的系数矩阵是实矩阵，必有实的基础解系的系数矩阵是实矩阵，必有实的基础解系.定理定理6表明，实对称阵的特征向量可取为两两正表明，实对称阵的特征向量可取
14、为两两正 交的向量交的向量.这是因为，这是因为，对对 的每一个不同的特征值的每一个不同的特征值 ，对应，对应于于 的特征向量可取为两两正交向量，的特征向量可取为两两正交向量，到的线性无关的特征向量就是两两正交的到的线性无关的特征向量就是两两正交的.定理定理7表明，实对称阵一定可以对角化，而且是表明，实对称阵一定可以对角化，而且是 正交相似对角化正交相似对角化.这样所得这样所得20第20页，共49页，编辑于2022年，星期一二、实对称阵的对角化二、实对称阵的对角化理论依据：理论依据：定理定理7和其推论和其推论实对称阵实对称阵 正交相似对角化的步骤：正交相似对角化的步骤：求出求出 的全部互不相等的
15、特征值的全部互不相等的特征值 它们的重数依次为它们的重数依次为 对于实对称阵对于实对称阵 ，一定在正交阵，一定在正交阵 ，使，使 对于对称阵对于对称阵 ，重特征值对应的线性无关重特征值对应的线性无关特征向量恰好有特征向量恰好有 个个.21第21页，共49页，编辑于2022年，星期一 对应于对应于 重特征值重特征值 ，求方程，求方程 (由推论由推论)再把它们正交化、单位化，得再把它们正交化、单位化，得 个两两正交的单个两两正交的单位特征向量位特征向量.可得可得 个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量.(由定理由定理6)用这用这 个两两正交的单位特征向量构成正交阵个两两正交的单位特征向量
16、构成正交阵 ，便有，便有 .注意注意 中对角元的中对角元的排列次序应与排列次序应与 中列向量的排列次序相对应中列向量的排列次序相对应.的基础解系，得的基础解系，得 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.故总共故总共22第22页，共49页，编辑于2022年，星期一例例3 设设求一个正交阵求一个正交阵 ，使，使 为对角阵为对角阵.解解 析：对称阵正交相似对角化的原理和步骤是本析：对称阵正交相似对角化的原理和步骤是本章的中心问题章的中心问题.此例是这一问题的示范，目的是熟此例是这一问题的示范，目的是熟悉对称阵正交相似对角化的步骤，并明了每个步悉对称阵正交相似对角化的步骤，并明了每个步骤的必要性和
17、依据骤的必要性和依据.求特征值，求特征值，23第23页，共49页，编辑于2022年，星期一求得求得 的特征值为的特征值为由由24第24页，共49页，编辑于2022年，星期一 求两两正交的单位特征向量，求两两正交的单位特征向量，对应于对应于 ，解方程解方程 ，由由得基础解系得基础解系从而得单位特征向量从而得单位特征向量解方程解方程 ，对应于对应于 ，25第25页，共49页，编辑于2022年，星期一由由得基础解系得基础解系将将 正交化，正交化，取取从而得两两正交的单位向量为从而得两两正交的单位向量为26第26页，共49页，编辑于2022年，星期一 写出正交阵和对角阵，写出正交阵和对角阵，令令 就是
18、所求正交阵，且有就是所求正交阵，且有27第27页，共49页，编辑于2022年，星期一注意：注意：若令若令 则则若令若令 则则28第28页，共49页，编辑于2022年，星期一例例4 设设 ，求，求解解 析：此例的目的是掌握利用矩阵对角化理论析：此例的目的是掌握利用矩阵对角化理论计算方阵的幂及多项式计算方阵的幂及多项式.求求 的特征值，的特征值，由由得得 的特征值为的特征值为 求特征向量，求特征向量，对应对应 解方程解方程 ，29第29页，共49页，编辑于2022年，星期一由由得得对应对应 解方程解方程 ，由由得得 写出相似变换矩阵，将写出相似变换矩阵，将 化为对角阵化为对角阵令令则则且且即即30
19、第30页，共49页，编辑于2022年，星期一 根据根据 的相似对角阵，求的相似对角阵，求31第31页，共49页，编辑于2022年，星期一此例体现了方阵对角化的作用，如前面所述此例体现了方阵对角化的作用，如前面所述.将此例与第二章中的有关的例题相比较，后者给将此例与第二章中的有关的例题相比较，后者给出关系式出关系式 、矩阵、矩阵 和和 ，也就是给出条，也就是给出条件件 可对角化；可对角化；的相似对加阵的相似对加阵 ；相似变相似变换矩阵换矩阵 .前者则更具有理论性和实践性前者则更具有理论性和实践性:已知已知 ，通过计算通过计算 和和 ，求，求 .因此尽管两者都是求因此尽管两者都是求 的的幂，形象地
20、说后者是矩阵乘法的练习，前者是理论幂，形象地说后者是矩阵乘法的练习，前者是理论指导下的实践指导下的实践.说明说明32第32页，共49页，编辑于2022年，星期一三、小结三、小结v 对于实对称阵对于实对称阵 ，一定在正交阵，一定在正交阵 ，使，使v将对称阵正交相似对角化的步骤：将对称阵正交相似对角化的步骤：求特征值；求特征值；求两两正交的单位特征向量；求两两正交的单位特征向量；写出正交矩阵和对角阵写出正交矩阵和对角阵.33第33页，共49页，编辑于2022年，星期一思思 考考 题题1.设设 是是 阶矩阵阶矩阵 的的 重特征值，对应线性无关重特征值，对应线性无关 的特征向量恰有的特征向量恰有 个，
21、证明个，证明 .2.如果如果 是矩阵是矩阵 的两个不同的特征值，的两个不同的特征值，是对应于特征值是对应于特征值 的线性无关的特的线性无关的特 征向量，征向量，是对应于特征值是对应于特征值 的线性的线性 无关的特征向量，那么，无关的特征向量，那么，也线性无关也线性无关.3.设设 是是 阶矩阵，阶矩阵，是是 的的 个特征向量，个特征向量，求求 .4.若若 ，则，则 可对角化；可对角化；若若 ，且，且 ，则，则 不可对角化不可对角化.思考题34第34页，共49页，编辑于2022年，星期一思思考考题题解解答答1.证证 设这设这 个线性无关的特征向量为个线性无关的特征向量为 ，因它们是齐次方程因它们是
22、齐次方程 的基础解系，故的基础解系，故 选取选取 使使 这这 个向个向量线性无关量线性无关(可选矩阵可选矩阵 的列向的列向量组的最大无关组量组的最大无关组)，并把它们构成可逆矩阵，并把它们构成可逆矩阵 .因因 ，故，故35第35页，共49页，编辑于2022年，星期一思思考考题题解解答答则则 与与 相似，且相似，且 的特征多项式为的特征多项式为可见可见 的特征值的特征值 的重数的重数 .而而 的特征值与的特征值与 的特征值一一对应，的特征值一一对应，因此因此 的特征值的特征值 的重数的重数 .因而因而 的特征值的特征值 0 的重数的重数 .36第36页，共49页，编辑于2022年，星期一思思考考
23、题题解解答答2.证证设有设有 ,使使两边左乘两边左乘 ，得，得又又所以所以因为因为 线性无关，所以必有线性无关，所以必有同理必有同理必有于是，于是，线性无关线性无关 37第37页，共49页，编辑于2022年，星期一思思考考题题解解答答3.解解 因为因为 是是 阶矩阵阶矩阵 的特征值，所以的特征值，所以存在可逆矩阵存在可逆矩阵 ，使，使所以所以38第38页，共49页，编辑于2022年，星期一思思考考题题解解答答4.证证 设设 为为 阶矩阵，由阶矩阵，由 ，得，得先证先证 的特征值知可能是的特征值知可能是0或或1.设设 是是 的一个特征值，由的一个特征值，由 关系式可知，关系式可知，应有应有 所以
24、所以 或或1.再证再证 有有 个线性无关特征向量个线性无关特征向量.设设 则则 ，于是，于是 由由 知，对应于知，对应于0的线性无关的特的线性无关的特征向量有征向量有 个；个；由由 知，对应于知，对应于1的线性无关的特的线性无关的特征向量有征向量有 个；个；所以所以 共有共有 个线性无关特征向量，故个线性无关特征向量，故 可对角化可对角化.39第39页，共49页，编辑于2022年，星期一 用反证法用反证法.假设假设 能对角化，即存在可逆矩阵能对角化，即存在可逆矩阵 ，使，使为对角阵为对角阵.所以所以而已知而已知 ，故，故与与 矛盾！矛盾！因此因此 不能对角化不能对角化.思思考考题题解解答答40
25、第40页，共49页，编辑于2022年，星期一作业作业：作业：P138 13.14.15.16.(2)P139 17.18.22.24.(2)41第41页，共49页，编辑于2022年，星期一例如例如 设设则有则有其中其中所以所以 与与 相似相似.又设又设显然显然 与与 的特征值相同，但是它们不相似的特征值相同，但是它们不相似.42第42页，共49页，编辑于2022年，星期一这是因为，如果这是因为，如果 与与 相似，存在可逆矩阵相似，存在可逆矩阵 ，使使矛盾！矛盾！注意：注意：当当 阶矩阵阶矩阵 都能对角化时，若它们有相同的都能对角化时，若它们有相同的 特征值，则它们是一定相似的特征值，则它们是一
26、定相似的.若把对角阵若把对角阵 的对角元交换次序变为对角阵的对角元交换次序变为对角阵 ，则则 与与 相似相似.与单位阵相似的矩阵一定是单位阵与单位阵相似的矩阵一定是单位阵.Back43第43页，共49页，编辑于2022年，星期一 若若 与与 相似，则相似，则 与与 也相似也相似.证证因为因为 与与 相似，所以存在可逆矩阵相似，所以存在可逆矩阵 ，使，使于是于是即即因此因此 与与 相似相似.证毕证毕44第44页，共49页，编辑于2022年，星期一若若 阶矩阵阶矩阵 与与 相似，则相似，则 与与 的特征值相同的特征值相同.证毕证毕 析：要证析：要证 与与 的特征值相同，只需证它们的特征值相同，只需
27、证它们的特征多项式相同的特征多项式相同.即即因为因为 与与 相似，所以相似，所以 与与 相似，则相似，则存在可逆矩阵存在可逆矩阵 ，使，使于是于是证证45第45页，共49页，编辑于2022年，星期一证证 设设 为实对称阵为实对称阵 的特征值，要证的特征值，要证 为实数，为实数，即证即证因为因为 为为 的特征值，所以存在非零向量的特征值，所以存在非零向量 ，使，使于是有于是有实实对对称称阵阵的的性性质质的的证证明明实对称阵的特征值为实数实对称阵的特征值为实数.46第46页，共49页，编辑于2022年，星期一因此因此 而当而当 时，时，故故即即所以所以 是实数是实数.实实对对称称阵阵的的性性质质的
28、的证证明明证毕证毕47第47页，共49页，编辑于2022年，星期一实实对对称称阵阵的的性性质质的的证证明明对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交.证证 要证要证 与与 正交，即证它们的内积等于正交，即证它们的内积等于0，亦即亦即 .由定理假设知，由定理假设知，用用 左乘两端左乘两端 ，得，得当当 时，时，有有 .证毕证毕48第48页，共49页，编辑于2022年，星期一实实对对称称阵阵的的性性质质的的证证明明对于实对称阵，对应于特征值对于实对称阵，对应于特征值 的线性无关特征向量的线性无关特征向量的个数等于的个数等于 的重数的重数.证证 要证要证 ，只需证与，只需证与 相相似的矩阵的秩等于似的矩阵的秩等于 即可即可.由定理由定理7知，对称阵知，对称阵 与与 相相似，似，从而从而 与与 相似相似.当当 是是 的的 重特征值时，重特征值时，从而从而 的对角元恰的对角元恰有有 个等于个等于0，于是于是 .而而所以所以证毕证毕这这 个特个特征值中只有征值中只有 个等于个等于 ，49第49页，共49页，编辑于2022年，星期一