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1、上节例题上节例题若存在幂级数在其收敛域内以若存在幂级数在其收敛域内以 f(x)为和函数，为和函数，问题问题:1.如果能展开如果能展开,是什么是什么?2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?给定给定 f(x),一、一、TaylorTaylor级数与余项公式级数与余项公式1 1、TaylorTaylor级数级数第1页/共44页逐项求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系数第2页/共44页问题问题定义定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f(x)?不一定不一定!第3页/共44页第4页/共44页第5页/共44页证明证明
2、必要性必要性2 2、展开条件、展开条件第6页/共44页充分性充分性第7页/共44页证明证明第8页/共44页3 3、余项公式余项公式第9页/共44页第10页/共44页第11页/共44页第12页/共44页二、初等函数的二、初等函数的Taylor展开展开1、直接展开、直接展开步骤步骤:第13页/共44页第14页/共44页第15页/共44页同理可以得到第16页/共44页第17页/共44页第18页/共44页第19页/共44页第20页/共44页第21页/共44页第22页/共44页第23页/共44页2.2.间接法间接法 利用利用已知展开式已知展开式,通过通过代换代换,变形变形,逐项逐项求导求导,逐项积分逐项
3、积分等方法等方法,求展开式求展开式.例如例如第24页/共44页第25页/共44页第26页/共44页三、三、例题例题第27页/共44页第28页/共44页解解例例第29页/共44页第30页/共44页练习练习第31页/共44页第32页/共44页第33页/共44页第34页/共44页第35页/共44页第36页/共44页第37页/共44页四、四、近似计算近似计算第38页/共44页第39页/共44页五、小结五、小结1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于和函数的条件泰勒级数收敛于和函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法.第40页/共44页思考题思考题1.1.
4、举例说明幂级数经运算后所得举例说明幂级数经运算后所得的幂级数收敛域改变。的幂级数收敛域改变。2.2.什么叫幂级数的间接展开法？什么叫幂级数的间接展开法？第41页/共44页思考题解答思考题解答例例它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域分别是但它们的收敛域分别是1.2.2.从已知的展开式出发从已知的展开式出发,通过代换、变形、逐通过代换、变形、逐项求导、逐项积分等办法项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式求出给定函数展开式的方法。的方法。第42页/共44页 作作 业业P106:1(2,3,4,8),2(2,3),4,5(2),6.第43页/共44页感谢您的观看！第44页/共44页