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1、一、泰勒级数定义 如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数为f(x)在x0的泰勒级数.当x0=0时，泰勒级数为:称之为f(x)的麦克劳林级数.第1页/共21页定理1 (泰勒中值定理)如果函数f(x)在含点x0的区间(a,b)内，有一阶直到n 阶的连续导数，则当x取区间(a,b)内的任何值时，f(x)可以按(xx0)的方幂展开为：其中：公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格朗日余项.第2页/共21页定理2 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式余项Rn(x)当 时的极限为零
2、，即：第3页/共21页二、函数展开成幂级数 将函数展开成x的幂级数(也称麦克劳林展开式)的基本法，其一般步骤为：第4页/共21页第5页/共21页第6页/共21页第7页/共21页例2 将函数sinx展成x的幂级数.第8页/共21页第9页/共21页间接展开法 利用一些已知的函数展开式、幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.第10页/共21页分别令q=x、x2有：第11页/共21页将(9)、(10)式分别从0到x逐项积分，得：第12页/共21页例3 将函数cosx展开成x的幂级数.第13页/共21页第14页/共21页第15页/共21页第16页/共21页第17页/共21页例7 将函数f(x)=ln(1+x)展开成x的幂级数.解：因为第18页/共21页且有第19页/共21页第20页/共21页感谢您的观看！第21页/共21页