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1、1复变函数的幂级数展开n一、幂级数n二、泰勒级数展开n三、洛朗级数展开n四、奇点第1页/共61页21.复数列记作记作第2页/共61页3表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 项的和项的和称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和2.复数项级数1)定义定义第3页/共61页42)复级数的收敛与发散充要条件充要条件必要条件必要条件第4页/共61页5非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.3)复级数的绝对收敛与条件收敛复级数的绝对收敛与条件收敛如果如果 收敛收敛,则称级数则称级数 为为绝对收敛绝对收敛.第5页/共61页6称为这级数的称为这级数的部分和部分和.级数最前面级数
2、最前面项的和项的和3.复变函数项级数其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义.表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数,记作记作 第6页/共61页74.幂级数 1)在复变函数项级数中在复变函数项级数中,形如形如的级数称为的级数称为幂级数幂级数.第7页/共61页8-阿贝尔阿贝尔Abel定理定理如果级数如果级数在在收敛收敛,那么对那么对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛,如果如果在在级数发散级数发散,那么对满足那么对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足2)2)收敛定理收敛定理第8页/共61页9(3)既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收也存在使级数收敛的正
3、实数敛的正实数.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.3)3)收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处即级数在复平面内处处收敛处收敛.(2)对所有的正实数除对所有的正实数除外都发散外都发散.第9页/共61页10在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出不能作出一般的结论一般的结论,要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意.收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径第10页/共61页11方法方法1 1:比值法比值法方法方法2:根值法根值法4
4、)4)收敛半径的求法那么收敛半径那么收敛半径那么收敛半径那么收敛半径第11页/共61页12例例1 1 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径解解第12页/共61页13第13页/共61页145)5)幂级数的运算与性质第14页/共61页15如果当如果当时时,又设在又设在内内解析且满足解析且满足那么当那么当时时,(2)(2)幂级数的代换(复合)运算第15页/共61页16复变幂级数在收敛圆内的解析性复变幂级数在收敛圆内的解析性设幂级数设幂级数的收敛半径的收敛半径为为那么那么是收敛圆是收敛圆内的解析函数内的解析函数.它的和函数它的和函数即即(1)(2)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其
5、幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,即即求导后所得的幂级数收敛半径不变求导后所得的幂级数收敛半径不变.第16页/共61页17(3)在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分,即即或或积分后所得的幂级数收敛半径不变积分后所得的幂级数收敛半径不变.第17页/共61页18例最常用的级数！最常用的级数！第18页/共61页19第19页/共61页20二、泰勒定理其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设在区域在区域内解析内解析,为为 内的一内的一为为到到的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离,那么那么点点,时时,成立成立,当当第20页/共61页21.K.内任意点内任意点第21页/共6
6、1页22由柯西积分公式由柯西积分公式,有有其中其中 K 取正方向取正方向.则则.K.第22页/共61页23推导中用到导推导中用到导数的柯西公式数的柯西公式第23页/共61页24将函数展开成泰勒级数常用方法常用方法:直接法和间接法直接法和间接法.1.直接法直接法:由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数第24页/共61页25例如，例如，故有故有第25页/共61页26仿照上例仿照上例,第26页/共61页272.间接展开法间接展开法:借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式,结合解析结合解析函数的性质函数的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质(逐项求导逐项求导,积分积分等等)和其它数学
7、技巧和其它数学技巧(代换等代换等),求函数的泰勒展求函数的泰勒展开式开式.间接法的优点间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直因而比直接展开更为简洁接展开更为简洁,使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛.第27页/共61页28例如，例如，第28页/共61页292)常见函数的泰勒展开式第29页/共61页30第30页/共61页31 三 洛朗级数定理定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数为洛朗系数.1)第31页/共61页32证证对于第一个积分对于第一个积分:Rr.z.第32页/共61页33对于第二个积分对于第二个积分:R
8、r.z.第33页/共61页34则则第34页/共61页35如果如果C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何一条正向简单闭曲线闭曲线.则则可用一个式子表示为可用一个式子表示为:证毕证毕第35页/共61页36说明说明:函数函数在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数.1)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，幂项的级数是唯一的，这就是这就是 f(z)的洛朗级数的洛朗级数.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方
9、法的一般方法.第36页/共61页372)将函数展为洛朗级数的方法将函数展为洛朗级数的方法根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.(2)间接展开法间接展开法(1)直接展开法直接展开法第37页/共61页38例例解解第38页/共61页39z例例解解均有均有.-120yx.第39页/共61页40例例解解？第40页/共61页41z例例解解有有.-120yx.第41页/共61页42xz.-120y.第42页/共61页43 同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式同一级数在不同圆环域内的洛朗级数
10、展开式是不同的是不同的.第43页/共61页44四、孤立奇点的概念定义定义 如果如果函数函数在在 不解析不解析,但但在在的某一去心邻域的某一去心邻域内处处解析内处处解析,则称则称为为的孤立奇点的孤立奇点.例例1是函数是函数的孤立奇点的孤立奇点.是函数是函数的孤立奇点的孤立奇点.注意注意:孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点.第44页/共61页45例例 指出函数指出函数在点在点的奇点特性的奇点特性.解解即在即在的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在的奇点存在,函数的奇点为函数的奇点为总有总有不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以第45
11、页/共61页46孤立奇点的分类孤立奇点的分类依据依据在其孤立奇点在其孤立奇点的去心邻域的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类:1可去奇点可去奇点1可去奇点可去奇点;2极点极点;3本性奇点本性奇点.如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项,那么孤立奇点那么孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点.1)定义定义第46页/共61页47其和函数其和函数为在为在解析的函数解析的函数.说明说明:(1)(2)无论无论在在是否有定义是否有定义,补充定义补充定义则函数则函数在在解析解析.第47页/共61页48 2)可去奇点的判定可去奇点的判定(1)由定义判断由定义判断:的洛
12、朗级数无负的洛朗级数无负在在如果如果幂项则幂项则为为的可去奇点的可去奇点.(2)判断极限判断极限若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值,则则为为的可去奇点的可去奇点.第48页/共61页49如果补充定义如果补充定义:时时,那么那么在在解析解析.例例 中不含负幂项中不含负幂项,是是的可去奇点的可去奇点.第49页/共61页50例例 说明说明为为的可去奇点的可去奇点.解解 所以所以为为的可去奇点的可去奇点.无负幂项无负幂项另解另解 的可去奇点的可去奇点.为为第50页/共61页512.极点极点 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即阶极点阶极点.那么孤立奇点那么孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写
13、成1)定义定义 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项,第51页/共61页52说明说明:1.2.特点特点:(1)(2)的极点的极点,则则为函数为函数如果如果(3)的的m阶极点阶极点,则则为函数为函数如果如果第52页/共61页53例例 有理分式函数有理分式函数是二级极点是二级极点,是一级极点是一级极点.第53页/共61页542)极点的判定方法极点的判定方法的负幂项为有的负幂项为有的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析,且且 (1)由定义判别由定义判别(2)由定义的等价形式判别由定义
14、的等价形式判别(3)利用极限利用极限判断判断.第54页/共61页55课堂练习课堂练习求求的奇点的奇点,如果是极点如果是极点,指出它的指出它的级数级数.答案答案第55页/共61页56本性奇点3.如果洛朗级数中如果洛朗级数中含有无穷多个含有无穷多个那么孤立奇点那么孤立奇点称为称为的本性奇点的本性奇点.的负幂项的负幂项,例如，例如，含有无穷多个含有无穷多个z的负幂项的负幂项 同时同时不存在不存在.第56页/共61页57特点特点:在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内不存在且不不存在且不为为第57页/共61页58综上所述综上所述:孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m级极点级极点本性奇点本性奇点洛朗级数特点
15、洛朗级数特点存在且为存在且为有限值有限值不存在不存在且不为且不为无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项关于关于的最高幂的最高幂为为第58页/共61页59复数项级数复数项级数函数项级数函数项级数充充要要条条件件必必要要条条件件幂级数幂级数收敛半径收敛半径R R复复 变变 函函 数数绝绝对对收收敛敛运算与性质运算与性质收敛条件收敛条件条条件件收收敛敛复数列复数列收敛半径的计算收敛半径的计算泰勒级数泰勒级数洛朗级数洛朗级数小结第59页/共61页本章作业3-13-23-33-43-53-63-7基础题基础题（1）（4）（）（5）中等题中等题（2）（）（3）（1）（）（2）（1）（3）（）（5）难题难题（4）（3）（2）（）（4）（）（6）第一节第一节第二节第二节第三节第三节第60页/共61页感谢您的观看！第61页/共61页